1、11.1.4 圆周运动学习目标 核心凝炼1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动。2.知道线速度的物理意义、定义式、矢量性，知道匀速圆周运动线速度的特点。3.知道角速度的物理意义、定义式及单位，了解转速和周期的意义。4.掌握线速度与角速度的关系，掌握角速度与转速、周期的关系。4 个概念线速度、角速度、周期、频率的概念1 个关系线速度与角速度关系v r5 个公式 v s t 2 rT t 2TT ， v r ， 2 n1f 1n 2T一、线速度观图助学(1)吊扇工作时扇叶上某点做什么运动？怎样描述其运动的快慢？(2)齿轮工作时齿轮上某点做什么运动？怎样描述其运动的快慢？1.定义：物体做圆周运动
2、通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。2.公式： v _。 s t3.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。4.方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。5.匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以圆周运动是一种变速运动。理解概念判断下列说法是否正确。2(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。()(2)圆周运动线速度公式 v 中的 s 表示位移。() s t(3)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。()(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。()二、角速度观图助学如图所示，钟表上的秒针、
3、分针、时针以不同的速度做圆周运动。(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？相同时间内，谁转动的角度大？谁转动得最快？(2)请指出秒针、分针和时针的周期。答案 (1)不相同。根据角速度公式 知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大， t时针转过的角度最小，所以秒针转得最快。(2)秒针的周期为 60 s，分针的周期为 60 min，时针的周期为 12 h。1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。2.公式： 。 t3.意义：描述物体绕圆心转动的快慢。4.单位(1)角的单位：国际单位制中，弧长与半径的比值表示角的大小，称为弧度，符号：rad。(2)角速度的单位：弧度每秒
4、，符号是 rad/s。5.转速与周期转速 周期定义 物体单位时间内转过的圈数做圆周运动的物体，转过一周所用的时间符号 n T3单位转每秒(r/s) 转每分(r/min)秒(s)理解概念判断下列说法是否正确。(1)物体转过的角度越大，则角速度越大。()(2)物体转动的越快，则角速度越大。()(3)钟表的秒针、分针、时针中时针的角速度最大。()三、线速度与角速度的关系观图助学如图所示，在骑行自行车的过程中，图中 A、 B、 C 的线速度大小关系怎样？角速度的大小关系怎样？1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。2.关系式： v r 。理解概念判断下列说法是否正确。(1)线速度越大
5、，角速度一定越大。()(2)转速越大，周期一定越大。()(3)线速度越大，周期不一定越大。()描述圆周运动的物理量及其关系观察探究如图 1 所示是一个玩具陀螺， a、 b、 c 是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度 稳定旋转时；4图 1(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时， a、 b、 c 三点角速度和周期各有什么关系？(2)a、 b、 c 三点做圆周运动的线速度有什么关系？答案 (1) a b c， Ta Tb Tc。(2)va vcvb。探究归纳 1.各物理量意义的区别(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同。线速度 v 描述质点运动的快
6、慢，而角速度 、周期 T、转速 n 描述质点转动的快慢。(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要描述运动快慢的物理量，又需要描述转动快慢的物理量。2.各物理量之间的关系试题案例例 1 (多选)火车以 60 m/s 的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在 10 s 内匀速转过了约 10。在此 10 s 时间内，火车( )A.运动路程为 600 m B.加速度为零C.角速度约为 1 rad/s D.转弯半径约为 3.4 km解析 在此 10 s 时间内，火车运动路程 s vt6010 m600 m，选项 A 正确；火车在5弯道上运动，做曲线运动，一定有加速度，
7、选项 B 错误；火车匀速转过 10，角速度 rad/s rad/s，选项 C 错误；由 v R ，可得转弯半径 R t 2 1036010 180 v 60180km3.4 km，选项 D 正确。答案 ADv、 及 r 间关系的理解(1)由 v r 知， r 一定时， v ； 一定时， v r。 v 与 、 r 间的关系如图甲、乙所示。(2)由 知， v 一定时， ， 与 r 间的关系如图甲、乙所示。vr 1r针对训练 1 关于匀速圆周运动的线速度 v、角速度 和半径 r，下列说法正确的是( )A.若 r 一定，则 v 与 成正比B.若 r 一定，则 v 与 成反比C.若 一定，则 v 与 r
8、 成反比D.若 v 一定，则 与 r 成正比解析 根据 v r 知，若 r 一定，则 v 与 成正比；若 一定，则 v 与 r 成正比；若 v一定，则 与 r 成反比。故只有选项 A 正确。答案 A几种常见的传动装置观察探究如图 2 为两种传动装置的模型图。6图 2(1)甲图为皮带传动装置，试分析 A、 B 两点的线速度及角速度关系。(2)乙图为同轴传动装置，试分析 A、 C 两点的角速度及线速度关系。答案 (1)皮带传动时，在相同的时间内， A、 B 两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又 v r ，当 v 一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。(2)同轴传动时，在相同的时
9、间内， A、 C 两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为 v r ，当 一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大。探究归纳 同轴传动 皮带传动 齿轮传动装置A、 B 两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、 B 两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、 B 两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为 n1、 n2)特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同转动方向 相同 相同 相反规律线速度与半径成正比：vAvB rR角速度与半径成反比： 。 A B rR周期与半径成正比：TATB Rr角速度与半径成反比： 。 A B r2r1 n2n1周期与半
10、径成正比： TATBr1r2试题案例例 2 如图 3 所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮7的半径之比为 981，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为 时，小车轮的角速度为( )图 3A. B. C. D.918 98解析 手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于 ，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是 r，则有 v 9r r，小车轮的角速度为 9 ，选项 D 正确。答案 D解答传动问题的两个关键
11、(1)绕同一轴转动的各点角速度 、转速 n 和周期 T 相等，而各点的线速度 v r 与半径r 成正比。(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度 与半径 r 成反比。vr针对训练 2 (2018德州高一检测) (多选)如图 4 所示，在风力发电机的叶片上有A、 B、 C 三点，其中 A、 C 在叶片的端点， B 在叶片的中点。当叶片转动时，这三点( )图 4A.线速度大小都相等 B.线速度方向都相同C.角速度大小都相等 D.周期都相等解析 首先 A、 B、 C 属于同轴转动，故他们的角速度、周期都相等，故
12、 C、D 正确；由v r 知，它们的半径 r 不相等，故线速度的大小不相等，故 A 错误；由于是做圆周运动，8故线速度的方向位于切线方向，故 B 错误。答案 CD针对训练 3 (多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图 5 是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中 A 轮有 48 齿， B 轮有 42 齿， C 轮有 18 齿， D 轮有 12 齿，则( )图 5A.该车可变换两种不同挡位B.该车可变换四种不同挡位C.当 A 轮与 D 轮组合时，两轮的角速度之比 A D14D.当 A 轮与 D 轮组合时，两轮角速度之比 A D41解析 A 轮通过链条分别与 C、 D 连接，自行车可有两种
13、速度， B 轮分别与 C、 D 连接，又可有两种速度，所以该车可变换 4 种挡位，故 A 错误，B 正确；当 A 与 D 组合时，两轮边缘线速度大小相等， A 轮转一圈， D 转 4 圈，即 ，故 C 正确，D 错误。 A D 14答案 BC匀速圆周运动多解问题要点归纳 解答匀速圆周运动多解问题的关键(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度 上再加上 2n，具
14、体 n 的取值应视情况而定。试题案例例 3 如图 6 所示，直径为 d 的纸筒绕垂直于纸面的 O 轴匀速转动(图示为截面)。从枪口射出的子弹以速度 v 沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时先后在筒上留下 A、 B 两个弹孔。则圆筒转动的角速度 需满足什么条件？9图 6解析 (1)当圆盘逆时针转动时，转过的角度可能为：2 n( )，( n0，1，2)，此时 ，解得 v，( n0，1，2)。dv 2n （ ） 2n （ ）d(2)当圆盘顺时针转动时，转过的角度可能为：2 n( )，( n0，1，2)，此时 ，解得 v，( n0，1，2)。dv 2n （ ） 2n （ ）d答案 逆时针转动时， v，(
15、n0，1，2)2n （ ）d顺时针转动时， v，( n0，1，2)2n （ ）d针对训练 4 为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘 A、 B，盘 A、 B 平行且相距 2 m，轴杆的转速为 3 600 r/min。子弹穿过两盘留下两弹孔 a、 b，测得两弹孔所在半径的夹角 30，如图 7 所示。则该子弹的速度可能是( )图 7A.360 m/s B.720 m/s C.1 440 m/s D.108 m/s解析 子弹从 A 盘到 B 盘， B 盘转过的角度 2 n (n0，1，2，)， B 盘转动 6的角速度 2 f2 n2 rad/s120 rad/s，子弹在 A、
16、B 盘间运2T 3 60060动的时间等于 B 盘转动的时间，即 ，所以 v m/s(n0，1，2，)，2v 2 1 44012n 1n0 时， v1 440 m/s； n1 时， v110.77 m/s； n2 时， v57.6 m/s，故 C 正确。答案 C为什么有时我们看到车轮是向后旋转的人们的眼睛看到物体时，反映到视网膜上有一个停顿的时间，即视觉暂留。高速旋转的车轮，人眼是看不清的。当旋转的频率和人的眼睛视觉频率一致时，我们看到的车轮好像10是静止的；当转速高于视觉频率时，车轮向前转；当转速低于视觉频率时，车轮就是向后旋转了。 这个现象在日光灯下观察正在启动或刚刚关闭电源的电扇就可以体
17、会到，这是因为日光灯不是连续的光源，日光灯每秒钟明暗变化 50 次，也就是通常所说的闪动 50 次，在日光灯下看到的东西，就是每秒钟看到 50 次，而不是连续看到的。因此电扇的扇叶会出现一会儿正转，一会儿静止，一会儿倒转的视觉效果。1.(对匀速圆周运动的理解)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是( )A.相等的时间内通过的路程相等B.相等的时间内通过的弧长相等C.相等的时间内通过的位移相等D.在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D 项正确；相等时
18、间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故 C 项错误。答案 ABD2.(对描述圆周运动的各量关系的理解)关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是( )A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小解析 由 v r 知， v 越大， 不一定越大； 越大， r 不一定越小，故 A、C 均错误；由 v 知， v 越大， T 不一定越小，B 错误；而由 可知， 越大， T 越小，故2 rT 2TD 正确。答案 D3.(对线速度与角速度关系的理解)如图 8 所示，翘翘板的支点位于板的中点， A、 B 两小孩距离支点一远
19、一近。在翘动的某一时刻， A、 B 两小孩重心的线速度大小分别为 vA、 vB，角速度大小分别为 A、 B，则( )11图 8A.vA vB， A B B.vA vB， A BC.vA vB， A B D.vA vB， A B解析 因为两小孩绕同一点转动，故角速度相同，即 A B；由于两人的转动半径不等，根据 v r ，可知 vA vB，选项 A 正确。答案 A4.(传动问题)(多选)如图 9 所示为一皮带传送装置，右轮的半径为 r， a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为 4r，小轮的半径为 2r， b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r， c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上
20、，若在传动中，皮带不打滑，则( )图 9A.a 点与 b 点的线速度大小之比是 21B.a 点与 b 点的角速度大小之比是 21C.a 点与 c 点的线速度大小之比是 21D.c 点与 d 点的角速度大小之比是 11解析 同一皮带上线速度相等， va vc，同一轮上角速度相等， b c d，再结合v r ，则 vb vc12，所以va vb21， a b21， va vc11， c d11。故选项 A、B、D 正确。答案 ABD合格性检测1.如图 1 所示为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了( )12图 1A.提高速度 B.提高稳定性C.骑行方
21、便 D.减小阻力解析 在骑车时，人脚蹬踏板车轮转速一定的情况下，据公式 v r 知，轮子半径越大，车轮边缘的线速度越大，车行驶得也就越快，故选项 A 正确。答案 A2.静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )A.它们的运动周期都是相同的B.它们的线速度都是相同的C.它们的线速度大小都是相同的D.它们的角速度是不同的解析 如图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的运动周期及角速度都是相同的。地球表面上的物体随地球做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等。但即使物
22、体的线速度大小相同，方向也各不相同。故 B、C、D 错误，A 正确。答案 A3.(2018临沂高一检测)某品牌电动自行车的铭牌如下：车型、20 吋(车轮直径：508 mm)电池规格：36 V 12 Ah(蓄电池)整车质量：40 kg 额定转速：210 r/min(转/分)13外形尺寸：L 1 800 mmW 650 mmH 1 100 mm充电时间：28 h电机、后轮驱动、直流永磁式电机 额定工作电压/电流 36 V/5 A根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为( )A.15 km/h B.18 km/h C.20 km/h D.25 km/h解析 由表中信息知：每小时转 21060
23、转，则可计算每小时走过的路程为s dn3.1450810 3 21060 m20 km，则时速为 v 20 km/h，选项 C 正确。st答案 C4.如图 2 所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的 P、 Q 两点的角速度分别为 P和 Q，线速度大小分别为 vP和 vQ，则( )图 2A. P Q， vP vQ B. P Q， vP vQC. P Q， vP vQ D. P Q， vP vQ解析 由于 P、 Q 两点属于同轴转动，所以 P、 Q 两点的角速度是相等的，即 P Q；同时由图可知 Q 点到螺母的距离比较大，由 v r 可知， Q 点的线速度大，即 vP vQ，B 正确。答案 B5.如图
24、3 所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、 r2、 r3。若甲轮的角速度为 1，则丙轮的角速度为( )图 3A. B. C. D.r1 1r3 r3 1r1 r3 1r2 r1 1r2解析 甲、丙两轮边缘的线速度大小相等，即 1r1 3r3，故丙轮的角速度 3 1，A 正确。r1r314答案 A6.如图 4 所示为锥形齿轮的传动示意图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为 1、 2，两齿轮边缘处的线速度大小分别为 v1、 v2，则( )图 4A. 1 2， v1 v2 B. 1 2， v1 v2C. 1 2， v1 v2 D. 1 2， v1 v
25、2解析 由于大齿轮带动小齿轮转动，两者啮合，所以线速度 v1 v2，由于 v r ，所以 1r1 2r2，又 r1 r2，所以 1 2，A 正确。答案 A7.(多选)如图 5 所示皮带传送装置，皮带轮 O 和 O上的三点 A、 B 和 C， r，OA O C 2 r。则皮带轮转动时 A、 B、 C 三点的情况是( )O B 图 5A.vA vB， vB vC B. A B， vB vCC.vA vB， B C D. A B， vB vC解析 A、 B 是靠传送带传动的轮子边缘上的点，所以 vA vB， B、 C 两点共轴转动，所以 B C。根据 v r 知， vB vC。根据 知 A B。故
26、A、C 正确，B、D 错误。vr答案 AC8.(多选) A、 B 两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA sB23，转过的角度之比 A B32，则下列说法正确的是( )A.它们的半径之比 RA RB23B.它们的半径之比 RA RB49C.它们的周期之比 TA TB23D.它们的转速之比 nA nB2315解析 相同时间内 A、 B 两个质点的线速度之比vA vB sA sB23， A B A B32，则由 v R 知半径之比RA RB 49，A 错误，B 正确；周期之比 TA TB B A23，C 正确；转vA A vB B速之比 nA nB A B32，D 错误
27、。答案 BC等级性检测9.根据教育部的规定，高考考场除了不准考生带手机等通讯工具入场处，手表等计时工具也不准带进考场，考试是通过挂在教室里的时钟计时的，关于正常转动的时钟，下列说法正确的是( )A.秒针角速度是分针角速度的 60 倍B.分针角速度是时针角速度的 60 倍C.秒针周期是时针周期的13 600D.分针的周期是时针的124解析 秒针、分针、时针周期分别为 T11 min， T2 60 min， T3720 min。所以 ， ，选项 C、D 错误；根据 ， 60， 12，选项 AT1T3 1720 T2T3 112 2T 1 2 T2T1 2 3 T3T2正确，B 错误。答案 A10.
28、高速或超速离心机是基因提取中的关键设备，当超速离心机转速达 80 000 r/min 时，则关于距超速离心机转轴 12 cm 处的质点，下列说法正确的是( )A.周期为 s180 000B.线速度大小为 320 m/sC.角速度为 160 000 rad/sD.角速度为 rad/s4 0003解析 离心机转速 n80 000 r/min r/s，半径 r0.12 m。故周期 T 4 0003 1n 34 000s，A 错误；角速度 2 n rad/s，C、D 错误；线速度8 0003v r 0.12 m/s320 m/s，B 正确。8 0003答案 B1611.半径为 R 的大圆盘以角速度 旋
29、转，如图 6 所示。有人站在盘边 P 点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标 O。若子弹的速度为 v0，则( )图 6A.枪应瞄准目标 O 射去B.枪应向 PO 的右方偏过 角射去，且 cos Rv0C.枪应向 PO 的左方偏过 角射去，且 tan Rv0D.枪应向 PO 的左方偏过 角射去，且 sin Rv0解析 要击中圆盘中心目标 O，则子弹的合速度沿半径方向指向 O，如图所示，因为子弹离开枪口时有与枪相同的线速度 v R ，所以枪应向 PO 的左方偏过 角射去，且 sin ，故选项 D 正确。 Rv0答案 D12.(2018唐山高一检测)一半径为 R 的雨伞绕柄以角速度 匀速旋转，如图 7 所示，伞边缘距地面高 h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径 r 为多少？图 7解析 间距关系如图所示(俯视图)。雨滴飞出的速度大小为 v R17雨滴做平抛运动，在竖直方向上有 h gt212在水平方向上有 s vt由几何关系知，雨滴半径 r R2 s2解以上几式得 r R 。1 2 2hg答案 R1 2 2hg
