1、第七章 第 7 节（理） 第二课时 基础训练组1(导学号 14577717)已知四棱锥 SABCD 的底面为平行四边形， SD底面ABCD， SD1，AB 2，AD 1，DAB 60，M、N 分别为 SB、SC 中点，过 MN 作平面 MNPQ 分别与线段 CD、AB 相交于点 P、Q .若 ，求二面角 MPQ B 的平面AQ 13AB 角大小( )A60 B30C45 D75解析：A 在 ABCD 中，设 AB2AD4，DCB60，所以由余弦定理求得 BD，有 AB2AD 2BD 2，所以 ADBD， 6 分3以 D 为原点，直线 DA 为 x 轴，直线 DB 为 y 轴，直线 DS 为 z
2、 轴建立空间直角坐标系，且 A(1,0,0)，B (0， ，0)，S(0,0,1)，M ，3 (0，32，12)又 ，则 Q .AQ 13AB (23，33，0)设平面 MNPQ 的法向量为 n(x，y，z)，由Error! ，得 n(0， ，1), 3易知平面 ABCD 的法向量为 m(0,0,1) ，则 cosm，n ，|mn|m|n| 12所以二面角 MPQB 为 60.2(导学号 14577718)(2018秦皇岛市模拟)已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA12AB，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( )A. B.1010 15C.
3、D.31010 35解析：C 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AA12AB2，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D 1(0,0,2)所以 (0 ，1,1)， (0，1,2)，BE CD1 所以 cos ， .BE CD1 BE CD1 |BE |CD1 | 325 310103(导学号 14577719)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB 1，AC2 ，BC ，D，E 分别是 AC1 和 BB1 的中点，则直线 DE 与平面 BB1C1C 所3成的角为( )A. B.6 4C. D.3 2解析：A AB1，AC2，BC
4、，3AC2BC 2AB 2，AB BC.三棱柱为直三棱柱，BB 1平面 ABC.以 B 为原点，BC，BA ，BB 1所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则 A(0,1,0)，C( ，0,0)设 B1(0,0，a) ，则 C1( ，0，a) ，3 3D ，E ， ，平面 BB1C1C 的法向量(32，12，a2) (0，0，a2) DE ( 32， 12，0) (0,1,0)设直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 ，则 sin |cos ， | ，BA DF BA 12 .64(导学号 14577720)如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形
5、 ABCD 为平行四边形，且BC平面 PAB，PAAB，M 为 PB 的中点，PA AD 2. 若 AB1，则二面角 BACM的余弦值为( )A. B.66 36C. D.26 16解析：A BC平面 PAB，AD BC，AD平面 PAB，PAAD，又 PAAB ，且ADABA ，PA 平面 ABCD.以点 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz.则 A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M ，(0，12，1) (2,1,0)， ，AC AM (0，12，1)求得平面 AMC 的一个法向量为
6、n(1 ，2,1)，又平面 ABC 的一个法向量 (0,0,2)，AP cosn， .AP nAP |n|AP | 21 4 12 66二面角 BAC M 的余弦值为 .665(导学号 14577721)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACB90，2ACAA 1BC 2.若二面角 B1DCC 1 的大小为 60，则 AD 的长为( )A. B.2 3C2 D.22解析：A 如图，以 C 为坐标原点， CA，CB ，CC 1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设 ADa，则 D 点
7、坐标为(1,0， a)， (1,0，a) ， (0,2,2)设平面 B1CD 的法向量为 m(x，y ，z)CD CB1 由Error! ，得Error! ，令 z1，则 m( a,1，1)又平面 C1DC 的一个法向量为 n(0,1,0)，则由 cos 60 ，得 ，解得 a ，|mn|m|n| 1a2 2 12 2所以 AD .故选 A.26(导学号 14577722)(2018郑州市模拟)在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB 2，BCAA 11，则 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 _ .解析：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1为 z 轴
8、，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C 1(0,2,1)，(1,2,0) ， (0,2，1) ， ( 1,2,0)A1B A1C1 设 n(x，y，z )为平面 A1BC1的法向量，则Error!即Error!令 z2，则 y1，x 2，于是 n(2,1,2)， (0,2,0)，D1C1 设所求线面角为 ，则 sin |cosn ， | .D1C1 13答案：137(导学号 14577723)如图，在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P为侧棱 SD 的中点，且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成角为 _ .解析：如图所示，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O
9、xyz.设ODSOOA OBOC a ，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C( a,0,0)，P(0， ， )a2 a2则 (2a,0,0)， (a， ， )， ( a，a,0)CA AP a2 a2 CB 设平面 PAC 的法向量为 n，可求得 n(0,1,1)，则 cos ，n .CB CB n|CB |n| a2a2 2 12 ，n 60，CB 直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 9060 30.答案：308(导学号 14577724)设正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，则点 D1 到平面 A1BD 的距离是 _ .解析：如图建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,
10、2)，A 1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)， (2,0,0)， (2,0,2)， (2,2,0) .D1A1 DA1 DB 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y ，z )，则Error! .令 x1，则 n(1 ，1，1) ，点 D1到平面 A1BD 的距离 d .|D1A1 n|n| 23 233答案：2339(导学号 14577725)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD135 ，侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA2，E，F 分别为BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD 上(1)求证：EF平面 PAC；(2)如果
11、直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求的值PMPD解：(1)证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 ABAC ，BCD135，所以 ABAC.由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，得 EFAB, 所以 EFAC. 2 分因为侧面 PAB底面 ABCD，且BAP90，所以 PA底面 ABCD.又因为 EF底面 ABCD，所以 PAEF. 4 分又因为 PAAC A ，PA平面 PAC，AC 平面 PAC，所以 EF平面 PAC. 5 分(2)因为 PA底面 ABCD，ABAC ，所以 AP，AB，AC 两两垂直，故以 AB，AC，AP分别为 x 轴
12、、y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2,0,0) ，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(2,2,0)，E(1,1,0)， 7 分所以 (2,0 ，2)， (2,2，2) ，PB PD (2,2,0) ，BC 设 ( 0,1)，则 (2，2，2)，PMPD PM 所以 M(2，2，22 )， (1 2 ，12，22)，ME 易得平面 ABCD 的法向量 m(0,0,1) 设平面 PBC 的法向量为 n (x，y，z)， 9 分由Error! 得Error!令 x1，得 n(1,1,1) 10 分因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 A
13、BCD 所成的角相等，所以|cos ，m|cos ，n|，即 ，ME ME |ME m|ME |m|ME n|ME |n|所以|2 2| ，|23|解得 ，或 (舍)3 32 3 32综上所得： 12 分PMPD 3 3210(导学号 14577726)(2018济宁市一模)如图甲：O 的直径 AB2，圆上两点C，D 在直径 AB 的两侧，使CAB ，DAB ，沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的4 3平面互相垂直(如图乙)，F 为 BC 的中点，根据图乙解答下列各题：(1)若点 G 是 的中点，证明：FG 平面 ACD；BD(2)求平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值解：(1
14、)证明：连接 OF，FG，OG，F，O 是 BC，AB 的中点，FOAC，FO平面 ACD，AC平面 ACD，FO平面 ACD，DAB ，且 G 是 BD 弧的中点，3BOG ，则 ADOG，3OG平面 ACD，AD平面 ACD，OG平面 ACD，FOOG O，FO ，OG平面 FOG，平面 FOG 平面 ACD，又 FG平面 FOG，FG平面 ACD(2)如图，设 H 为弧 DG 的中点，建立以 O 为坐标原点，OH ，OB，OC 分别为x，y，z 轴的空间直角坐标系如图；则 A(0，1,0)，B(0,1,0)，C (0,0,1)，D ( ， ，0) ，32 12G( ，0) ，32 12设
15、平面 ACD 的法向量为 m (x，y ，z )，则 (0,1,1) ， ( ，0) ，AC AD 32 12则由 m yz 0，m x y0，得Error! ，AC AD 32 12令 y ，则 m(1 ， ， )，3 3 3同理可得平面 BCD 的法向量为 n( ，1,1) ，3则 cosm，n ，mn|m|n| 375 10535即平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值是 .10535能力提升组11(导学号 14577727)在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 ABAA 14，点 D 是 AA1 的中点，则点 A1 到平面 DBC1 的距离是( )A. B.222C.
16、 D.333解析：过点 A 作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 为 y，轴以 AA1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 ABAA 14，点 D 是 AA1 的中点，B(2 ，2,0) ， C1(0,4,4)，3D(0,0,2)，A 1(0,0,4)， (2 ， 2，2) ， (0,4,2)， (0,0,2) ，DB 3 DC1 DA1 设平面 BDC1 的法向量为 n( x，y，z) ，n 0，n 0，DB DC1 Error! n( ，1,2)，3点 A1 到平面 DBC1 的距离 d .故选 A.|nDA1 |n| |0 0 4|3 1 4
17、 212(导学号 14577728)已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于 ( )A. B.64 104C. D.22 32解析：A 如图，以 A1C1中点 E 为原点建立空间直角坐标系 Exyz ，设棱长为 1，则A ，B 1 .(12，0，1) (0，32，0)设 AB1与平面 ACC1A1所成的角为 ，EB 1为平面 ACC1A1的法向量则 sin |cos ， |AB1 EB1 ，故选 A.|( 12，32， 1)(0，32，0)232 | 6413(导学号 14577729)如图，已知点 E、F 分别在正方体 A
18、BCDA 1B1C1D1 的棱BB1、CC 1 上，且 B1E2EB ，CF 2FC 1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值为 _ .解析：如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ，设 DA1，由已知条件得，A(1,0,0)，E，F ，(1，1，13) (0，1，23) ， .设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z) ，平面 AEF 与平AE (0，1，13) AF ( 1，1，23)面 ABC 所成的二面角为 ，由Error! ，得Error!.令 y1，则 n(1,1，3)又平面 ABC 的一个法向量为 m(0,0，1) ，则 cos |cos n ，m| ，所以 tan
19、 .311 23答案：2314(导学号 14577730)(2018汕头市二模)如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A1B12，AA 1h，E 为 BB1 的中点(1)若 h2，请画出该正三棱柱的正( 主)视图与侧(左) 视图(2)求证：平面 A1EC平面 AA1C1C；(3)当平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成的锐二面角为 45时，求该正三棱柱外接球的体积解：(1)ABC 是边长为 2 的正三角形，ABC 的高为 ，3又 h2，正视图为边长为 2 的正方形，左视图为边长为 2 和 的矩形，3作出正(主) 视图与侧：( 左)视图如下：(2)证明：连接 AC1交 A1C 于 F，
20、取 A1C1的中点 M，连接 EF，FM，MB 1.四边形 ACC1A1是矩形，F 是 AC1的中点EFMB1.A1B1C1是正三角形， MB1A 1C1.AA1平面 A1B1C1，MB 1平面 A1B1C1，AA1MB 1，又 AA1A 1C1A 1，MB1平面 ACC1A1，又 MB1EF，EF平面 ACC1A1，又 EF平面 A1EC，平面 A1EC 平面 AA1C1C.(3)以 M 为原点，以 MC1，MB 1，MF 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 Mxyz ，如图所示，则 A1(1,0,0) ，E (0， ， )，C(1,0，h)，3h2 (1 ， ， )， (2,0，h)AE 3 h2 A1C 设平面 A1EC 的法向量为 n (x，y，z)，则Error!，令 z1 得 n ( ，0,1)h2又 AA1平面 A1B1C1，m(0,0,1)是平面 A1B1C1的一个法向量平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成的锐二面角为 45，|cosm，n | ，h2，mn|m|n|11h24 1 22设A 1B1C1的中心为 N，则 N(0， ，0)，33正三棱柱外接球的球心为 P(0， ，1)，33外接球的半径 rPA 1 ，1 39 1 213外接球的体积 V r3 .43 282127
