1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,-3-,知识梳理,考点自测,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,-4-,知识梳理,考点自测,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小的正数,-5-,知识梳理,考点自测,1
2、.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,-6-,知识梳理,考点自测,2.周期性的几个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数):,3.对称性的四个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a
3、对称;,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数. ( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. ( ) (4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-,内f(x)是减函数,则在
4、(0,+)内f(x)是增函数.( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. ( ),-9-,知识梳理,考点自测,D,解析:由题意知f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且在区间(0,+)内为减函数,f(x)为偶函数,即f(x)的图象关于y轴对称,故选D.,-10-,知识梳理,考点自测,3.(教材习题改编P39A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x(1+x) B.f(x)=x(1-x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1),B,解析: (方法
5、一)由题意得f(2)=2(1+2)=6. 函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(-2)=-6. 经验证,仅有f(x)=x(1-x)时,f(-2)=-6.故选B. (方法二)当x0, f(-x)=-x1+(-x). 又f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x). -f(x)=-x(1-x), f(x)=x(1-x),故选B.,-11-,知识梳理,考点自测,4.(教材习题改编P39B组T3)已知函数f(x)是奇函数,在区间(0,+)内是减函数,且在区间a,b(ab0)上的值域为-3,4,则f(x)在区间-b,-a上( ) A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最大值-3 D.有最小值-3,B,解
6、析: (方法一)根据题意作出y=f(x)的简图,由图知,选B.(方法二)当x-b,-a时,-xa,b, 由题意得f(b)f(-x)f(a),即-3-f(x)4, -4f(x)3,即在区间-b,-a上,f(x)min=-4,f(x)max=3,故选B.,-12-,知识梳理,考点自测,5.(教材习题改编P39B组T1)已知函数f(x)的定义域为R,且对于xR,恒有f(x+2)=f(x).当x2,4时,f(x)=x2-2x,则f(2 017)= .,3,解析:由f(x+2)=f(x),知f(x)是周期为2的周期函数. 当x2,4时,f(x)=x2-2x, f(2 017)=f(1 0072+3)=f
7、(3)=32-23=3,即f(2 017)=3.,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性:,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)由题意知函数的定义域为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考判断函数的奇偶性要注意什么? 解题心得判断函数的奇偶性要注意两点: (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提. (2)判断关系式f(x)+
8、f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1判断下列函数的奇偶性:,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,解 (1)由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)由 可得函数的定义域为(-1,1. 因为函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)函数的定义域为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2
9、-x=-(x2+x)=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数.,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,函数奇偶性的应用 例2(1)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=( ),(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,-1)(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) (3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 ,则函数f(x)的解析式为 ; (4)已知函数f(x)
10、为奇函数,当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,函数f(x)的最大值为 .,A,C,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1, 则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3. (2)因为f(x)是奇函数,所以当x0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数, 由f(2-a2)f(a),得2-a2a,解得-2a1.,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用
11、? 解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等. 2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,A,D,B,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-22,即04时,有f(x-2)0,故选B.,-24-,考点一,考点二,考点三,
12、考点四,函数的周期性的应用 例3(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于 ( ) A.336 B.337 C.1 678 D.2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且 .若当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= .,B,2.5,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析: (1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6. 当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)
13、=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1. f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)+f(2 016)= 又f(2 017)=f(1)=1, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=336+1=337.,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,思考函数周期性的主要应用是什么? 解题心得利用函数的周期性,可将其他区
14、间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,D,2,0,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2). 又223,所以f(2)=2, 即f(2 018)=2.,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,函数性质的综合应用 例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(
15、x),若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在1,3上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 (2)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是( ) A.f()f(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2) D.f()f(-2)f(-3) (3)(2017山西晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)= .,D,A,2,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析: (
16、1)因为f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在0,1上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期. 结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.由图象可以观察出,f(x)在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选D.,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)因为32,且当x0,+)时,f(x)是增函数,所以f()f(3)f(2). 又函数f(x)为R上的偶函数, 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2), 故f()f(-3)f(-2). (3)因为f(x)是
17、R上的奇函数, 所以f(0)=0. 又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以f(-3)=0,f(3)=0, 所以f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2 017)=f(1)=2.,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性的综合问题的策略有哪些? 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所
18、求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,-34-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4(1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)1,f(5)= ,则实数a的取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间0,2上是增函数,则( ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(8
19、0)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),A,D,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析: (1)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),解得-1a4. (2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数, 所以
20、f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1), 即f(-25)f(80)f(11).,-36-,考点一,考点二,考点三,考点四,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:,3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.,-37-,考点一,考点二,考点三,考点四,4.求函数周期的方法,-38-,考点一,考点二,考点三,考点四,1.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域. 2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.,
