1、【课标要求】1、图形的相似（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例的线段，会判断已知线段是否成比例.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件及其主要性质.（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小. （5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.来源:学优高考网（6）能建立适当的坐标系，描述物体变换的位置.能灵活运用不同的方式确定物体的位置
2、.（7）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.2、图形的全等（1）了解图形全等的概念，知道根据图形全等的概念识别全等图形；知道全等图形的对应边、对应角相等，会利用图形的全等解决一些简单的问题.（2）经历三角形全等的识别方法（若两个三角形的三边分别对应相等，则两个三角形全等；若两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，则两个三角形全等；若两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，则两个三角形全等）的探索过程，在与三角形相似的比较中加深认识，并运用这些方法识别三角形的全等.（3）经历直角三角形全等的特殊识别方法（如果两个三角形的斜边及其一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等）的探索过
3、程，并会运用各种方法识别三角形的全等.3、命题与证明（1）了解命题、定义、公理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论.（2）结合具体的例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立逆命题不一定成立.（3）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的.（4）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.4、尺规作图（1）掌握下列基本作图：画一条线段等与已知线段、画一个角等于已知角、画角的平分线、画线段的垂直平分线、画一条线段的垂线.（2）会利用基本作图画三角形：已知三边画三角形；已知两边及其夹角画三角形；已知两角及其夹边画三角形；已知底边及其底边上的高画等
4、腰三角形.（3）探索如何过一点、两点和不在同一直线上三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法.（不要求证明）【课时分布】图形的相似及其全等在第一轮复习时大约需要 7个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.课时数 内 容 比例线段、相似三角形的判定2 相似三角形的性质及其应用 全等三角形的判定1 图形相似和全等的综合训练 图形相似和全等单元测试与评析【知识回顾】1、知识脉络2、基础知识比例线段，若 （或 ab=cd） ，则四条线段 a、b、c、d 叫做比例线段.相似比 k=1 命题证明 定义、命题、公理、定理 证 明三角形全等 三角形全等的识别
5、直角三角形全等的识别图形的全等 基本作图图形的相似对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形相似三角形的识别方法和性质相似三角形相似多边形坐标与图形的运动坐标表示物体的位置比例基本性质：若 ，则 ad=bc. dcba在比例中运用设 k 法.相似多边形，对应边成比例，对应角相等.（识别方法）相似三角形的相似比（当 k=1 时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）.相似三角形的判定定理：(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条
6、边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似；(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似相似三角形的性质定理：(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.(2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比.(3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.直角三角形中的射影定理.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小.全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.命题、定理、公理.五种基本作图及简单的作图题.3、能力要求例
7、 1 已知ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D， ADBD=23 且 CD=6.求（1）AB；（2）AC. 【分析】设 AD=2k，BD =3k.根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD.通过相似三角形对应边成比例求出其中 k 的大小；但是如果根据用射影定理，那么就可以直接计算出 k 的大小.解：设 AD=2k， BD=3k（k 0）.ACB=90 ， CDAB. CD2=ADBD，6 2=2k3k， k= .6AB= .5又AC 2=ADAB，AC = .152A BC D【说明】解题的方法可以不止一种，本题采用了补充的射影定理来解，其中通过设 k法将两线段的比转化成两线段
8、的长 2k 和 3k，建立关于 k 的等式 .在含有比例的解题中设k 法是常用的解题方法之一.例 2 已知ABC 中，ACB=90，CHAB，HEBC，HFAC.求证：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC.【分析】从已知条件中可以获得四边形 CEHF 是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边 EH,根据矩形的性质可知 EF=CH,HF=EC.要证明三角形相似，从条件中得FHE=CHB=90,由全等三角形可知，HEF=HCB,这样就可以证明两个三角形相似.【证明】HEBC，HFAC，CEH =CFH=90 .又ACB =90，四边形 CEHF 是矩形.EF=CH,HF =EC，FH
9、E =90.又HE=EH ，HFE EHC.HEF=HCB.FHE=CHB=90，HEFHBC.【说明】在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.例 3 两个全等的含 30，60 角的三角板 ADE 和 ABC 如图所示放置，E，A，C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连结 ME，MC.试判断EMC 的形状，并说明理由.【分析】判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明 EM= M
10、C，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点 M 是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD= MB= MA.连结 M A 后，可以证明MDEMAC.【答】：EMC 的形状是等腰直角三角形.【证明】连接 AM,有题意得,DE = AC，AD=AB，DAE+BAC =90. DAB=90. DAB 为等腰直角三角形.又MD = MB，CE ADMBA BCFEHM A= MD = MB，AM DB，MAD=M AB=45. MDE=MAC=105 ，
11、 DMA=90.MDEMAC. DME=AMC，ME= MC.又DME+EMA=90 ，AMC+ EMA =90.MCEM.EMC 的形状是等腰直角三角形.【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.例 4 如图，已知MON=90，等边三角形 ABC 的一个顶点 A 是射线 OM 上的一定点，顶点 B 与点 O 重合，顶点 C 在MON 内部.（1）当顶点 B 在射线 ON 上移动到
12、 B1时，连结 AB1为一边的等边三角形 AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明） ； （2）设 AB1与 OC 交于点 Q，AC 的延长线与 B1C1交于点 D.求证：；ADAC（3）连结 CC1，试猜想ACC 1为多少度？并证明你的猜想 .【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形 AB1C1是对问题（2）研究的关键.分别以 A、B 1两点为圆心，AB 1长为半径作弧，两弧的交点即为点 C1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形.【解】 （1）如图所示；【证明】 （2）AOC 与AB 1C1等边三角形，ACB=AB 1D=60.又CAQ=B 1AD, ACQ AB 1D；.1
13、1AQC即(3) 猜想ACC 1=90.证明:AOC 和AB 1C1为正三角形,AO =AC，AB 1=AC1，来源:学优高考网 gkstkOAC=C 1AB1，OAC-CAQ=C 1AB1-CAQ，OAB 1=CAC 1 .AO B 1 AC C 1.ACC 1=AOB 1=90.【说明】问题中要求学生画出正AB 1C1，是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，NOACQB1M C1D（B）对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去
14、证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台.例 5 (1)已知如图，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD，AOB =COD =60.求证：AC=BD,APB=60.(2) 如图，在AOB 和COD 中，OA =OB,OC=OD, AOB=COD =,则 AC 与BD 间的等量关系式为_ ；APB 的大小为_.(3) 如图，在AOB 和COD 中，OA =kOB,OC=kOD(k1), AOB=COD=,则AC 与 BD 间的等量关系式为_；APB 的大小为_.【分析】要证 AC=BD，在图可以找 AC 与 BD 所在的两个三角形全等。即证明AOCBOD
15、可以解决.求 APB 的度数可以通过三角形内角和转化成AOB 的度数. (2)、 (3)题的答案，可以“复制” （1）题中的解题思路来完成.【证明】AOB 和COD 为正三角形, OA= OB， OD=OC，AOB=60，COD=60.AOB+BOC=COD+ BOC，AOC=BOD.AOCBOD ，AC=BD.OAC=OBD ，APB =AOB= 60.(2)AC 与 BD 间的等量关系式为 AC=BD；APB 的大小为 .(3)AC 与 BD 间的等量关系式为 AC=kBD；APB 的大小为 180-.【说明】三个问题的设计是一个逐步深入的过程,有特殊到一般的过程,图形的展示是一个动态过程
16、,但在变化中却蕴含着不变的事项,例如解决问题时都用到了AOC 和BOD，都用到了三角形内角和定理来决定APB 与 的大小关系. (2) 、(3)小题的解决思路可从题(1)中吸取.这也是这样一类变式题常用的思维方法.来源:学优高考网例 6 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m，面积为 1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2) . 你认为那位同学设计的方案较好？试说明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）【分析】方案(1),设正方形的边长为 x m，通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长
17、. BA CDOPACBOPDACBPO D方案(2), 设正方形的边长为 xm,通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程, 求出边长.【解】方案(1)：有题意可知, DEBA，得CDECBA. ；.76,25.1方案(2):作 BHAC 于 H. DEAC，得BDEBAC. .30,2xx,如图(1)加工出的正方形面积大.综上所得，甲同学设计的方案较好. 【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题，让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成：请你给出设计方案，并加于说明.” 这样更突出了问题的探究性，让学生自主探究也是新课标所倡导
18、的.【复习建议】1、在复习中注重分析方法的培养，既能对已知条件能够展开丰富的联想，又能反推解决目标问题所需的条件.多注重与学生思维分析上交流的，抓住问题的“思考点” . 学好图形相似和全等是掌握平行四边形、圆知识的关键.2、在复习相似这一单元的计算题方面，要善于利用相似三角形的相关知识建立方程. 通过方程将某些几何问题转化为代数问题来解答.3、在复习相似与全等这一单元的证明题方面，要突出转化的数学思想，通过转化寻找量和量之间的关系，关系在于运动.4、相似与全等的复习中要进行变式（图）训练，例如改变问题设问的方式，猜想在什么条件下，可以得出结论.或者在已有的条件下猜想可以获得怎样的结论？可以改变原图形的构造，生产出新的状态下的图形，再问原来的结论还成立吗？并说明理由.这样将一个静态的几何问题演变为一个动态的几何问题. 5、加强图形相似和全等之间的联系，并关注相似与其他知识的联系.例如联系平行四边形、圆的有关内容，联系求动点在运动过程中生成函数图象的问题（综合题） ，联系河的宽度，塔的高度测量等实际问题.来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网CA(1)BD EF(2)CBAD EG FHP
