1、数学解题研究 江苏大学 理学院 数学师范 0301 刘亚刚 3030102023 1用换元法思想解数学题摘要： “换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。同时用换元法还可以解决一些不等式问题，也比较方便。换元法的关键是有效的设元，在换元法的实际过程中，换元技能与某些数学意识的强弱密切相关，目标意识，层次意识，缜密意识，对称意识，结构意识，几何意识，转化意识等良
2、好意识的形成，对提高换元解题能力有极为重要的作用与价值。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。换元的实质是转化。它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。关键词：中学数学，换元法，解方程，解不等式。一，在中学课程中，只要求学生会解一些特殊的高次方程，最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程，可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例 1，解方程(x 2+1
3、)2=x2+3分析:思路 1：以 x2+1 为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有 x2+1。思路 2：把方程展开成标准的双二次方程，再对 x2 进行换元。解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x2+1)-2=0，设 x2+1=y 得 y2-y-2=0，解得 y1=2，y 2=-1，x 2+1=-1 无实根，由 x2+1=2 解得 x1=1，x 2=-1。解法二：由原方程得 x4+x2-2=0，设 x2=y（解题熟练时，这一换元过程也可以不写出）得 y2+y-2=0，解得 y1=1，y 2=-2，x 2=-2 无实根，数学解题研究 江苏大学 理学院 数学师范 0301 刘亚刚
4、3030102023 2由 x2=1 解得 x1=1，x 2=-1。注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题 1 中，可以设4x2+2=y，则原方程化为 y2+y-12=0；也可以设 4x2+1=y，则原方程化为 y2+3y-10=0（选 C），（还可以设 4x2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。 二，解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这
5、时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。例 2，解方程分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为。解：设 ，则原方程可以化为 2y2-5y-3=0解得 （不符合算术根的定义，舍去。）由 得 x1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。注：以前学过平方去根号法解无理方程，是种普遍方法。现在的换元必须构造出根号内外两个相同的式子才行。例 3：用换元法解方程： 2432615xx分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样可变为有理方程，再去解。解： 2432615xx数学解题研究 江苏大学 理学院 数学师范 0301 刘亚刚 3030102023 3原
6、方程中设 xyxy22266,则原方程变形为 413702370923639012921212yyxxyx解 得由 即解 得由 得 此 方 程 无 解, ,经检验， 123,是原方程的解。三，解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程 用换元法解分式方程的一般步骤：
7、(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答 注意：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 数学解题研究 江苏大学 理学院 数学师范 0301 刘亚刚 3030102023 4（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都
8、是必不可少的重要步骤。例 4， 2348x分析：本题既是无理方程也是分式方程，换元时可以设根号内的分式为新元，也可以直接设连同根号的分式为新元。下面给出按后一种思路换元的解法。解：设 =y，则原方程可以化为 ，84x 231y整理得 2y2-3y-2=0，解得 ，y 2=2， =- 舍去。184x由 =2 解得 x=12，经检验是原方程的根。84x对于例 3 也可以用两边平方的方法直接求解：原方程两边平方得，整理后去分母化简得 x2-4x-96=0，49284x解得 x1=-8，x 2=12，代入原方程检验可知 x1=-8 是增根。所以 x=12 是原方程的根。四，三角换元法三角换元法的基本思
9、想是根据已知条件，引进新的变量-三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。较常用的三角换元法有： 若 0a1，可令 a=sin(0/2)或 a=sin2 (-/2/2)数学解题研究 江苏大学 理学院 数学师范 0301 刘亚刚 3030102023 5 若 a2+b2=1，可令 a=cos，b=sin(02)； 若 a+b=1 且 a，b 都是非负数，可令 a=cos2，b=sin 2 (02)； 若 a2+b21，可令 a=mcos，b=msin (00，求 f(x)2a(sinx cosx) sinxcosx 2a 2
10、 的最大值和最小值。8 设对所有实数 x，不等式 x2log2 2x log2 log 2 0 恒成立，求 a 的取值范围。9 已知 ，且 (式)，求 的值。10 实数 x、 y 满足 1，若 x yk0 恒成立，求 k 的范围。（答案与提示）1.换元方法与牛刀小试 2 类似。x 1=x2=0， ；2.换元方法与例 2 类似。 。3.可以设 。4.可以像例 3 那样换元或两边平方。x=3 。5 三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。6 均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。7 局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间
11、的位置关系而确定参数分两种情况）。数学解题研究 江苏大学 理学院 数学师范 0301 刘亚刚 3030102023 138 局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。9 等量换元，减少变量个数。10 三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。参考文献1 李明亮、王中原，浅谈中学数学中换元法的作用，思茅师范高等专科学校学报，2002 Vol.18 No.32 陈玉品，“ 换元法“应用举例，陕西教育(教学)，2005 No.73 丁亥福赛、Ding Hefusai，混合换元法在解无理方程中的应用，甘肃高师学报，2002 Vol.7 No.24 丁茂荣，换元法在证明一类不等式
12、中的应用，数学教学研究，2005 No.45 吴付红，换元法在不等式证明中的应用，中学生数理化（高中版） ，2005 No.16 韦云燕，换元法在解题中的简单应用，中学生数理化（高中版） ，2004 No.107 吴光年、刘熠，用换元法证明分母带根号的不等式，中学数学杂志（高中版） ，2004 No.18 刘丽胜，浅谈用真分式换元法解竞赛题，中学数学杂志（初中版） ，2004 No.19 饶一平，妙用换元法求非常规代数式的值，安庆师范学院学报（自然科学版） ，2003 Vol.9 No.410 冉莉莉，换元法在数学教学中的应用，机械职业教育，2003 No.811陈晓兵，利用换元法培养学生应变解题能力的探讨，广西教育学院学报，2003 No.3
