1、课题：第 20 讲 圆的有关性质 课型：复习课 年级：九年级 考试要求：1.理解圆与圆的有关概念，了解弧、弦、圆心角之间的关系.2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.教学重点与难点：重点：理解圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论，并能利用它们进行证明和计算难点：应用垂径定理、圆周角与圆心角的关系定理进行证明和计算教学过程：一、回眸要点，夯实基础要求：时间：5 分钟；先独立填空，然后小组内交流纠错、讲解、补充1.圆的有关概念（1）圆上任意两点间的部分叫弧，_的弧叫优弧，_的弧称
2、为劣弧.（2）_的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（3）_的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边_的角叫做圆周角.【老师提醒：在一个圆中，圆 决定圆的 半径决定圆的 ；直径是圆中 的弦，弦不一定是直径 】2.圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_ ；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_.3.垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径_弦，并且平分_.推论：平分弦（不是直径）的直径_这条弦，并且平分_.【老师提醒：（1）垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用 （2）圆中常作的
3、辅助线是过圆心作弦的 线；（3）垂径定理常用作计算，在半径 、弦 和弦心距 中已知两个可求另外一个 】rad4.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等如图所示：AB,CD 是 O 的两条弦，OE,OF 为AB,CD 的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距之间的关系定理填空：（1）如果 AB=CD,那么_, _, _；（2）如果 OE=OF,那么_, _, _ ；（3）如果 = ，那么_, _, _ABCD老师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合
4、.注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中” ；特别注意一条弦是对应两条弧的.5.圆周角定理及推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的_,如图，ACB=_；（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_,直径所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_,所对的弧是_.【老师提醒：在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，它们的关系是 ；作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线 】6.确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动
5、、师生互动，纠错完善，让学生适当举例说明，加强对知识的理解，为题组训练奠定基石.【设计意图】以问题串的方式帮助学生回顾本章的内容，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性帮助学生更好的掌握本节知识二、题组训练，巩固提高 活动内容【题组一】垂径定理及推论例 1 如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论不成立的是 【 】ODCFABEOCA BACM=DM B CDCACD= ADC DOM =MD处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.让学生明白垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和
6、性质.AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，M 为 CD 的中点，即 CM=DM，选项 A 成立；B 为 的中点，即 ，选项 B 成立；CDD在ACM 和ADM 中，AM=AM，AMC=AMD=90，CM=DM，ACMADM（SAS ） ，ACD=ADC，选项 C 成立.而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立.答案: D.【跟踪练习】1.如图，在半径为 13 的O 中，OC 垂直弦 AB 于点 ，交 O 于点 C，AB=24，则CD 的长是 2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小圆孔的
7、宽口 AB 的长度为 mm3.如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，若 AB 的长为 8cm，则图中阴影部分的面积为 cm 2【题组二】圆周角定理例 2 （2012湖北襄阳） ABC 为O 的内接三角形，若 AOC=160，则ABC 的度数是【 】A80 B160 C100 D80或 100（友情提示：本题是考查圆周角定理的一个基本题目，利用了分类讨论的数学思想.画出图形后只要掌握住圆周角和圆心角的关系，一般不会出错，但这类题目也是中考命题中高频率的题目.答案：D)第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图8mm处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、
8、师生互动，纠错完善.让学生根据题意分析图形，由圆周角定理及圆的内接四边四边形性质易发现 成立.在圆中，一条弦D所对的圆心角只有一个，但所对的圆周角有两个且互为补角.注意运用分类讨论的思想解题.例 3 （2012广东梅州）如图，AC 是O 的直径，弦 BD 交 AC 于点 E（1）求证：ADEBCE；（2）如果 AD2=AEAC，求证 ： CD=CB处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.让学生理解圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A=B，又由对顶角相等，可证得：ADEB
9、CE.（2）由 AD2=AEAC，可得 ，又由A 是公共角，可证得ADEACD，EDC又由 AC 是O 的直径，可求得 ACBD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得 CD=CB.（规范学生解题步骤，多媒体出示）证明：（1）A 与B 都是弧 所对的圆周角，ACDA=B又AED =BEC，ADEBCE（2）AD 2=AEAC， .AEDC又A= A，ADEACD.AED=ADC.又AC 是O 的直径，ADC=90 .AED= 90.直径 ACBD，CD=CB.【设计意图】判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比
10、例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”.本题结合圆周角定理较易证明第 1 问，在证明等积式成立时，可将等积式转化为比例式，再证明两三角形相似.【跟踪练习】1.如下图，A、B、C 是O 上的三个点，ABC=25，则AOC 的度数是 2.如下图，AD，AC 分别是O 的直径和弦且CAD=30OBAD ，交 AC 于点B若 OB=5，则 BC 的长等于 .3. 如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，C=50，ABC 的平分线 BD 交 O 于点 D，则BAD 的度数是【 】A45 B85 C90 D95 处理方式：先小组合作交流，请同学们独立完
11、成上面 3 题，完成后互相校对你们的结果. 解题后，交流校对，并更正错误.【答案】：1. 0 2. 3.5B【题组三】综合应用例 4 （2012浙江台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=16 厘米，则球的半径为 厘米处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.1：如右图，过球心 O 作 IGBC ，分别交 BC、AD、劣弧 于点 G、H、I，连接 OF.设AEFOH=x， HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得解得 球的半径为 xy=10（厘米） .22+8(),6.6,4.xy2：我的方法比他更简单.如图
12、，过球心 O 作 IGBC ，分别交BC、AD 、劣弧 于点 G、 H、I，连接 OF，则 .设AEF1682FHEOH=x， 则 = ，则由题意得 ，解的 .球的半径为O16x28()xx（厘米）.160处理方式：先小组合作交流，请同学们独立完成让学生自主完成、讨论交流解题思路，并让一名学生在黑板上板演，然后师生评判纠错完善.跟踪练习（2012枣庄）如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0） ，B 是 y 轴右第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图侧A 优弧上一点，则 cos OBC 的值为【 】A B C D12323545师：相信同学们能独立完成上面的题目，等待你
13、们的精彩展示哟！【学生活动】认真审题、解答、展示交流生 1：如右图，连接 、 ，由题意可知 =5，即AOCAOC 为等边三角形，OBC= OAC= 60 =30， AOC12cosOBC = 32生 2：刚才的方法不错，我的方法更妙如右图，连接 CA 并延长交圆与点 D，在 RtOCD 中，由 C（0，5） OC= 5 又CD=10，故ODC=30OBC= 30cosOBC = .32师：这两位同学添加不同的辅助线，实现了问题的精彩转化，很棒！此时教室里不约而同的响起了掌声【答案】B处理方式：先小组合作交流，请同学们独立完成让学生自主完成、讨论交流解题思路，并让一名学生在黑板上板演，然后师生评
14、判纠错完善.【设计意图】紧扣近年学业考试中圆的重要考点，利用三个题组训练，对圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，垂径定理深入分析和探讨，巩固了知识要点，例题和练习题由学生来做来展示，在很大程度上提高了学生复习的积极性，而且容易发现解题过程中出现的错误，对错误印象比较深刻，对提高几何能力和探究能力有帮助，同时训练学生的思维敏捷性和解题的规范性.三、诱导反思，归纳总结师：（放幻灯片）下面请同学们看着圆的有关概念和性质知识结构图回顾这节课，你有哪些收获？还有哪些困惑？还想进一步研究的问题是什么？想一想，说一说【学生】本节课我的收获有我还有一些困惑的地方通过刚才的过程，你有什么收获？1：处理此类
15、问题时，要将生活问题数学化，利用数学知识解决.2：做题时要勇于探索，比如此题设了未知数，利用列方程（组）的代数方法处理问题. 处理方式：学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺【设计意图】利用知识结构图的直观作用，让学生积极思考、大胆发言、交流，使学生养成勤于思考、善于总结的良好习惯，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况. 在与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识 四、限时训练，当堂达标师：前面同学们合作共进，收获颇丰，是否达到了本课的复习目标呢？请在 8 分钟内完成！达标检测.（1、2、3、6 为必做题，4、5 为选做题）1.如图所示，边长为 1 的小正方形
16、构成的网格中，半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上，则AED 的正切值等于_2.如图，C 过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、点 B，点 A 的坐标为(0，3) ，M是第三象限内 上一点，BMO=120，则C 的半径长为【 】ABA6 B5 C3 D 323.如图，两个同心圆的半径分别为 4cm 和 5cm，大圆的一条 弦 AB 与小圆相切，则弦AB 的长为 【 】A3cm B4cm C6cm D8cm4.如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转，CP 与量角
17、器的半圆弧交于点 E，第 35 秒时，点 E 在量角器上对应的读数是 度5.某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图 1） ，若不计木条的厚度，其俯视图如图 2 所示，已知 AD 垂直平分 BC，AD=BC =48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm6.如图，已知 AB 是O 的弦，OB=2 ，B=30，C 是弦 AB 上任意一点（不与点1 题图 2 题图 3 题图 4 题图A、B 重合） ，连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D，连接 AD.（1）弦长 AB=_（结果保留根号） ；（2）当D=20时，求BOD 的度数；（3）当 AC 的长度为多少时，以点 A、C、D 为顶
18、点的三角形与以B、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程.处理方式:在学案上自主完成，精力集中、投入专注，象考试一般.【设计意图】必做题，要求学生在 8 分钟内完成.选取中考题作为课堂检测，规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解决问题的能力.更能让学生体验解决中考题的快乐和成功感，每一道小题都各有目的，从不同的侧面考查了这章的知识点，从学生的完成情况来看，效果很好，都能在规定的时间内完成，且准确率较高选做题，是为学有余力的同学准备的，让不同的学生有不同的发展，以便于对学生进行因材施教分类推进，让优生能吃得饱，学得好，能力最大限度的提高.五、布置作业，课堂延伸A 组：复习指导丛书 117 页 118 页 第 1、2、10、11 题B 组：复习指导丛书 119120 页 第 10、12 题【设计意图】复习课后分层布置作业，让不同程度的学生有不同的收获；一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力,提高应试能力板书设计:第 20 讲 圆的有关概念和性质例 4例 1例 2例 3学生板演区投影区
