1、【考点剖析】1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只
2、有一个平面.公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角).范围： 02， .3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理 4平行于同一条直线的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理
3、性质图形条件 a a，b ，ab aa，a ，b结论 a b a ab8.面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a，b ，a bP，a ，b，a，b，a 结论 ab a9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法.利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.垂直于同一个平面的两条直线平行.垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角
4、.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法.利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面
5、(2)公理 1 的作用：检验平面；判断直线在平面内； 由直线在平面内判断直线上的点在平面内(3)公理 2 的作用：公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断 “直线共面” 的方法(4)公理 3 的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线； 证明多点共线(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系线线垂直 线面垂直 面面垂直判 定 性 质 判 定 性 质(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理 4 或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：(1)立体几何与函数交汇性质【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，
6、该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O.D、E、F 为圆 O 上的点， DBC，ECA， FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起 DBC， ECA，FAB ，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为 _.【答案】 415【解析】（2）立体几何与基本不等式交汇如图， 在三棱锥 中， PABC90PACB（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ， ，当三棱锥 的体积最大时，求 的长1=2CPABC【答案】 （1）证明见解析；（2）当三棱锥 的体积最大时， PABC2BC（
7、2）方法 1：由已知及（1）所证可知， 平面 ， ，PABCA所以 是三棱锥 的高7 分PABC因为 ， ，设 ，8 分=2x02所以 9 分24C因为 13PABCABVSP10 分246x211 分2216x12 分3当且仅当 ，即 时等号成立13 分224xx所以当三棱锥 的体积最大时， 14 分PABC2BC（3）立体几何与三角函数交汇【2018 届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体 中， 分别棱是1111 、 的中点，异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）1、 1A. B. C. D. 147 57 105 255【答案】D【解析】如下图，过 E 点作 EM/AB,过 M 点
8、作 MN/AD,取 MN 中点 G,所以面 EMN/面 ABCD，EG/BF, 异面直线 与 所成角,转化为 ，不妨设正方形边长为 2，GE= , ,在 中，1 1 51=2,1=3 1由余弦定理 ，选 D.1=9+5223 5=255【考点分类】考向一 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017 课标 3，文 10】在正方体 1ABCD中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）A 11EDC B 1E C 1B D 1AEC【答案】C2.【2018 届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题： 若 ， ，且 ，则 若 ， ，且 ，则/若 ， ，且 ，则 /
9、若 ， ，且 ，则 /其中正确的命题是（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：可由面面垂直的判定定理进行判断；可由面面平行的条件进行判断；可由面面垂直的条件进行判断；可由面面垂直的判定定理进行判断.解析：若 ， ，且 ，则 ，正确. ，且 ，可得出 或 ，又 ，故可得到 . / 若 ， ，且 ，则 ，不正确./两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.若 ， ，且 ，则 ，不正确. / 且 ，可得出 ，又 ，故不能得出 . / / 若 ， ，且 ，则 ，正确. /且 ，可得出 ，又 ，故得出 . / / 故选：C.【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质
10、定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行 线面平行 面面平行.3.面面平行的证明方法：反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；面面平行的判断定理；利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直
11、线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直 线面垂直 面面垂直.6.面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思
12、路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面
13、垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例
14、；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从 “线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行” ；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先
15、找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知 m和 n是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m的是A ，且 B m n，且 C ，且 m D ，且 【答案】B【解析】mn, n 故选 B.【易错点】没有掌握线面垂直的条件考向二 空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018 年全国卷 II 文】在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C2.【2017 课标 3，理 16】a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角
16、三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判 定 定 理 ： 平
17、面 外 一 点 A 与 平 面 内 一 点 B 的 连 线 和 平 面 内 不 经 过 该 点 B 的 直 线 是 异 面 直 线 .(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解 .【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，
18、作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0，90.例.过正方体 ABCDA 1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA 1 所成的角都相等，这样的直线 l可以作 ( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【答案】 D【解析】如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB、AD、AA 1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 .联2想正方体的其他体对角线，如连
19、接 BD1，则 BD1 与棱 BC、BA、BB 1 所成的角都相等，BB 1AA 1，BCAD，体对角线 BD1 与棱 AB、AD 、AA 1 所成的角都相等，同理，体对角线 A1C、DB 1 也与棱 AB、AD、AA 1 所成的角都相等，过 A 点分别作 BD1、A 1C、DB 1 的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条.【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.考向三 线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018 年江苏卷】在平行六面体 中， 求证：（1） ；（2） 【答案】答案见解析2. 【2018 年浙江卷】如图，已知多
20、面体 ABCA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C 1C=1，AB =BC=B1B=2（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值【答案】 （）见解析（）【解析】分析:方法一：（ ）通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定理得结论， （）找出直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为 0 得出,再根据线面垂直的判定定理得结论， （）根据方程组解出平面 的一个法向量，然后利用 与平面 法向量
21、的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，所以 是 与平面 所成的角.由 得，所以 ，故 .因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此 由 得 .由 得 .所以 平面 .【解题技巧】1 利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化2 求线面所成角时注意垂直关系的应用3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定
22、要强调直线不在平面内，否则，会出现错误(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例 1.【2017 山东，文 18】 （本小题满分 12 分）由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1- B1CD1 后得到的几何体如图所示,四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A 1E平面 ABCD,（）证明： 1A平面 B1CD1;（）设 M 是 OD 的中点,证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 【答案】证明见解析.证明见解析.【解析】
23、试题分析：（）取 1BD中点 F,证明 1/AOC,（）证明 1BD面 1AEM.(II)因为 ACBD, E， M分别为 AD和 O的中点,所以 ,因为 为正方形,所以 B,又 1平面 , 平面 C所以 ,AEBD因为 1/所以 11,M又 1,AEM平面 1AE， 1ME.所以 BD平面 ,又 1平面 1C,所以平面 AE平面 1BD.【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。【热点预测】1.设 ， 是两个不同的平面， m是直线且 “ m ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B2
24、 【衡水金卷压轴卷】2018 年模拟（二） 】已知在底面为菱形的直四棱柱 中， 1111，若 ，则异面直线 与 所成的角为（ ）=4,1=42 =60 1 1A B C D 30 45 60 90【答案】D【解析】连接 ，,1四边形 为菱形， ， .又 为直角三角形， =60,=4 =4 1，得 ， 四边形 为正方形.连接 交 于点 21=2+21 1=4 11 1 1 ， （或其补角)为异面直线 与 所成的角，由于 为正方形， 11 1 1 11，故异面直线 与 所成的角为 .=90 1 1 90故选： .D3 【2018 届广东省深圳市高考模拟二】已知 、 为两条不同的直线， 、 为两个不
25、同的平面，则下列命题中正确的是A 若 , ,且 ,则 , B 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则C 若 ，则D 若 ，则【答案】D【解析】4 【黑龙江省 2018 年仿真模拟（十一） 】已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题, ,正确的是（ ）A 若 垂直于同一平面，则 与 平行, B 若 平行于同一平面，则 与 平行, C 若 不平行，则在 内不存在与 平行的直线, D 若 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面, 【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行
26、两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确；D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故 D 正确.本题选择 D 选项. 5.【2018 届上海市大同中学三模】平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的摄影分别是 和 ， 1 1给出下列四个命题： ； ； 与 相交 与 相交或重合； 与11 11 1 1 1平行 与 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）1 A 1 B 2 C 3 D 4【答案】D【解析】对于说法：若取平面 为 ， ， 分别为 ， 分别为 ， 11 1 1 11, 11,满足 与 平行，但是 与 异面，该说法错误；1 1 综上可得：不正确的命题个数是 4.本题选择 D 选
27、项.6 【2018 届福建省莆田第九中学高考模拟】过正方体 的顶点 的平面 与直线 垂直，1111 1且平面 与平面 的交线为直线 ，平面 与平面 的交线为直线 ，则直线 与直线 所成角的大 11 11 小为（ ）A B C D 6 4 3 2【答案】C【解析】所以直线 与直线 所成角就是 , 3故答案为：C. 7.已知二面角 l为 60， AB， l，A 为垂足， CD， l， 135ACD，则异面直线 AB与 CD所成角的余弦值为 （ ）A 14 B 2 C 34 D 12【答案】B. El BDACG8.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 1CA中， C120A， ， 1C，
28、则异面直线 1A与 C所成角的余弦值为（ ）A 32 B 5 C 105 D 3【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱 1ACD ,则所求角为 2011 11, cos63,5BBCDAB 因此 120cos5CD ，故选 C。9.【2018 届福建省罗源第一中学 5 月校考】设 分别是正方体 的棱 上两点，且, 1111 ，给出下列四个命题： 三棱锥 的体积为定值；异面直线 与 所成的角为=2,=1 11 11 ； 平面 ；直线 与平面 所成的角为 .其中正确的命题为（ ）450 11 1 11 1 600A B C D 【答案】A【解析】由题意得，如图所示，中，三棱锥的体积的为 ，所以体积
29、为定值；中，在正方体中， ，所以异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角，即 ，所以这正确的；中，由可知，直线 与 不垂直，所以 面 不成立，所以是错误的；中，根据斜线与平面所成的角，可知 与平面 所成的角，即为 ，所以不正确10.【江苏省南通市 2018 年高考模拟】在正四棱锥 中，E，F 分别为棱 VA，VC 的中点（1）求证：EF平面 ABCD；（2）求证：平面 VBD平面 BEF【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】（1）因为 E，F 分别为棱 VA，VC 的中点，所以 EFAC ， 又因为 ， ，平面 平面 所以 EF平面 ABCD 11.【2018 届上海市浦东新区 5 月
30、三模】在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形， 平面 4 , .=6(1)求四棱锥 的体积；(2)求异面直线 与 所成角的大小.【答案】(1) .(2) .=32132【解析】(1) 在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形， 平面 ， ，四棱锥 =6的体积 =13=13426=3212.【2018 届宁夏银川一中四模】如图，四棱锥 ， ， ， ，/=2=4 =23，M，O 分别为 CD 和 AC 的中点， 平面 ABCD=90 求证：平面 平面 PAC；() 是否存在线段 PM 上一点 N，使得 平面 PAB，若存在，求 的值，如果不存在，说明理由( ) /【答案】 （1）见解析（2）当
31、N 为 PM 靠近 P 点的三等分点时， 平面 PAB/【解析】解： 连结 MO 并延长交 AB 于 E，设 AC，BM 的交点为 F()，O 是 CD，AC 的中点， ， ， /=12=2是 AB 的中点， =12=3=12(+)=3=2+2=23， ，/= ， =12=3 =12=14， =2+2=4 =1， ，即 2+2=2 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，又 平面 PAC， 平面 PAC， ， =平面 PAC，又 平面 PBM， 平面 13.如图，矩形 ABCD所在的平面和平面 ABEF互相垂直，等腰梯形 ABEF中， ， AB=2，1F， 60， O， P分别为 ， C的中点，
32、 M为底面 O的重心.（）求证： PM平面 ；（）求直线 A与平面 BF所成角的正弦值.FACDEOPBM【答案】 （）见解析；（） 5.（） 矩形 ABCD所在的平面和平面 ABEF互相垂直， CBA所以 平面 EF， 又 平面 1D，所以 F -7 分又 2， 1， 60，由余弦定理知 3B， 22AB得 AB -8 分AFC F平面 C -9 分所以 为直线 与平面 所成的角， -10 分在直角三角形 中 15sinAFC-12 分FACDEOPBMxyz14.【2017 北京，文 18】如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC =2，D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点（）求证：PABD ；（）求证：平面 BDE平面 PAC；（）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积【答案】详见解析【解析】（II）因为 ABC， D为 A中点，所以 BDAC，由（I）知， P，所以 平面 P，所以平面 E平面 .（III）因为 平面 ，平面 平面 E，所以 PAD .因为 为 C的中点，所以 12EPA， 2BDC.由（I）知， 平面 ，所以 平面 .所以三棱锥 EB的体积 163VE.
