1、第二章 第 13 节 第一课时1(导学号 14577225)(2018银川市模拟)设 f(x)xln xax 2，a 为常数(1)若曲线 yf(x )在 x1 处的切线过点 A(0，2) ，求实数 a 的值；(2)若 f(x)有两个极值点 x1，x 2 且 x1x 2求证： a012求证：f (x 2)f (x 1) .12解：(1)f(x) xln x ax 2的导数为 f(x)ln x 12ax，在 x1 处的切线斜率为 k12a，切点为(1，a)，在 x1 处的切线过点 A(0，2)，则 k12aa2，解得 a1；(2)证明：由题意可得 f( x)0 有两个不等的实根 x1，x 2，且
2、0x 1x 2，设 g(x)ln x12ax ，g(x) 2a，x0.1x当 a0，则 g(x)0，g(x )在(0，) 递增，不合题意；当 a0 时，g(x)0 解得 x ，g( x)0 解得 x ，12a 12a即有 g(x)在 递增，在 递减(0， 12a) ( 12a， )即有 g ln 0，解得 a0；( 12a) ( 12a) 12由上可知，f(x )在(x 1，x 2)递增，即有 f(x2)f(x 1)，f(1)g(1)12a0，则 x1(0,1)，由可得 ax1 ， 1 ln x12即有 f(x1)x 1ln x1ax (x1ln x1x 1)，2112设 h(x) (xln
3、xx )，0x1，12h(x) ln x0 在(0,1)恒成立，12故 h(x)在(0,1)递减，故 h(x)h(1) ，12由此可得 f(x1) ，12综上可得 f (x2)f (x1) .1(导学号 14577225)(2018银川市模拟)设 f(x)xln 12xax 2，a 为常数(1)若曲线 yf(x )在 x1 处的切线过点 A(0，2) ，求实数 a 的值；(2)若 f(x)有两个极值点 x1，x 2 且 x1x 2求证： a012求证：f (x 2)f (x 1) .12解：(1)f(x) xln x ax 2的导数为 f(x)ln x 12ax，在 x1 处的切线斜率为 k1
4、2a，切点为(1，a)，在 x1 处的切线过点 A(0，2)，则 k12aa2，解得 a1；(2)证明：由题意可得 f( x)0 有两个不等的实根 x1，x 2，且 0x 1x 2，设 g(x)ln x12ax ，g(x) 2a，x0.1x当 a0，则 g(x)0，g(x )在(0，) 递增，不合题意；当 a0 时，g(x)0 解得 x ，g( x)0 解得 x ，12a 12a即有 g(x)在 递增，在 递减(0， 12a) ( 12a， )即有 g ln 0，解得 a0；( 12a) ( 12a) 12由上可知，f(x )在(x 1，x 2)递增，即有 f(x2)f(x 1)，f(1)g(
5、1)12a0，则 x1(0,1)，由可得 ax1 ， 1 ln x12即有 f(x1)x 1ln x1ax (x1ln x1x 1)，2112设 h(x) (xln xx )，0x1，12h(x) ln x0 在(0,1)恒成立，12故 h(x)在(0,1)递减，故 h(x)h(1) ，12由此可得 f(x1) ，12综上可得 f (x2)f (x 1) .122(导学号 14577226)已知函数 f(x)xln xmx( mR )的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为 2.(1)求实数 m 的值；(2)设 g(x) ，讨论 g(x)的单调性；fx xx 1(3)已知 m，n N*且 mn
6、1，证明 .mnnmnm解：(1)因为 f(x)xln x mx ，所以 f(x) 1ln xm.由题意 f(1)1ln 1m2，得 m1.(2)g(x) (x0，x 1) ，fx xx 1 xln xx 1所以 g(x) .x 1 ln xx 12设 h(x)x1 ln x，h(x )1 .1x当 x1 时，h(x)1 0， h(x)是增函数，1xh(x)h(1)0，所以 g(x) 0，x 1 ln xx 12故 g(x)在(1，)上为增函数；当 0h(1)0，所以 g(x) 0，故 g(x)在(0,1)上为增函数；x 1 ln xx 12所以 g(x)在区间(0,1)和(1 ，) 上都是单
7、调递增的(3)证明：由已知可知要证 ，mnnmnm即证 ln nln m，ln nm ln mn即证 ln m ln n，n 1n m 1m即证 ，即证 g(m)g(n)，mln mm 1 nln nn 1又 mn1(m，nN *)，由(2)知 g(m)g(n)成立，所以 .mnnmnm3(导学号 14577227)(理科)函数 f(x)ln(xm) nln x.(1)当 m1，n 0 时，求 f(x)的单调减区间；(2)n1 时，函数 g(x)( m 2x)f(x)am，若存在 m0，使得 g(x)0 恒成立，求实数a 的取值范围解：(1)f(x) ln(x1)nln x ，定义域为(0，)
8、，f(x) ，1x 1 nx 1 nx nxx 1当 n1 时，f(x ) 0，此时 f(x)的单调减区间为(0，)； 1xx 1当 0n1 时，0x 时，f ( x)0，此时 f(x)的单调减区间为 ；n1 n (0，n1 n)当 n1 时，x 时，f ( x)0，此时减区间为 .n1 n ( n1 n， )(2)n1 时，g(x )( m2x )ln(xm )ln xam ，g(x)0， 0，即 ln a 0，gxx (m xx 1) m xx (m xx 1)设 t1， (t1)ln ta(t1)0，ln t 0.m xx at 1t 1设 h(t)ln t ，h(t) ，h(1)0，a
9、t 1t 1 t2 21 at 1tt 12当 a2 时，t 22(1a)t1t 22t10，故 h(t)0， h(t)在(1，)上单调递增，因此 h(t)0；当 a2 时，令 h(t)0，得： t1a1 ，t 2a1 ，由a 12 1 a 12 1t21 和 t1t21，得：t 11，故 h(t)在(1 ，t 2)上单调递减，此时 h(t)h(1)0.综上所述，a2.3(文科)(2018西安市三模)已知函数 f(x)x 26ax1，g(x) 8a 2ln x2b1，其中a0.(1)设两曲线 yf(x )，yg( x)有公共点，且在该点处的切线相同，用 a 表示 b，并求 b的最大值；(2)设
10、 h(x)f(x)g( x)，证明：若 a1，则对任意 x1，x 2 (0，)，x 1x 2，有14.hx2 hx1x2 x1解：(1)：设 f(x)与 g(x)的图象交于点 P(x0，y 0)(x00)，则有 f(x0)g(x 0)，即 x 6ax 018a 2ln x02b1 20又由题意知 f(x 0)g(x 0)，即 2x06a ，8a2x0由解得 x0a 或 x04a(舍去)，将 x0a 代入整理得 b a24a 2ln a，72令 K(a) a24a 2ln a，则 K(a)a(3 8ln a)，72当 a 时，K(a)单调递增，当 a 时 K(a)单调递减，(0，8e3) (8e
11、3， )所以 K(a)K( )2e ，即 b2e ，8e334 34b 的最大值为 2e ；34(2)证明：不妨设 x1，x 2(0 ，) ，x1x 2， 14，hx2 hx1x2 x1变形得 h(x2)14x 2h( x1)14x 1，令 T(x)h(x) 14x，T ( x)2x 6a14，8a2xa1，T(x)2x 6 a148a6a140，8a2x则 T(x)在(0 ，)上单调递增，T(x 2)T (x1)，即 14 成立，hx2 hx1x2 x1同理可证，当 x1x 2 时，命题也成立综上，对任意 x1，x 2(0，)，x 1x 2，不等式 14 成立hx2 hx1x2 x14(导学
12、号 14577229)(理科)(2018大庆市一模) 已知函数 f(x)ln (xa)x 2x 在 x0处取得极值(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若关于 x 的方程 f(x) xb 在区间(0,2)有两个不等实根，求实数 b 的取值范围；52(3)对于 nN *，证明： ln(n1) 212 322 432 n 1n2解：(1)由已知得 f( x) 2x1 ，1x a 1 2xx a x ax af(0)0， 0，1 aaa 1.f(x)ln (x1)x 2x (x1)，于是 f(x) (x1)，1 2xx 1 x 1x 1 2x(x 32)x 1由 f(x )0 得1x0；由 f(
13、x)0，得 x0，f(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0，)(2)令 g(x)f(x) ln ( x1)x 2 xb，x(0,2)，( 52x b) 32则 g(x) 2x ，令 g( x)0，得 x1 或 x (舍去)1x 1 32 4x2 x 52x 1 54当 0x1 时，g( x)0；当 1x2 时 g(x) 0，即 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减方程 f(x) xb 在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数 g(x)在(0,2)上有两个不同的52零点Error!，即Error!；亦即Error!，ln 31bln 2 ，12故所求实数 b 的取
14、值范围为.b|ln 3 1 b ln 2 12(3)证明：由(1)可得，当 x0 时 ln (x1)x 2x(当且仅当 x0 时等号成立)设 x ，则 ln ，即 ln 1n (1 1n) 1n2 1n n 1n n 1n2 ln ， ln ， ln ， ln ，2212 21 322 32 432 43 n 1n2 n 1n将上面 n 个式子相加得： ln ln ln ln ln (n1)，2212 322 432 n 1n2 21 32 43 n 1n故 ln(n1)212 322 432 n 1n24(导学号 14577230)(文科)(2018天津河北区三模) 已知函数 f(x)axb
15、ln x 表示的曲线在点(2 ，f(2)处的切线方程 x2y2ln 20(1)求 a，b 的值；(2)若 f(x)kx 2 对于 x(0， )恒成立，求实数 k 的取值范围；(3)求证：nN *时，n(n1)2 .en 1e 1解：(1)函数 f(x)axbln x 的导数为 f(x)a ，在点(2，f(2)处的切线方程1xx2y2ln 20，即有 a ，解得 a1，12 12f(2)2abln 21ln 2，解得 b1，则有 a1，b1；(2)f(x)kx2 对于 x(0， )恒成立，即有x1ln xkx2 对于 x(0，) 恒成立，即有 k1 对于 x(0，)恒成立1 ln xx令 g(x
16、) ，g( x) ，1 ln xx ln x 2x2当 xe 2时，g(x )0，g(x) 递增；当 0xe 2时，g(x )0，g(x) 递减则 xe 2处 g(x)取得极小值，也为最小值，且为 ，1e2即有 k1 ，解得 k1 ；1e2 1e2(3)证明：f(x) x1ln x (x 0)，f(x)1 ，1x当 x1 时，f (x)0，f( x)递增，当 0x1 时，f( x)0，f(x )递减则 x1 处 f(x)取得极小值，也为最小值，且为 0，则有 f(x)0，即为 x1ln x，取 xn，则 n1ln n，即有 ne n1 .即有 12n1ee 2e n1 .则有 n(n1) ，1
17、2 1 en1 e即有 nN *时，n(n1)2 .en 1e 12(导学号 14577226)已知函数 f(x)xln xmx( mR )的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为 2.(1)求实数 m 的值；(2)设 g(x) ，讨论 g(x)的单调性；fx xx 1(3)已知 m，n N*且 mn1，证明 .mnnmnm解：(1)因为 f(x)xln x mx ，所以 f(x) 1ln xm.由题意 f(1)1ln 1m2，得 m1.(2)g(x) (x0，x 1) ，fx xx 1 xln xx 1所以 g(x) .x 1 ln xx 12设 h(x)x1 ln x，h(x )1 .1x
18、当 x1 时，h(x)1 0， h(x)是增函数，1xh(x)h(1)0，所以 g(x) 0，x 1 ln xx 12故 g(x)在(1，)上为增函数；当 0h(1)0，所以 g(x) 0，故 g(x)在(0,1)上为增函数；x 1 ln xx 12所以 g(x)在区间(0,1)和(1 ，) 上都是单调递增的(3)证明：由已知可知要证 ，mnnmnm即证 ln nln m，ln nm ln mn即证 ln m ln n，n 1n m 1m即证 ，即证 g(m)g(n)，mln mm 1 nln nn 1又 mn1(m，nN *)，由(2)知 g(m)g(n)成立，所以 .mnnmnm3(导学号
19、 14577227)(理科)函数 f(x)ln(xm) nln x.(1)当 m1，n 0 时，求 f(x)的单调减区间；(2)n1 时，函数 g(x)( m 2x)f(x)am，若存在 m0，使得 g(x)0 恒成立，求实数a 的取值范围解：(1)f(x) ln(x1)nln x ，定义域为(0，)，f(x) ，1x 1 nx 1 nx nxx 1当 n1 时，f(x ) 0，此时 f(x)的单调减区间为(0，)； 1xx 1当 0n1 时，0x 时，f ( x)0，此时 f(x)的单调减区间为 ；n1 n (0，n1 n)当 n1 时，x 时，f ( x)0，此时减区间为 .n1 n (
20、n1 n， )(2)n1 时，g(x )( m2x )ln(xm )ln xam ，g(x)0， 0，即 ln a 0，gxx (m xx 1) m xx (m xx 1)设 t1， (t1)ln ta(t1)0，ln t 0.m xx at 1t 1设 h(t)ln t ，h(t) ，h(1)0，at 1t 1 t2 21 at 1tt 12当 a2 时，t 22(1a)t1t 22t10，故 h(t)0， h(t)在(1，)上单调递增，因此 h(t)0；当 a2 时，令 h(t)0，得： t1a1 ，t 2a1 ，由a 12 1 a 12 1t21 和 t1t21，得：t 11，故 h(t
21、)在(1 ，t 2)上单调递减，此时 h(t)h(1)0.综上所述，a2.3(文科)(2018西安市三模)已知函数 f(x)x 26ax1，g(x) 8a 2ln x2b1，其中a0.(1)设两曲线 yf(x )，yg( x)有公共点，且在该点处的切线相同，用 a 表示 b，并求 b的最大值；(2)设 h(x)f(x)g( x)，证明：若 a1，则对任意 x1，x 2 (0，)，x 1x 2，有14.hx2 hx1x2 x1解：(1)：设 f(x)与 g(x)的图象交于点 P(x0，y 0)(x00)，则有 f(x0)g(x 0)，即 x 6ax 018a 2ln x02b1 20又由题意知
22、f(x 0)g(x 0)，即 2x06a ，8a2x0由解得 x0a 或 x04a(舍去)，将 x0a 代入整理得 b a24a 2ln a，72令 K(a) a24a 2ln a，则 K(a)a(3 8ln a)，72当 a 时，K(a)单调递增，当 a 时 K(a)单调递减，(0，8e3) (8e3， )所以 K(a)K( )2e ，即 b2e ，8e334 34b 的最大值为 2e ；34(2)证明：不妨设 x1，x 2(0 ，) ，x1x 2， 14，hx2 hx1x2 x1变形得 h(x2)14x 2h( x1)14x 1，令 T(x)h(x) 14x，T ( x)2x 6a14，8
23、a2xa1，T(x)2x 6 a148a6a140，8a2x则 T(x)在(0 ，)上单调递增，T(x 2)T (x1)，即 14 成立，hx2 hx1x2 x1同理可证，当 x1x 2 时，命题也成立综上，对任意 x1，x 2(0，)，x 1x 2，不等式 14 成立hx2 hx1x2 x14(导学号 14577229)(理科)(2018大庆市一模) 已知函数 f(x)ln (xa)x 2x 在 x0处取得极值(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若关于 x 的方程 f(x) xb 在区间(0,2)有两个不等实根，求实数 b 的取值范围；52(3)对于 nN *，证明： ln(n1) 21
24、2 322 432 n 1n2解：(1)由已知得 f( x) 2x1 ，1x a 1 2xx a x ax af(0)0， 0，1 aaa 1.f(x)ln (x1)x 2x (x1)，于是 f(x) (x1)，1 2xx 1 x 1x 1 2x(x 32)x 1由 f(x )0 得1x0；由 f( x)0，得 x0，f(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0，)(2)令 g(x)f(x) ln ( x1)x 2 xb，x(0,2)，( 52x b) 32则 g(x) 2x ，令 g( x)0，得 x1 或 x (舍去)1x 1 32 4x2 x 52x 1 54当 0x1 时，g
25、( x)0；当 1x2 时 g(x) 0，即 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减方程 f(x) xb 在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数 g(x)在(0,2)上有两个不同的52零点Error!，即Error!；亦即Error!，ln 31bln 2 ，12故所求实数 b 的取值范围为.b|ln 3 1 b ln 2 12(3)证明：由(1)可得，当 x0 时 ln (x1)x 2x(当且仅当 x0 时等号成立)设 x ，则 ln ，即 ln 1n (1 1n) 1n2 1n n 1n n 1n2 ln ， ln ， ln ， ln ，2212 21 322 32 43
26、2 43 n 1n2 n 1n将上面 n 个式子相加得： ln ln ln ln ln (n1)，2212 322 432 n 1n2 21 32 43 n 1n故 ln(n1)212 322 432 n 1n24(导学号 14577230)(文科)(2018天津河北区三模) 已知函数 f(x)axbln x 表示的曲线在点(2 ，f(2)处的切线方程 x2y2ln 20(1)求 a，b 的值；(2)若 f(x)kx 2 对于 x(0， )恒成立，求实数 k 的取值范围；(3)求证：nN *时，n(n1)2 .en 1e 1解：(1)函数 f(x)axbln x 的导数为 f(x)a ，在点(
27、2，f(2)处的切线方程1xx2y2ln 20，即有 a ，解得 a1，12 12f(2)2abln 21ln 2，解得 b1，则有 a1，b1；(2)f(x)kx2 对于 x(0， )恒成立，即有x1ln xkx2 对于 x(0，) 恒成立，即有 k1 对于 x(0，)恒成立1 ln xx令 g(x) ，g( x) ，1 ln xx ln x 2x2当 xe 2时，g(x )0，g(x) 递增；当 0xe 2时，g(x )0，g(x) 递减则 xe 2处 g(x)取得极小值，也为最小值，且为 ，1e2即有 k1 ，解得 k1 ；1e2 1e2(3)证明：f(x) x1ln x (x 0)，f(x)1 ，1x当 x1 时，f (x)0，f( x)递增，当 0x1 时，f( x)0，f(x )递减则 x1 处 f(x)取得极小值，也为最小值，且为 0，则有 f(x)0，即为 x1ln x，取 xn，则 n1ln n，即有 ne n1 .即有 12n1ee 2e n1 .则有 n(n1) ，12 1 en1 e即有 nN *时，n(n1)2 .en 1e 1
