1、第二章 第 13 节 第二课时1(导学号 14577231)(文科)(2018贵阳市一模) 设 f(x)x ex，g( x) x2x.12(1)令 F(x)f( x)g( x)，求 F(x)的最小值；(2)若任意 x1，x 2 1，) 且 x1x 2 有 mf(x1)f(x 2)g(x 1)g(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围解：(1)F( x)f (x)g( x)xe x x2x，12F(x) ( x1)(e x1)，令 F(x)0，解得 x1；令 F( x)0，解得 x1，故 F(x)在( ，1) 递减，在( 1，)递增，故 F(x)minF( 1) .12 1e(2)若任意 x1，x
2、 2 1，) 且 x1x 2有 mf(x1)f(x 2)g(x 1)g(x 2)恒成立，则任意 x1，x 21，)且 x1x 2有 mf(x1)g( x1)mf (x2)g( x2)0 恒成立令 h(x)mf(x) g(x)mxe x x2x，x 1，)，12即只需 h(x)在1，)递增即可，故 h(x) (x 1)(mex1)0 在1，) 恒成立，故 m ，而 e ，1ex 1ex故 me.1(导学号 14577232)(理科)(2018贵阳市一模) 设 f(x)ln x，g(x) x|x|.12(1)求 g(x)在 x1 处的切线方程；(2)令 F(x)x f(x)g(x)，求 F(x)的
3、单调区间；(3)若任意 x1，x 21 ，)且 x1x 2，都有 mg(x1)g( x2)x 1f(x1)x 2f(x2)恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)x0 时，g(x) x2，g( x)x，12故 g(1) ，g( 1)1，12故切线方程是 y ( x1)，即 xy 0.12 12(2)F(x)xln x x|x|x ln x x2，( x0)，12 12F(x) ln x x1，F(x ) 1.1x令 F(x)0，解得 0x1；令 F( x)0，解得 x1，故 F(x)在(0,1) 递增，在(1，)递减，故 F(x)F (1)0，故 F(x)在(0 ，) 递减(3)已知可转化为
4、x1x 21 时，mg( x1)x 1f(x1)mg (x2)x 2f(x2)恒成立令 h(x)mg(x)xf(x ) x2xln x，则 h(x)为单调递增的函数，m2故 h(x) mxln x10 恒成立，即 m 恒成立ln x 1x令 m(x) ，则 m( x) ，ln x 1x ln xx2当 x1，)时，m(x) 0，m (x)单调递减，m(x)m(1)1，故 m1.2(导学号 14577233)(理科)(2018桂林市、北海市、崇左市一模 )已知函数 f(x)axxln x(a R)(1)若函数 f(x)在区间 e， )上为增函数，求 a 的取值范围；(2)当 a1 且 kZ 时，
5、不等式 k(x1)f (x)在 x(1，)上恒成立，求 k 的最大值解：(1)f( x)axxln x，f(x)a1ln x ，又函数 f(x)在区间e，) 上为增函数，当 xe 时，a1ln x 0 恒成立，a ( 1ln x) max1ln e2，即 a 的取值范围为2，) ；(2)当 x1 时，x10，故不等式 k(x1)f(x)k ，fxx 1即 k0h( x)在(1，) 上单增1x x 1xh(3) 1ln 3 0，h(4)2ln 40，存在 x0(3,4)使 h(x0)0，即当 1xx 0时，h(x )0，即 g(x) 0，当 xx 0时，h(x )0，即 g(x) 0，g(x)在
6、(1，x 0)上单减，在 (x0，)上单增令 h(x0)x 0ln x020，即 ln x0x 02，g(x) ming(x 0) x 0(3,4)，x01 ln x0x0 1 x01 x0 2x0 1kg(x )minx 0且 kZ，即 kmax 3.2(导学号 14577234)(文科)(2018潍坊市一模) 设 f(x)ax 2a ，g(x) ln x.eex 12(1)设 h(x)f(x)g( x) ，讨论 yh( x)的单调性；ex exxex(2)证明：对任意 a ，x (1 ，)，使 f(x)g( x)成立( ，12解析：(1)h(x) f( x)g( x) ax 2ln xa，
7、ex exxex则 h(x) 2ax .1x 2a2 1x a0 时，h(x)在(0，)递减；a0 时，令 h(x)0，解得 x ，12a令 h(x) 0，解得 0x ，12a故 h(x)在 递减，在 递增(0，12a) ( 12a， )(2)证明：由题意得：ax 2a ln x，eex 1xx(1 ，)，ax 2aln x .1x eex设 k(x) ，ex exxex若记 k1(x)e xex，则 k1(x)e xe，当 x1 时，(x)0，k 1(x)在(1，)递增，k 1(x)k 1(1)0，若 a0，由于 x1，故 f(x)g(x)恒成立若 0a ，设 h(x)a(x 21)ln x
8、 ，12由(1)x 时，h(x)递减， x 时，h(x) 递增，(1，12a) ( 12a， )故 h h(1)0，而 k 0，(12a) ( 12a)即存在 x 1，使得 f(x)g( x)，12a故对任意 a(，0)，x(1，)，使得 f(x)g( x)成立3(导学号 14577235)(理科)(2018湖南十三校第二次联考 )设函数 f(x) ax.xln x(1)若函数 f(x)在 (1，)上为减函数，求实数 a 的最小值；(2)若存在 x1，x 2e，e 2，使 f(x1)f(x 2)a 成立，求实数 a 的取值范围解：(1) 由已知得 x0，x1.因 f (x)在(1，)上为减函数
9、，故 f( x) a0 在(1，)上恒成立ln x 1ln x2所以当 x(1 ，)时，f(x) max0.又 f(x ) a 2 aln x 1ln x2 ( 1ln x) 1ln x 2 a，(1ln x 12) 14故当 ，即 xe 2时，f(x) max a.1ln x 12 14所以 a0，于是 a ，故 a 的最小值为 .14 14 14(2)命题“若存在 x1，x 2e，e 2，使 f(x1)f(x 2)a 成立 ”等价于“当 xe，e 2时，有 f(x)minf(x) maxa” 由(1)，当 xe，e 2时，f(x) max a，f(x) maxa .14 14问题等价于：“
10、当 xe，e 2时，有 f(x)min ”14当 a 时，由(1)，f (x)在e ，e 2上为减函数，14则 f(x)minf(e 2) ae 2 ，故 a .e22 14 12 14e2当 a ，矛盾14()a0，f (x)为增函数，所以，f min(x)f(x 0) ax 0 ，x 0(e ，e 2)所以，a x0ln x0 14 1ln x0 14x0 1ln e2 14e12 14，与 0a 矛盾14 14综上得 a .12 14e23(导学号 14577236)(文科)(2018湖南郴州市一模) 已知函数 f(x)x 32f(1)x21，g( x)x 2ax( aR)(1)求 f(
11、1)的值和 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x11,1都存在 x2(0,2)，使得 f(x1)g(x 2)，求实数 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)x 32f(1)x 21，f(x)3x 2 4f(1) x，f(1)34f (1)，即 f(1)1，f(x)0，解得 x0 或 x ；f (x) 0，43解得 0x ；43即 f(x)在(，0、 上单调递增；在 单调递减；43， ) (0，43(2)当 x11,1时，f( x)在 1,0 单调递增，在0,1单调递减；而 f(1)2 ，f(1)0，可知 f(x)maxf (1)2，从而：2g(x)x 2ax 在 x(0,2)上有解，即 a
12、有解，x2 2xa min2 ，即 a2 .x2 2x 2 24(导学号 14577237)(2018吉林白山市三模)已知函数 f(x)mx ，g( x)3ln x.mx(1)当 m4 时，求曲线 f(x)mx 在点(2，f (2)处的切线方程；mx(2)若 x(1， (e 是自然对数的底数) 时，不等式 f(x)g(x)3 恒成立，求实数 m 的e取值范围解：(1)f(x) 4x 的导数为 f(x)4 ，4x 4x2可得在点(2，f(2)处的切线斜率为 k415，切点为(2,6)，可得切线的方程为 y65( x2)，即为 y5x4；(2)x(1， 时，不等式 f(x)g(x)3 恒成立，e即为 m 3ln x3 在(1 ， 恒成立，(x 1x) e由 1x 时，3ln x3 ，x 递增，可得值域为 ，e (3，92 1x (0，e 1e即有 m 的最小值，3xln x xx2 1由 h(x) 的导数为 h(x) ，3xln x xx2 1 3 2 ln x x2ln xx2 12可得 1x 时，h(x) 0，h( x)递减，e可得 x 时，h(x) 取得最小值，且为 .e9e2e 1可得 m .9e2e 1则 m 的范围是 .( ，9e2e 1)
