1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定课时过关能力提升基础巩固1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列线段不是平面 ABCD 的垂线的是( )A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.AD1答案: D2.下面条件中,能判定直线 l 的是( )A.l 与平面 内的两条直线垂直B.l 与平面 内的无数条直线垂直C.l 与平面 内的某一条直线垂直D.l 与平面 内的任意一条直线垂直答案: D3.若一条直线垂直于一个平面内的: 三角形的两边; 梯形的两边 ; 圆的两条直径; 正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是( )A. B. C. D.解析: 三角形的
2、两边,圆的两条直径一定是相交直线 ,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是 .答案: A4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面中,与 AA1 垂直的面的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.6解析: 仅有平面 AC 和平面 A1C1 与直线 AA1 垂直.答案: B5.已知直线 a 与平面 所成的角为 50,直线 ba,则 b 与 所成的角等于( )A.40 B.50 C.90 D.150解析: 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等 ,知 b 与 所成的角也是 50.答案: B6.已知线段 AB 的长等于它在平面 内的射影长的 2 倍,则 AB
3、所在的直线与平面 所成的角为( )A.30 B.45 C.60 D.120解析: 如图,AC,AB =B,则 BC 是 AB 在平面 内的射影.因为 BC= AB,所以ABC=60,它是 AB12所在的直线与平面 所成的角.答案: C7.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形且边长为 3,BD1 与底面所成角的正切值为,则该四棱柱的侧棱长等于 . 23解析: 由题意得 tanDBD 1= ,1=23因为 BD=3 ,所以 DD1= BD= 3 =2 .223 23 2 2答案: 2 28.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PCBD,则平
4、行四边形 ABCD 一定是 .(形状) 解析: 由于 PA 平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 PABD.又 PCBD,且 PC平面 PAC,PA平面 PAC,PCPA=P,所以 BD平面 PAC.又 AC平面 PAC,所以 BD AC.又四边形 ABCD 是平行四边形,所以四边形 ABCD 是菱形.答案: 菱形9.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PD BC,PD=1,PC= .求证:PD平面 ABCD.2证明 PD=DC=1,PC= ,2 PD2+DC2=PC2, PDCD. PDBC,BCCD=C ,且 BC平面 ABCD,CD平面 ABCD, PD平面 A
5、BCD.10.有一根旗杆高 12 m,在它的顶端处系两条长 13 m 的绳子 ,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距 5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?解: 能.如图,设地面为平面 ,PO 表示旗杆,PA,PB 表示两条绳子,A,B,O 三点不共线. PO=12m,PA=13m,OA=5m, PO2+OA2=PA2,POA= 90,即 OPOA.同理可证 OPOB. OAOB=O,OA,OB, PO.故由此能断定旗杆与地面垂直.能力提升1.如图,如果 MC菱形 ABCD 所在的平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是 ( )A.平行
6、B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直解析: 连接 AC,因为 ABCD 是菱形,所以 BDAC. 又 MC平面 ABCD,则 BDMC.因为 ACMC=C,所以 BD平面 AMC.又 MA平面 AMC,所以 MABD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面,因此直线MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交.答案: C2.若空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两条对角线 AC,BD 的位置关系是( )A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交解析: 取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则 BDAO ,BDCO.因为 AOCO=O,所以 BD平面AOC
7、,BDAC.又 BD,AC 异面,故选 C.答案: C3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D.23 33 23 63解析:如图,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 D1O,由于 BB1DD 1,所以 DD1 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的角.易知DD 1O 即为所求.设正方体的棱长为 1,则 DD1=1,DO= ,D1O= ,所以22 62cosDD 1O= .所以 BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为 .11=26=63 63答案: D4.如图,PA平面 ABC,BCA
8、C,则图中直角三角形的个数为 . 解析:平面 平面 =BC平面 PACBCPC,所以直角三角形有PAB,PAC ,ABC,PBC.答案: 45.如图,已知ABC 为等腰直角三角形,P 为空间一点,且 AC=BC=5 ,PCAC,PC BC,PC=5,AB 的2中点为 M,连接 PM,CM,则 PM 与平面 ABC 所成的角的大小为 . 解析: 由 PCAC,PCBC,AC BC=C,知 PC平面 ACB,所以PMC 为 PM 与平面 ABC 所成的角.因为ABC 为等腰直角三角形,M 是 AB 的中点,所以 AB= =10,CM= AB=5.(52)2+(52)212又 PC=5,所以PMC=
9、45.答案: 456.如图,ABCD-A 1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是 .(只填序号) BD平面 CB1D1; AC1BD; AC1平面 CB1D1; 异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60.解析: 由于 BDB 1D1,BD平面 CB1D1,B1D1平面 CB1D1,则 BD平面 CB1D1,所以 正确;由于 BDAC,BDCC 1,ACCC1=C,所以 BD平面 ACC1,所以 AC1BD.所以 正确;可以证明 AC1B 1D1,AC1B 1C,又 B1D1B1C=B1,所以 AC1平面 CB1D1,所以 正确;由于 ADBC,则BCB 1=45是异面直线 AD 与 C
10、B1 所成的角 ,所以 错误.答案: 7.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA 平面 ABCD,ABC=60,E 是 BC 的中点,连接AE,AC.求证 :AEPD.证明 因为四边形 ABCD 为菱形,ABC=60,所以ABC 为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AEBC.因为 BCAD,所以 AEAD.因为 PA平面 ABCD,AE平面 ABCD,所以 PAAE.又 PA平面 PAD,AD平面 PAD,且 PAAD=A,所以 AE平面 PAD.又 PD平面 PAD,所以 AE PD.8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ABAD ,AC
11、CD,ABC=60,PA=AB=BC ,E 是 PC 的中点.(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小;(2)求证:AE平面 PCD.(1)解: 在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,AB平面 ABCD,所以 PAAB.又 ABAD ,PAAD=A,所以 AB平面 PAD.所以 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA,即APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角.在 RtPAB 中, AB=PA,故APB=45.(2)证明 在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 CDPA.因为 CDAC,PAAC=A,所以 CD平面 PAC.又 AE平面 PAC,所以 AECD.由 PA=AB=BC,ABC= 60,可得 AC=PA.因为 E 是 PC 的中点,所以 AEPC.又 PCCD=C,所以 AE平面 PCD.
