1、3.3 导数的综合应用 最新考纲 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题,1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答,2不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题； (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参
2、数范围问题转化为研究新函数的值域问题,3方程解的个数问题 构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数,1(2014湖南)若0ln x2ln x1 Bex1ex2x1ex2 Dx2ex1x1ex2,【答案】 D,4(2016山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A1百万件 B2百万件 C3百万件 D4百万件 【解析】 y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大 【答案】 C,【思维升华】 (1
3、)证明f(x)g(x)可转化为证明F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值 (2)对于F(x)f(x)g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明,【思维升华】 函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一,跟踪训练2 (2015安徽)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号) a3，b3；a3，b2；a3， b2；a0，b2；a1，b2.
4、,【解析】 构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值，从而判断零点情况 令f(x)x3axb，则f(x)3x2a. 当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，正确； 当a0时，若a3， 则f(x)3x233(x1)(x1)， f(x)极大f(1)13bb2， f(x)极小f(1)13bb2，,要使f(x)0仅有一个实根， 需f(x)极大0， b2，正确，不正确 故填. 【答案】 ,(1)求a，b的值 (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度 【思维点拨】 (1)根据M，N两点坐标求得a，
5、b的值； (2)根据导数先求切线方程，再求f(t)，最后利用导数求最值,【思维升华】 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点,【审题路线图】,【温馨提醒】 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化 (2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题,方法与技巧 1利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用 2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用,3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 失误与防范 1函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0，(f(x)0在有限个点处取到) 2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义,
