1、华南师大附中 2018 届高三综合测试（一）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试勇士 120 分钟1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3回答第卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已
2、知 ， ，则 （ ）213Ax260BxABI（A） （B）3,U3,1,2U（C） （D） （2）设 ， 且 ，则 是 的（ ）abR0ab（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件（C）既不充分也不必要条件 （D）充要条件（3）函数 与 在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）21logfxx1x（A） （B）（C） （D）（4）设命题 ，使得 ，则 为（ ）:PxR20xP（A） ，使得 （B） ，使得xR 20xxR 20x（C） ，使得 （D） ，使得（5）把 的图像向左平移 个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长sin2yx3到原来的 2 倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析
3、式为（ ）（A） （B）si3yx 2sin3yx（C） （D）in4i4（6）设 ， ， ，则（ ）log3a0.32b3logsin6c（A） （B）cab（C） （D）bc（7）函数 在定义域内的零点的个数为（ ）2lnfxx（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（8）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ fx1,21lnfxg）（A） （B） （C） （D）0,10,0,0,1（9）给出下列命题：正切函数图象的对称中心是唯一的；若函数 的图像关于直线 对称，则这样的函数 是不唯一的；fx2xfx若 ， 是第一象限角，且 ，则 ；12112sinix若 是定义在 上的奇函数，它的
4、最小正周期是 ，则 fxRT0f（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（10）函数 是定义域为 的非常值函数，且对任意 ，有fx xR， ，则 是（ ）4fx1ffxf（A）奇函数但非偶函数 （B）偶函数但非奇函数（C）奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数（11）已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称fx0,fxy0,为“一阶比增函数” ；若 在 上为增函数，则称 为“二阶比增函fx2fxy, fx数” 。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ，所有“二阶比增函数”组成的集合1记为 若函数 ，且 ， ，则实数 的取值范232fxhxf2fxh围是（ ）（A） （B） （C） （D
5、）0,0,0,0（12）已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，对定义域内,Ufxfx的任意 ，都有 成立，则使得 成立的 的取值x22fxf2244f范围为（ ）（A） （B）0,0,U（C） （D）2U2第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13） _512lgo0（14）已知函数 ，则这个函数在点 处的切线方程是_lnyx1x（15）由 ， ， ， 四条曲线所围成的封闭图形的面积为3ycos_（16）已知函数 在区间 上至少有一个极值点，则 的取321fxax2,3a值范围为_三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算过程（1
6、7） （本小题满分 12 分）已知函数 ， 23sincos1fxxxR（1）求函数 的最小正周期和最小值；fx（2）在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，ABCabc30fC，求 ， 的值siniab（18） （本小题满分 12 分）已知函数 xfxke（1）求 的单调区间；fx（2）求 在区间 上的最小值0,1（19） （本小题满分 12 分）如图，在矩形 中， ， ， 平面ABCD12AP，且 ， 、 、 分别为 ， ， 中点ABCDPEFQP（1）求证：平面 平面 ；B（2）求二面角 的余弦值（20） （本小题满分 12 分）已知抛物线 上一点 到焦点2:0Eypx0,
7、4Mx的距离 F054Mx（1）求 的方程；E（2）过 的直线 与 相交于 ， 两点， 的垂直平分线 与 相交于 ， 两lABlECD点，若 ，求直线 的方程0ACD（21） （本小题满分 12 分）设函数 2lnfxbax（1）若 是函数 的极值点，1 和 是函数 的两个不同零点，且2xfx0f， ，求 ；0,xnNn（2）若对任意 ，都存在 （ 为自然对数的底数） ，使得,b1,xe成立，求实数 的取值范围0fxa请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请将相应号框涂黑（22） （本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，圆 的参数方程xOyC（ 为参数
8、） 以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1cosinxy（1）求圆 的极坐标方程；C（2）设直线交 的极坐标方程是 ，射线 与圆l2sin30xy的交点为 、 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长OPlQP（23） （本小题满分 10 分）已知函数 ，且不等式 的2132fxx5fx解集为 ， ， 435abxaR（1）求 ， 的值；（2）对任意实数 ，都有 成立，求实数 的最大值x235xbmm数学（理科）参考答案一、选择题：CCDA BCCB BBCC二、填空题：（13）2 （14） （15） （16）1yx35,43三、解答题（17）解：（1） 23sincossin21cosfx
9、xxx3sin2cos2i6所以函数 的最小正周期是 ，最小值为 fxT4（2）因为 ，所以 ，又2sin206fCsin216C0,，所以 ， ，1,63因为 ，由正弦定理得 ，sin2iBA2ba由余弦定理得， 2 22cos4caCa又 ，所以 ， 3c1（18）解：（1） xfxke令 ，得 0fx与 的变化情况如下表：x,1k1k1,kf 0 x 1keZ所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 f ,1k,k（2）当 ，即 时，函数 在 上单调递增，所以 在区间10kkfx0, fx上的最小值为 ；0,10fk当 ，即 时，1k2由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，fx,
10、1,k所以 在区间 上的最小值为 ；0fe当 ，即 时，函数 在 上单调递减，k2kx0,所以 在区间 上的最小值为 fx,11fke（19）解：（1）以 点为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的AABurDPrxyz正方向，建立空间直角坐标系 xyz则 ， ， ， ， ， ，0,A1,0B,20D,1P,0Q1,0Dur又 是 中点， ， ，EEBur ， ，QDurQ又 平面 ， 平面 ， 平面 ，BPPDE PDQ又 是 中点， ，FAEF 平面 ， 平面 ， 平面 ，EF ， ， 平面 ，平面 平面 BIBBE P（2）设平面 的法向量 ，则 ，FQ,mxyzur 0mBQ
11、urr由（1）知 ， ，1,02ur0,1 ，取 ，得 ，2xzyz,2ur同样求平面 的一个法向量 ，BEF1,2nr， ，cosmur306nr二面角 的余弦值为 EBFQ（20）解：（1）由抛物线的定义，得 ，又 ，02PMFx054Fx ，即 ， 00524px2xp,4 在抛物线 上，,M:Eyx ，解得 （舍去）或 216p2故 的方程为 E24yx（2）由题意可知，直线 的斜率存在，且不等于 0，故可设 的方程为l l，由 消去 并整理，得 10ykx214kyxy22240kxxk其判别式 2160设 ， ，则1,Axy2,By124kx 12124kk 的中点 的坐标为 ，
12、P2,21241kABx又 的斜率为 ，其方程为 即l1k2kyk23yk由 消去 并整理，得 ，2234xyx22430yk其判别式 2221616kk设 ， ，则 ，3,Cxy4,Dxy34yk342yk 23434 226426k 的中点 的坐标为CDQ23,kk22234343411kyyy222216k222242 13kkkPQk ， 即 ， 0ACDurAurCADQC又 ， ，221BQ221144BP即 2 222 24kkk 化简，得 解得 210k1k故所求直线 的方程为 ，即 或 lyx10y10xy解法二：由 得： ，ACDur 314342 213431xxyy，
13、， ，3426k22346xk34yk342yk ，2421 12 2634430x xkkk 2 212430xkk由对称性有 ，所以也有 0BCDur2 224130xkk即 ， 是方程 的两根，所以1x22 224130xk，又因为 ， ，解得：21243k12x241k故所求直线 的方程为 ，即 或 ly0y0xy（21）解：（1） ， 是函数 的极值点，2afxb2xf1 是函数 的零点，得 ，240afbf1b由 解得 ， ,16a1b ， ，2lnfxx62fx令 ， ，得 ；232610f ,x2x令 得 ，0fxx所以 在 上单调递减；在 上单调递增,22,故函数 至多有两个
14、零点，其中 ， ，fx1002,x因为 ，1036lnf，所以 ，故 2462lnl4ef03,4xn（2）令 ， ，则 为关于 的一次函数且为增函2lgbxa,1bgb数，根据题意，对任意 ，都存在 ，使得 成立，则,1xe0fx在 上有解，2max1ln0x,令 ，只需存在 使得 即可，2lnhxax01,xe0hx由于 ，21a令 ， ， ，2xa,xe410x 在 上单调递增， ，1,ea当 ，即 时， ，即 ， 在 上单调递增，0 0xhx1,e，不符合题意hx当 ，即 时， ，1a1a2ea若 ，则 ，所以在 上 恒成立，即 恒成立，2e0e1,0x0hx 在 上单调递减hx,存在
15、 ，使得 ，符合题意01e0hx若 ，则 ，在 上一定存在实数 ，使得 ，2a1,em0在 上 恒成立，即 恒成立， 在 上单调递减，存,mx0xhx1,在 ，使得 ，符合题意01x0h综上所述，当 时，对任意 ，都存在 ，使得 成立。1a2,1b,xe0fx（22）解：（1）因为 ，消参得： ，把 ，cosinxy21ycos代入得 ，所以圆 的极坐标方程为 ；siny22cs11C2（2）射线 的极坐标方程是 ，30xy3设点 ，则有 ，解得 ，1,P112cos31设点 ，则有 ，解得 ，2,Q2sin3323由于 ，所以 ，所以线段 的长为 21212PQPQ（23）解析：（1）若 ，原不等式可化为 ，解得 ，x135x45x即 ；452x若 ，原不等式可化为 ，解得 ，即 ；32135x2x123x若 ，原不等式可化为 ，解得 ，即 ；x6635综上所述，不等式 的解集为 ，所以 ， 2135x4,51a2b（2）由（1）知 ， ，所ab以 23xabxx故 ， ，所以 ，即实数 的最大值为 2235m230m1m
