1、5.4 数系的扩充与复数的引入,-2-,-3-,知识梳理,考点自测,1.复数的有关概念,a+bi,a,b,a=c,且b=d,a=c,且b=-d,x轴,-4-,知识梳理,考点自测,-5-,知识梳理,考点自测,2.复数的几何意义,-6-,知识梳理,考点自测,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,
2、有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .,(a+c)+(b+d)I,(a-c)+(b-d)I,(ac-bd)+(ad+bc)I,z2+z1,z1+(z2+z3),-7-,知识梳理,考点自测,2.-b+ai=i(a+bi)(a,bR). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).,-8-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若aC,则a20. ( ) (2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数. ( ) (3)复数z=a+bi(
3、a,bR)的虚部为bi. ( ) (4)方程x2+x+1=0没有解. ( ) (5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小. ( ),-9-,知识梳理,考点自测,2.(2017全国,文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)3.(2017全国,文2)(1+i)(2+i)=( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i4.(2017全国,文2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,C,解析:i(1+
4、i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i, (1+i)2=2i为纯虚数,故选C.,B,解析: (1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.,C,解析:由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.,-10-,知识梳理,考点自测,5.(2017福建厦门一模,文13)若复数z满足z(1+i)=2-i(i为虚数单位),则z的模为 .,-11-,考点一,考点二,考点三,复数的有关概念,p1:|z|=2;p2:z2=2i; p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1. 其中正确的是( ) A.p2
5、,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 (3)已知复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .,A,C,5,-12-,考点一,考点二,考点三,-13-,考点一,考点二,考点三,思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么? 解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,-14-,考点一,考点二,考点三,D,B,-15-,考点一,考点二,考点三,复数的几何意义 例2(1
6、)(2017山东潍坊一模,文2)已知复数z满足(1-i)z=i,则复数 在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i,C,A,-16-,考点一,考点二,考点三,思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?,2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,-17-,考点一,考点二,考点三,对点训练2(1)(2017山西太原一模)
7、已知zi=2-i,则复数z在复平面对应点的坐标是( ) A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) (2)(2017山东潍坊二模,文1)设复数z与 在复平面内对应的点关于实轴对称,则z等于( ) A.-1+2i B.1+2i C.1-2i D.-1-2i,A,D,-18-,考点一,考点二,考点三,复数的代数运算,A,B,-19-,考点一,考点二,考点三,思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么? 解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.,-20-,考点一,考点二,考点三,C,C,-21-,考点一,考点二,考点三,1.复数z=a+bi(a,bR)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合. 3.在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.,-22-,考点一,考点二,考点三,
