1、2019 届高三数学（理科）段考试题本试卷.满分 150 分.考试时间 120 分钟.一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 0,1234,U, 1,23A, 2540BxxZ,则 UAB( )A. , B. C. ,3 D. 2 2. 设 aR,复数 i3az( 是虚数单位)的实部为 2,则复数 z的虚部为( )A 7 B 7 C. 1 D 1 3. 已知 sin2cos0,则 tan2( )A 34 B 43 C 43D4. 已知命题 p: xR, 1lgx,命题 q: 0,x, 1sin2x,则下列
2、判断正确的是( )A q是假命题 B p是真命题 C p是假命题 D q是真命题5已知抛物线 24yax( 0)上的点 03,My到焦点的距离是 5,则抛物线的方程为( )A. 8 B 21yx C. 216x D 20yx6. 若 ,xy满足约束条件02xy,则 zy的最小值为( )A. 4 B. C. 83 D. 47. 已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为( )x24 12A3 B2 C1 D.12图 3O BACyx8. 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 34年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升,其三视图如图 1 所示(单位:寸),若 取 3,其体积为 1
3、.5(立方寸),则图中的 x为( )A. 24 B. 18 C. 6 D. 29. 如图 2 所示的程序框图,若输入 10a,则输出结果是( )A 45 B 47 C 5 D 5310.已知 lnx, 5log2y,12ez,则( )A z B yx C zxy D zyx11.已知函数 231cssin2fx( 0,R).若函数 f在区间,2内没有零点,则 的取值范围是( )A 50,1 B 510,26 C. 50,6 D 510,2612.如图3所示,在平面直角坐标系 xOy中,点 B, 分别在 x轴和 y轴非负半轴上,点 在第一象限,且 90AC, 4A,那么 O, A两点间距离的(
4、)A. 最大值是 42,最小值是 4 B. 最大值是 8,最小值是 4C. 最大值是 ,最小值是 D. 最大值是 ,最小值是 2二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13.已知向量 1,ma, 0,b,若向量 a与 b的夹角为 3,则实数 m的值为 .结 束i 6?i = i+1b =b+t2i 1位a位位i位位位tb=0, i =1输 出 b输 入 a开 始否是图 2俯 视 图侧 视 图正 视 图5.4 31x图 10.100.7500.6500.250.200.7565.064.564.063.563.062.562.0件件/cm件件DCEAB图 414.723x
5、的展开式中 4x的系数是 (用数字作答).15.已知 3e6xf, 10fa,则 fa_.16. ABC中, ,D为 AC边上的点,且 4ACD, 2B,则 AC的面积最大值为 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知数列 na为公差不为 0的等差数列,满足 15a,且 2930,a成等比数列.() 求 的通项公式；() 若数列 nb满足 1nnb( N),且 1b,求数列 1nb的前 项和 nT.18.(本小题满分 12 分)如图 4,在四棱锥 EABCD中, /, 90ABC, 2D4E,120BC,5D
6、E.() 证明:平面 平面 ；() 若 4,求二面角 EAB的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了 80个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在 63.0,45内的零件为合格品,频率作为概率.() 从产品中随机抽取 件,合格品的个数为 ,求 的分布列与期望； () 从产品中随机抽取 n件,全是合格品的概率不小于 30%,求 n的最大值；() 为了提高产品合格率,现提出 ,AB两种不同的改进方案进行试验.若按 A方案进行试验后,随机抽取 15件产品,不合格个数的期望是 2；若按 方案试验后,抽取 25件
7、产品,不合格个数的期望是 4,你会选择哪个改进方案?20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C:21xyab( 0)的离心率为 12,其左焦点到点 2,1P的距离为 0.不过原点 O的直线 l与椭圆 相交于 A、 B两点,且线段 A被直线 O平分.() 求椭圆 的方程；() 求 ABP的面积取最大时直线 l的方程.21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) x2 aln x.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 g(x) f(x) 在1，)上单调，求实数 a 的取值范围2x请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚
8、题号.22.(本小题满分 10 分)选修 4:坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系 xOy中,曲线 1C: cosinxay( 为参数,实数 0a),曲线 2C：cosinxby( 为参数,实数 0b).在以 O为极点, x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:( 0, 2)与 1交于 A、 两点,与 2C交于 OB、 两点.当 0时,1OA；当 时, B.() 求 a,b的值； () 求 2O的最大值.23.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲设函数 12fxax( R,实数 0a).() 若 0f,求实数 的取值范围； () 求证: 2fx .zyx BAECD2019 届高
9、三数学（理科）段考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C B D A B A D C B D A二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13. 3 14. 8 15. 2 16. 327三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17.【解析】() 设等差数列 na的公差为 d( 0),依题意得2111298adad2 分又 5,解得 ,所以 3n. 4 分()依题意得 1nb,即 12nb( 且 nN) 所以 121nn b
10、6 分321532nn 2n.8 分对 13b上式也成立,所以 nb,即 112nb, 10分所以 1112324352nT 312n.12 分18.【解析】()证明：因为 /ABCD, 90，所以 CDB.1 分因为 42,5CDE,所以 22 E,所以 , 2 分因为 B,所以 平面 . 3 分又 平面 ,所以平面 BC平面 D. 4 分()以 C为原点,建立空间直角坐标系 xyz如图所示,则 5 分402,13,04AE， ，,6 分所以 4,025,32ADE,7 分设平面 的法向量为 1,xyzn,则 10ADEn,即42053xzy,解得 32yxz,令 ,则 1,32,9 分显然
11、平面 ABD的一个法向量为 20,n,10 分所以 112236cos, 841n,所以二面角 EADB的余弦值为 368.12 分19.【解析】()由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为 0.756.205.,即抽出产品为合格品的概率为 45,1 分从产品中随机抽取 件,合格品的个数 的所有可能取值为 ,134,且410562P, 314652PC,249C,341256P, 4256P,3分所以 的分布列为 01234P625965256的数学期望 4E.5 分() 随机抽取 n件,全是合格品的概率为 45n,依题意 0.3n,故 的最大值为 5.8 分() 按 A方案随机抽取产品不合格的
12、概率是 a,随机抽取 15件产品,不合格个数15,XBa:；RPOAByx按 B方案随机抽取产品不合格的概率是 b,随机抽取 25件产品,不合格个数 25,YBb:,依题意 152EXa, 54Y,解得 1a,42b,11 分因为 15,所以应选择方案 A.12 分20.【解析】()依题意 12cea,1 分左焦点 ,0c到点 ,P的距离 21dc0,2 分解得 24a, 21,故 23b,故所求椭圆 C的方程为2143xy. 4 分()易得直线 O的方程 yx,设 1,Ay, 2B, A中点 0,xy,其中012yx,因为 ,AB在椭圆上,所以2143xy,21xy,相减得2211043xy
13、,即 2102104x,故 021ABkxy,6 分设直线 AB的方程为 l: 3yxm( ),代入243中,消去 y整理得 2230x,7 分由 2431m,得 2m且 0. 由韦达定理得 12x, 12x,8 分所以 2 212119339446ABx,9 分又点 2,P到直线 l的距离 813md,10 分所以 AB的面积 224126ABPSm,其中 32且0m. 令 2241fm,则 6417m ,令 0f得 7,(因 和 不满足 23且 0m,舍去)当 23,1m时, 0f,当 ,时, f,所以,当 时, ABPS取得最大值,此时直线 l的方程为 27xy. 12 分21. 解：(
14、1)由题意知，函数的定义域为(0，)，1 分当 a2 时， f( x)2 x ，。3 分2x 2 x 1 x 1x由 f( x)0 得 0x1，故 f(x)的单调递减区间是(0,1)4 分(2)由题意得 g( x)2 x ，函数 g(x)在1，)上是单调函数6 分ax 2x2若 g(x)为1，)上的单调递增函数，则 g( x)0 在1，)上恒成立，即 a2 x2在1，)上恒成立，8 分2x设 (x) 2 x2，2x (x)在1，)上单调递减， (x)max (1)0， a0.10 分若 g(x)为1，)上的单调递减函数，则 g( x)0 在1，)上恒成立，不可能实数 a 的取值范围为0，).1
15、2 分22.【解析】()将 1C化为普通方程为 22xay,其极坐标方程为 2cosa,由题可得当 0 时, 1OA,所以 .2 分将 2化为普通方程为 22xyb,其极坐标方程为 2sinb,由题可得当 时, B,所以 1.4 分()由 ,ab的值可得 1C, 2的方程分别为 cos, i,所以 22cosincosi2cos1OABsin14,6 分因为 02,所以 5,4,所以当 4即 8时, 2sin14取得最大值为 21.10分23.【解析】()因为 0a,所以 52faa,即 0a,解得 2或 1.4 分() 13,212,13,xaafxaxxa,6 分所以 fx在 1,a上递减,在 ,2上递减,在 ,2a上递增,8分所以 min1122afxf,当且仅当 12a即2a时取等号,所以 fx.10 分
