1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课时过关能力提升基础巩固1.如果两条直线 a 和 b 没有公共点,那么 a 和 b( )A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面解析: 当直线 a,b 没有公共点时 ,a,b 可能平行,也可能异面.答案: D2.在三棱锥 S-ABC 的棱中,与棱 SA 异面的棱是( )A.BC B.SC C.AB D.SB解析: SC,AB,SB 与 SA 均相交 ,BC 与 SA 异面.答案: A3.已知直线 a直线 b,直线 b直线 c,直线 c直线 d,则 a 与 d 的位置关系是( )A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定解析: ab,bc , ac.又
2、cd, ad.答案: A4.若直线 a,b,c 满足 ab,a,c 异面,则 b 与 c( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析: 若 bc,由 ab,知 ac,这与 a,c 异面相矛盾,则 b 与 c 不可能平行,故选 C.答案: C5.已知直线 a 与直线 b 相交,直线 c 与直线 b 相交,则直线 a 与直线 c 的位置关系是( )A.相交 B.平行C.异面 D.以上都有可能解析: 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB 与 AA1 相交.因为 A1B1 与 AA1 相交,所以 ABA 1B1;因为AD 与 AA1 相交,所以
3、 AB 与 AD 相交;因为 A1D1 与 AA1 相交,所以 AB 与 A1D1 异面.故选 D.答案: D6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱中,(1)与棱 AB 平行的棱有 ; (2)与棱 AB 相交的棱有 ; (3)与棱 AB 异面的棱有 ; (4)与棱 AB 垂直的棱有 . 答案: (1)A1B1,C1D1,CD (2)BC,B1B,AD,AA1 (3)CC1,DD1,A1D1,B1C1 (4)BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD17.若AOB= 120,直线 aOA,a 与 OB 为异面直线,则 a 和 OB 所成的角的大小为 . 解析: 因
4、为 aOA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以 a 与 OB 所成的角为60.答案: 608.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 AC 与 B1C1 所成角的大小为 . 解析: 由于 BCB 1C1,则ACB 就是异面直线 AC 与 B1C1 所成的角 .又四边形 ABCD 是正方形,则ACB=45.答案: 459.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上 ,且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是 .(只填序号) 解析: 中,PQ 与 RS 是平行直线. 中,PQ 与 RS 是异面直线. 中,PQ 与 RS 是相交直线.
5、答案: 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,中心为 O,且底面边长和侧棱长相等,M 是 PC 的中点,求 MO 与 AB 所成的角的大小.解:如图,连接 AC,则 O 为 AC 的中点 .因为 M 为 PC 的中点,所以在 APC 中,MOPA,即PAB 为异面直线 MO 与 AB 所成的角( 或补角).由已知得 PA=AB=PB,所以PAB 为等边三角形,即PAB=60.故 MO 与 AB 所成的角的大小为 60.能力提升1.已知 a,b 为异面直线,且 a,b,若 =l,则直线 l ( )A.与 a,b 都相交B.与 a,b 都不相交C.至少与 a,b 之一相
6、交D.至多与 a,b 之一相交解析: 若 a,b 与 l 都不相交,则 al,bl ,即 ab,与 a,b 是异面直线矛盾.故选 C.答案: C2.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是( )A.平行B.相交且垂直C.异面D.相交且成 60角解析: 将展开图还原为正方体 ,如图所示,则ABC 是等边三角形,所以直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是相交且成 60角.答案: D3.若两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交,则直线 a,b 的位置关系是( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线,也可能是相交直线解析:
7、在如图所示的长方体中,直线 A1D1 与直线 AB 是异面直线.由图可知直线 A1A 和直线 A1B 都与直线 A1D1 和直线 AB 相交 ,此时直线 A1A 和直线 A1B 相交于点 A1;直线 A1A 和直线 BD1 都与直线 A1D1 和直线 AB 相交,此时直线 A1A 和直线 BD1 是异面直线.综上可知,选 D.答案: D4.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AC,BD 的中点,若 CD=2AB,EFAB,则 EF 与 CD 所成的角为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析: 取 AD 的中点 H,连接 FH,EH.在EFH 中,EFH=90,HE=2HF,从
8、而FEH=30,故选 A.答案: A5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下四个结论: 直线 AM 与 CC1 是相交直线 ; 直线 AM 与 BN 是平行直线; 直线 BN 与 MB1 是异面直线; 直线 AM 与 DD1 是异面直线 .其中正确结论为 .(只填序号) 答案: 6.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 AE EB=AF FC,则 EF 与 B1C1 的位置关系是 . 解析: 在ABC 中,因为 AE EB=AF FC,所以 EFBC.又在三棱柱 ABC-A1B1C1 中
9、,BCB 1C1,所以 EFB 1C1.答案: 平行7.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中的平面 A1C1 内有一点 P,经过点 P 作棱 BC 的平行线,应该怎样画?并说明理由.解: 如图,在平面 A1C1 内过点 P 作直线 EFB 1C1,交 A1B1 于点 E,交 C1D1 于点 F,则直线 EF 即为所求.理由如下:因为 EFB 1C1,BCB 1C1,所以 EFBC.8.如图,已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A 1A=AB,E,F 分别是 BD1 和 AD 的中点,求异面直线 CD1与 EF 所成的角的大小.解: 取 CD1 的中点 G,连接 EG,DG.因为 E 是 BD1 的中点,所以 EGBC ,EG= BC.因为 F 是 AD 的中点,且 ADBC,AD=BC ,所以12DFBC ,DF= BC.所以 EG DF,EG=DF.12所以四边形 EFDG 是平行四边形.所以 EFDG,即DGD 1(或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角.又 A1A=AB,所以四边形 ABB1A1、四边形 CDD1C1 都是正方形,且 G 为 CD1 的中点,所以DGCD 1,即D 1GD=90.故异面直线 CD1 与 EF 所成的角的大小为 90.
