1、第三章 空间向量与立体几何,3.2立体几何中的向量方法,用空间向量解决立体几何问题的步骤：,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,解：如图1，设,化为向量问
2、题,依据向量的加法法则，,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,思考：,（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,分析:,分析:, 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。,（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）,H,分析：面面距离,点面距离,解：, 所求的距离是,问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？,向量法求点到平面的距离：,其中
3、,也就是AP在法向量n上的投影的绝对值,已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,D,A,B,C,G,F,E,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,F1,F2,F3,A,C
4、,B,O,500kg,例 4,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,z,x,y,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,z,x,y,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA/平面EDB (2)求证：PB平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,例 5,A,B,C,D,P,E,F,G,解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,F,G,A,B,C,D,P,E,F,G,向量的模,用空间向量解决立体几何问题的步骤：,面面距离,回归图形,点面距离,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,谢谢,制作 冯健璇,
