1、1三 排序不等式学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用知识点 排序不等式思考 1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件、5 件及 2 件，现在选择商店中单价为 3 元、2 元和 1 元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有 3216(种)不同的购买方案(2)53422125(元)，这种方案花钱最多；51422319(元)，这种方案花钱最少思考 2 如图， POQ60，比较 123AOBAOBSS与 13231AOBSA的大小答案 1
2、2313231.AOBAOBAOBSSSA梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组： a1 a2 an； b1 b2 bn， c1， c2， cn是b1， b2， bn的任意一个排列乱序和： S a1c1 a2c2 ancn.反序和： S1 a1bn a2bn1 anb1.顺序和： S2 a1b1 a2b2 anbn.(2)排序不等式(排序原理)设 a1 a2 an， b1 b2 bn为两组实数， c1， c2， cn是 b1， b2， bn的任一排列，则 a1bn a2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn，当且仅当a1 a2 an或
3、b1 b2 bn时，反序和等于顺序和2类型一 利用排序不等式证明不等式命 题 角 度 1 字 母 已 定 序 问 题例 1 已知 a， b， c 为正数，且 a b c，求证： .a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 1a 1b 1c证明 a b0，于是 ，1a 1b又 c0，从而 ，1bc 1ca同理 ，从而 .1ca 1ab 1bc 1ca 1ab又顺序和不小于乱序和，故可得 a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 b5b3c3 c5c3a3 a5a3b3 b2c3 c2a3 a2b3( a2 b2 c2， 1c3 1b3 1a3) c2c3 a2a3 b2b3 .1c 1a 1b
4、1a 1b 1c原不等式成立反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组跟踪训练 1 已知 0 a b c，求证： .c2a b b2a c a2b c a2a b b2b c c2c a证明 因为 0 a b c，所以 0 a b c a b c，所以 0，1a b 1c a 1b c又 0 a2 b2 c2，所以 是顺序和，c2a b b2a c a2b c 是乱序和，a2a b b2b c c2c a由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式 成立c2a b b2a c a2b c a2a b
5、 b2b c c2c a3命 题 角 度 2 字 母 大 小 顺 序 不 定 问 题例 2 已知 a， b， c 均为正数，求证： (a b c)a2b c b2c a c2a b 12证明 由不等式的对称性，不妨设 a b c0，所以 a2 b2 c2， .1b c 1c a 1a b由顺序和乱序和得到两个不等式： ，a2b c b2c a c2a b a2c a b2a b c2b c .a2b c b2c a c2a b a2a b b2b c c2c a两式相加，得2 ，(a2b c b2c a c2a b) b2 c2b c c2 a2c a a2 b2a b注意到 (b c)， (
6、c a)，b2 c2b c 12 c2 a2c a 12 (a b)，a2 b2a b 12所以 2(a2b c b2c a c2a b) (b c) (c a) (a b)12 12 12 a b c.故 (a b c)a2b c b2c a c2a b 12反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据跟踪训练 2 设 a， b， cR ，利用排序不等式证明：a3 b3 c3 .b5 c52a2 c5 a52b2 a5 b52c2证明 不妨设 0 a b c，则 a5 b5 c5， ，1c2 1b2 1a2所以由排序不等式可得a3 b3
7、c3 ，a5a2 b5b2 c5c2 a5c2 b5a2 c5b2a3 b3 c3 ，a5a2 b5b2 c5c2 a5b2 b5c2 c5a24所以 a3 b3 c3 .b5 c52a2 c5 a52b2 a5 b52c2类型二 利用排序不等式求最值例 3 设 a， b， c 为任意正数，求 的最小值ab c bc a ca b解 由于 a， b， c 的对称性，不妨设 a b c0，则 a b a c b c， ，1b c 1c a 1a b由排序不等式，得 ，ab c bc a ca b bb c cc a aa b ，ab c bc a ca b cb c ac a ba b上述两式相
8、加，得 2 3，(ab c bc a ca b)即 .ab c bc a ca b 32当且仅当 a b c 时， 取最小值 .ab c bc a ca b 32反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值跟踪训练 3 设 0 a b c 且 abc1.试求 的最小值1a3b c 1b3a c 1c3a b解 令 S ，1a3b c 1b3a c 1c3a b则 S abc2a3b c abc2b3a c abc2c3a b bc ac ab.bcab c acba c abca b由已
9、知可得 ， ab ac bc.1ab c 1ba c 1ca b S ac ab bcbcab c acba c abca b .cab c aba c bca b又 S ab bc acbcab c acba c abca b5 ，bab c cba c aca b两式相加，得 2S 3 3.1a 1b 1c 31abc S ，即 的最小值为 .32 1a3b c 1b3a c 1c3a b 321设 a， b， c 均为正数，且 P a3 b3 c3， Q a2b b2c c2a，则 P 与 Q 的大小关系是( )A P QB P QC P QD P Q答案 B解析 不妨设 a b c0，
10、则 a2 b2 c20.由排序不等式，得a2a b2b c2c a2b b2c c2a，当且仅当 a b c 时，等号成立，所以 P Q.2已知 a12， a27， a38， a49， a512， b13， b24， b36， b410， b511.将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为 c1， c2， c3， c4， c5，则 a1c1 a2c2 a5c5的最大值是( )A324 B314C304 D212答案 C解析 a1c1 a2c2 a5c5 a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 a5b52374869101211304.3 n 个正数与这 n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为_
11、答案 n解析 设 0 a1 a2 a3 an，则 0 a a a ， 1n 1n 11则由排序不等式得，反序和乱序和顺序和故最小值为反序和a1a a2a ana n. 11 12 1n4设 a， b 都是正数，求证： 2 2 .(ab) (ba) ab ba证明 由题意不妨设 a b0.则 a2 b2， ，所以 .1b 1a a2b b2a根据排序不等式知， a2b 1b b2a 1a6 ，a2b 1a b2a 1b即 2 2 .(ab) (ba) ab ba1对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反
12、序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序” ，两种较为简单的是“顺与反” ，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了2排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小3排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即 a1 a2 an或 b1 b2 b3 bn.4排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这
13、种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题一、选择题1有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x， y， z，且 x y z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为 a， b， c，且 a b c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ax by cz B az by cxC ay bz cx D ay bx cz答案 B解析 根据排序原理，反序和最小，即 az by cx 最小2已知 a， b， c0，则 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)
14、的正负情况是( )A大于零 B大于零或等于零7C小于零 D小于零或等于零答案 B解析 当 a b c1 时，a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)0，当 a1， b2， c3 时，a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)62.3设 a， b， c 都是正数，则式子 M a5 b5 c5 a3bc b3ac c3ab 与 0 的大小关系是( )A M0B M0C M 与 0 的大小关系与 a， b， c 的大小有关D不能确定答案 A解析 不妨设 a b c0，则 a3 b3 c3，且 a4 b4 c4，则 a5 b5 c5 aa4 bb4 cc4 ac4 b
15、a4 cb4. a3 b3 c3，且 ab ac bc， a4b b4c c4a a3ab b3bc c3ca a3bc b3ac c3ab. a5 b5 c5 a3bc b3ac c3ab. M0.4在锐角三角形 ABC 中，设 P ， Q acosC bcosB ccosA，则 P， Q 的大小关系a b c2为( )A P Q B P QC P Q D不能确定答案 C解析 不妨设 A B C，则 a b c，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Q acosC bcosB ccosA acosB bcosC ccosA R(2sinAcosB2sin BcosC2sin Cco
16、sA)，Q acosC bcosB ccosA bcosA ccosB acosC8 R(2sinBcosA2sin CcosB2sin AcosC)，上面两式相加，得Q acosC bcosB ccosA R(2sinAcosB122sinBcosA2sin BcosC2sin CcosB2sin CcosA2sin AcosC) Rsin(A B)sin( B C)sin( A C) R(sinCsin Asin B) P .a b c25设 a1， a2， a3为正数， E ， F a1 a2 a3，则 E， F 的大小关系是( )a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2A E FB E
17、 FC E FD E F答案 B解析 不妨设 a1 a2 a30，则 且 a2a3 a3a1 a1a2，1a1 1a2 1a3 a1a2 a2a3 a3a1a1a2a3 a1a3a2 a2a3a1 1a1 1a2 1a3 a1 a2 a3. E F.6已知 x y， M x4 y4， N x3y xy3，则 M 与 N 的大小关系是( )A M NB M NC M ND M N答案 B解析 x y， x3 y3. M xx3 yy3 x3y y3x x3y y3x N.二、填空题7已知两组数 1,2,3 和 4,5,6，若 c1， c2， c3是 4,5,6 的一个排列，则 1c12 c23
18、c3的最大值是_，最小值是_答案 32 28解析 由反序和乱序和顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为 32，最小值为 28.85 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，统筹安排这 5 个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为_min.答案 84解析 5 个人按接水时间为 4 min,5 min,6 min,8 min，10 min 的顺序进行接水时等待的9总时间最少，为 4554638210184(min)9在 Rt ABC 中， C 为直角， A， B 所对的边分别为 a， b，则 aA bB
19、 与 (a b)的大小 4关系为_答案 aA bB (a b) 4解析 不妨设 a b0，则 A B0，由排序不等式Error!2(aA bB) a(A B) b(A B) (a b)， 2 aA bB (a b) 410设 a1， a2， an为正数，且 a1 a2 an5，则 的最小a21a2 a2a3 a2n 1an a2na1值为_答案 5解析 由所求代数式的对称性，不妨设 0 a1 a2 an，所以 a a a ，21 2 2n ，1a1 1a2 1an而 ， ， ， 为 ， ， ， 的一个排列，由乱序和反序和，得1a21a3 1an 1a1 1a11a21a3 1ana a a a
20、 a a a ，即211a2 2 1a3 2n 1 1an 2n 1a1 21 1a1 2 1a2 2n 1an a1 a2 an5.a21a2 a2a3 a2n 1an a2na1三、解答题11设 a， b， c(0，)，利用排序不等式证明： a2ab2bc2c ab cbc aca b.证明 不妨设 a b c0，则 lg alg blg c，所以 alg a blg b clg c blg a clg b alg c，alg a blg b clg c clg a alg b blg c，所以 2alg a2 blg b2 clg c( b c)lg a( a c)lg b( a b)l
21、g c，所以 lg(a2ab2bc2c)lg( ab cba cca b)，故 a2ab2bc2c ab cbc aca b.12设 a1， a2， an是 n 个互不相等的正整数，求证：101 a1 .12 13 1n a222 a332 ann2证明 设 b1， b2， bn是 a1， a2， an的一个排列，且满足 b1 b2 bn.因为 b1， b2， bn是互不相等的正整数，故 b11， b22， bn n.又因为 1 ，122 132 1n2故由排序不等式，得a1 b1 a222 a332 ann2 b222 b332 bnn2112 3 n122 132 1n21 .12 13
22、1n13已知 0 ，求证： 2sin cos sin cos sin cos (sin2 sin2 sin2 )12证明 0 ，且 ysin x 在 上为增函数， ycos x 在 为减函 2 (0， 2) (0， 2)数，0sin sin sin ，cos cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin122 sin2 sin2 )四、探究与拓展14设 x， y， z 为正数，求证：x y z .x2 y22z y2 z22x z2 x22y证明 由于不等式关于 x， y， z 对称，不妨设 0 x y z，于是
23、x2 y2 z2， ，1z 1y 1x由反序和乱序和，得x2 y2 z2 x2 y2 z2 ，1x 1y 1z 1z 1x 1yx2 y2 z2 x2 y2 z2 ，1x 1y 1z 1y 1z 1x11将上面两式相加得2(x y z) ，x2 y2z y2 z2x z2 x2y于是 x y z .x2 y22z y2 z22x z2 x22y15设 x0，求证：1 x x2 x2n(2 n1) xn.证明 (1)当 x1 时，1 x x2 xn.由排序原理知，11 xx x2x2 xnxn xn1 xn1 x1 xn，所以 1 x2 x4 x2n( n1) xn. 又因为 x， x2， xn,1 为 1， x， x2， xn的一个排序，于是由排序原理得1x xx2 xn1 xn xn11 xn xxn1 xn1 x xn1，所以 x x3 x2n1 nxn. ，得1 x x2 x2n(2 n1) xn.(2)当 0 x1 时，1 x x2 xn，同理可得结论综合(1)与(2)可知，当 x0 时，1 x x2 x2n(2 n1) xn.
