1、3.3.1 几何概型课时过关能力提升一、基础巩固1.已知 f(x)=x+1,x-3,2,则满足 f(x0)0,x 0 -3,2的 x0 取值的概率为( )A.15.25.35.45解析: f(x 0)0,x 0+10,x 0-1.x 0- 3,2,f(x 0)0 时,x 0 的取值范围为-3x 0-1.x 0 的取值概率为 -1-(-3)2-(-3)=25.答案: B2.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边长作正方形,这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( )A.49.13.427.14解析: 由题意知,所有试验结果构成的区域长度
2、为 |AB|=12,又 6AM9,则事件 A(正方形面积介于36cm2 与 81cm2 之间)发生时对应的区域长度为 9-6=3,则 P(A)=312=14.答案: D3.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自ABE 内部的概率等于( )A.14.13.12.23解析: ABE 的面积是矩形 ABCD 面积的一半,由几何概型 ,点 Q 取自 ABE 内部的概率为 12.答案: C4.如图,A 是圆 O 上固定的一点 ,在圆上其他位置任取一点 A,连接 AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12.
3、32C.13.14解析: 如图,当 AA的长度等于半径长度时 ,AOA P C.=3,由 圆 的 对 称性及几何概型得 =232=13.故 选答案: C5.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随意地飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个面的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是( )A.18.116.127.38解析: 蜜蜂的飞行区域是棱长为 30 的正方体内部,V=30 3=27000,蜜蜂安
4、全飞行的区域是棱长为 30-10-10=10 的正方体内部,V=10 3=1000,所以蜜蜂飞行是安全的概率 是=127.答案: C6.广告法对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为 910,那么 该 台每小 时约 有 分 钟 的广告 . 解析: 60 ).(1- 910)=6(分 钟答案: 67.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取点,则该点落在三棱锥 A1-ABC 内的概率是 . 解析: P= 1-1111=16.答案:168.如图,圆盘中扇形阴影部分的圆心角为 60,向圆盘内投镖,如果某人每次
5、都能随机投入圆盘中,那么他投中阴影部分的概率为 . 解析: 设圆盘的半径为 r,投中阴影部分为事件 A,阴影部分面积为 S P(A)=60360r2=16r2,故=1622=16.答案:169.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投的点落在 E 中的概率是 . 解析: 设点 P(x,y)是区域 D 内任意一点, D 是直线 x=2 与 y=2 围则 |2,|2,即 -22,-22,则 区域成的正方形,如图,区域 E 是以原点为圆心,半径为 1 的圆面.设点 P 落在区
6、域 E 中为事件 A,则 P(A)=1244=16.答案:1610.如图,在平面直角坐标系内,射线 OT 落在 60角的终边上,任作一条射线 OA,求射线 OA 落在xOT 内的概率.解: 记事件 M 为“ 射线 OA 落在xOT 内” .因为xOT=60,所以 P(M)=60360=16.即射线 OA 落在xOT 内的概率为 16.二、能力提升1.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A.7.68 B.8.68C.16.32 D.17.32解析: 矩形的面积 S=64=24,设椭圆的
7、面积为 S1,在矩形内随机地撒黄豆,黄豆落在椭圆内为事件 A,则 P(A) S116.32.=1=124300-96300,解得答案: C2.在区 sin x1”发生的概率为( )间 -2,2上随机取一个数 x,则 事件 “0A.14.13.12.23解析: 若 0sinx1,则 0x 2.由于 x 0sinx 1”为事件 A,-2,2,设 “则 P(A)=2-02-(-2)=2=12.答案: C3.四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于 1 的概率为( )A.4.14C.8.18解析: 如图,要使所取点
8、到 O 的距离大于 1,则该点应分布在阴影区域,P=阴影长 方形 =2-22=14.答案: B4.已知正三棱锥 S-ABC,在正三棱锥内任取一点 P,使得 VP-ABC12的概率是 ( )A.34.78.12.14解析: 设三棱锥 S-ABC 的高为 h,三棱锥 P-ABC 的高为 h.V P-ABC12,12.取 D,E,F 分别为 SA,SB,SC 的中点,连接 DE,EF,DF,则 P 落在三棱台 DEF-ABC 内,V P-ABC12的概率 为-=-=13-13141213 =78.答案: B5.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小 于65的概率是 . 解析: 设这两个数分
9、别为 x,y,则 x+y ,所求概率65,由几何概型及 图 可知 为 1-1245451 =1725.答案:17256.在区间- 2,4上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|m 的概率为 56,则 = . 解析: 由|x|m,得-mxm,当 m2 时,由题 ,舍去;意26=56,=2.5,矛盾当 2m4 时,由题意 m=3.得-(-2)6 =56,解得答案: 37.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.解: 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面当且仅当|x-y|15.如图,在平
10、面直角坐标系中,(x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示,由几何概型的概率公式得 P(A)=602-452602 =716.8.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数 ,求上述方程有实数根的概率;(2)若 a 是从区间0,3 上任取的一个数,b 是从区间0,2 上任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.解: 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实数根”.当 a0,b0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实数根当且仅当 ab.(1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)=912=34.(2)如图,试验的全部结果所构成的区域为( a,b)|0a3,0b2.构成事件 A 的区域为( a,b)|0a3,0b2,ab, 如图阴影部分所示.所以所求的概率为 P(A)=32-122232 =23.
