1、1.2 元二次方程的解法（5） 教学目标：1能用 b24ac 的值判别一元二次方程根的情况2用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式 b24ac 对根的情况的判断作用3在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程教学重点、难点：一元二次方程的根的情况与系数的关系；由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值教学过程一、温故知新：来源:学优高考网1一元二次方程 ax2 bx c = 0（ a0）当 时，X 1,2 = 240bac2运用公式法解下例方程：（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0二、情境引入： 1引导学生思考：不解方程，你
2、能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 32思考：一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？三、自主探索：1尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x 22x8 = 0 x 2 = 4x4 x 23x = 3 （答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）问题：你能得出什么结论？可以发现 b24ac 它的符号决定着方程的解。2概括总结由此可以发现一元二次方程 ax2bxc = 0（a 0）的根的情况可由 b24ac 来判定：当 b24ac
3、0 时，方程有两个不相等的实数根当 b24ac = 0 时，方程有两个相等的实数根当 b24ac 0 时，方程没有实数根我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc = 0（a 0） 的根的判别式。若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b 24ac0当一元二次方程有两个相等的实数根时， b24ac = 0当一元二次方程没有实数根时，b 24ac 0四、例题讲解：例 1不解方程，判断下列方程根的情况： （1） ； （2） ；062x24x（3） （4）x 2-2mx+4（ m-1）=034分析：先将方程化为 ax2bxc =
4、0（a 0）的形式，根的情况可由 b24ac 来判定：当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b24ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 b24ac 0 时，方程没有实数根。注意字母系数（4） 。例 2 。m 为任意实数，试说明关于 x 的方程 x2-（m-1） x-3（m+3 ）=0 恒有两个不相等的实数根。分析：先计算 b24ac，再判断当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根。例 3m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m 2-1=0：来源:学优高考网（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？分析：由方程
5、的根的情况也可以得知 b2-4ac 的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。五、课堂反馈：1.不解方程，判断方程根的情况：（1）x 2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0； (4)x 2+5= x52.k 取什么值时，方程 x2-kx+4=0 有两个相等的实数根？求这时方程的根。3.已知 a、b、c 分别是三角形的三边，则关于 x 的一元二次方程（a+b）x 2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（ ）A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。六、课堂小结：一元二次方程的根的情况与系数的关系？b2-4ac
6、叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知 b2-4ac 的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。【课后作业】：【板书设计】【教学反思】1.2 一元二次方程的解法（6）教学目标： 1了解因式分解法的解题步骤；2能用因式分解法解一元二次方程；体会“降次”化归的思想方法。3能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；教学重点、难点：来源:学优高考网 gkstk应用因式分解法解一元二次方程；选择适当的方法解一元二次方程。教学过程一、温故知新： 1我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
7、2解下列一元二次方程：（1） （2） 8x016)(2x（3） （4）12t 9二、情境引入：1式子 ab=0 说明了什么？2把下列各式因式分解.（1）x 2x （2） x24x （3）x3x（x3） （4） （2x1） 2x 2三、自主探索：1尝试：若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？（1）x 2x =0 （2） x24x=0 （3）x3x（x3）=0 （4） （2x1） 2x 2=02概括总结：你能用几种方法解方程 x2x = 0？本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。还有其他方法可以解吗？另解：x 2-x0， x(x-1)0
8、，于是 x0 或 x-30 x 1=0，x 2=3这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？（1） 方程的一边为 0（2）另一边能分解成两个一次因式的积来源:学优高考网四、典型例题：例 1用因式分解法解下列方程： （1） =-4x； （2）x+4-x（x+34）=02x（3）9x 2+6x+1=0 （4）x 2-6x-16=0例 2用因式分解法解方程： （1） （2x1） 24x 2=0 （2） （2x-5） 2-2x+5=0 分析：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为 0（2）将方程左边分解为两个一次因
9、式的积（3）令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解例 3用适当方法解下列方程（1）4（2x-1） 2-9（x+4） 2=0 （2）x 2-4x-5=0(3)(x-1)2=3 (4)x2-2x=4分析：首选因式分解法和直接开平方，其次选公式法，最后选配方法观察与思考：小明解方程 时，在方程两边都除已（x+2） ，得 x+2=4，于是解得）（）（ x42x=2。小明的解法正确吗？为什么？五、课堂反馈：1用因式分解法解下列方程：（1） （x+2） （x-1）=0； （2） （2y+1） （y-3）=0；（3） -3x=0； （4）3 =x；2x2
10、x（5）2（x-1）+x（x-1）=0； （6）4x（2x-1）=3（2x-1）2用因式分解法解下列方程：（1） -9=0； （2）2x）（ 0x-2）（3已知一个数的平方等于这个数的 5 倍，求这个数。六、归纳总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为 0（2）将方程左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？【课后作业】：【板书设计】【教学反思】补充：4.2 一元二次方程的解法（7） 十字相乘法【教学目标】能利用十字相乘法解一元二次方程
11、【教学重点、难点】用十字相乘法解一元二次方程【教学过程】【温故知新】1、计算：(1) = ， (2) = ，32x32x(3) = ， (4) = 。观察与发现：多项式的乘法中,有 。xab反过来可得 ： xab【新知导学】上面（*）式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和的形式转化成积的形式,也就是对多项式进行因式分解。()若多项式 的常数项 可以分成两个因数的积，即 ，而 （一次2xbc+ 12c=A12cb+=系数）那么 可分解为 ，这个过程可以通过下面的十字交叉图体现:()12xc+例如：x 2 + 4x + 3 x2 + 4x + 3 =（x+1）(x+3)这种利
12、用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。如何分解 2x2-7x+3 呢？【例题教学】*例 1 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2 7x + 12； (2) x 2 11x12；=b+1c21c1c2c1113113+11=411* 例 2、用十字相乘法把下列各式因式分解：（1）2x 2-7x+3 （2）6x 2-7x-5例 3、用因式分解法解下列方程：*（1） *（2）(x1)(x+2)=10 *（3）-2y 2+5y-2=0 2560x【课堂检测】*1、把下列各式分解因式（填空）： 241()xx263()xx 85 1()*2、若 取任何实数时都有
13、，则 来源:学优高考网x215()3xkxk*3 解方程*（1）x（x+5）=24 *（2）13x- 6x2+5=0小结【课后作业】：【板书设计】【教学反思】1.3 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；2与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识教学重点：解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用教学难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识教学过程探索发现观察下表，你能发现下列一元二次 方程的根与系数有什么关系吗？ 20axbcx1 x231 22x1 25602 32x2 330 3解释规律你能解释刚才的发现吗？一
14、元二次方程 ax2 bx c0（ a0） ，如果 b24 ac0，它的两个根分别是 x1、 x2212 4abacxb221244acbacx24bac2ca总结发现一元二次方程 ax2 bx c0（ a0） ，如果 b24 ac0，它的两个根分别是 x1、 x2， 师生共同完成12bxa1x例题精讲例 求下列方程两根的和与两根的积：（1） x22 x50； （2）2 x2 x1需要解方程吗？ 师生共同完成 引导学生直接用公式求解尝试与交流小明在一本课外读物中读到如下一段文字：“一元二次方程 x2 x 0 的两根是 和 ”， 23你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 师生共同完
15、成 通过这个环节的教学，使学生更熟练地用根与系数的关系解决问题达标练习课本练习 P23 练习 1、2 学生课内完成 通过练习，熟练根与系数的关系的应用总结1一元二次方程根与系数的关系是什么？2应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；3应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b24 ac0 时，才能应用根与系数的关系【课后作业】：【板书设计】【教学反思】1.4 用一元二次方程解决问题（1）教学目标1. 经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；2. 会根据具体问题中的数量关系列出一元二
16、次方程并求解，培养学生的数学应用能力；3. 能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力教学重点分析和解决问题教学难点 根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程教学过程回顾解应用题的一般步骤 第一步：设未知数（单位名称） ；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；(2)值是否使所列方程左右相等第五步：答题完整（单位名称） 问题 1：用一根长 22cm 的铁丝：(1) 能否围成面积是 30cm2的矩形？(2) 能否围成面积是 32cm2的矩形？ 解：设这根铁丝围成的矩形的长是 xcm，则矩形的宽是（11
17、 x）cm(1)根据题意，得，(1)30即 2x解这个方程，得 ， 15x26当 时， ；15x6x当 时， ；265答：用一根长 22cm 的铁丝能围成面积是 30cm2的矩形。(2)根据题意，得 ，(1)32x即 x211 x320因为 ，24()41870bac所以此方程没有实数解答：用一根长 22cm 的铁丝不能围成面积是 32cm2的矩形问题 2：某商店 6 月份的利润是 2500 元，要使 8 月份的利润达到 3600 元，平均每月增长的百分率是多少？ 分析：如果设平均每个月增长的百分率为 x，那么 7 月份的利润是 2500(1 x)元，8 月份的利润是2500(1 x)2元解：设平均每个月增长的百分率是 x根据题意得2500(1 x)23600解这个方程，得x10.220， x22.2(不合题意，舍去) 答：平均每个月增长的百分率是 20练习课本练习 P25 练习 1、2、3 学生课内完成总结用一元二次方程解决应用题的基本步骤；怎样去分析问题？ 对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法未知数 未知量 方程【课后作业】：【板书设计】【教学反思】
