1、 第 1 页 共 3 页 小专题研究(二) Error!简谐运动的多解问题简谐运动的最大特点就是具有周期性，其位移、速度、加速度、回复力、动能、势能等物理量都具有周期性；若物体运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均相同；所以简谐运动在很多情况具有多解性，这是由运动时间与周期关系不确定造成的。简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。例证 如图 1 所示，小球 m 自 A 点以 AD 方向的初速度逐渐接近固定在 D 点的小球n。已知 0.8 m，A 圆弧半径 R10 m，AD 10 m，A、B、C、D 在同一水平面上，则ABv 为多大
2、时，才能使 m 恰好碰到小球 n？( 设 g10 m/s 2，不计一切摩擦)图 1解析 小球 m 的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：以速度 v 沿 AD 方向的匀速直线运动和在圆弧面 AB 方向上的往复运动。因为 R，所以小球在圆弧面上的AB往复运动可看做简谐运动，具有等时性，其圆弧半径 R 即为单摆的摆长，周期T2 。Rg设小球 m 恰好能碰到小球 n，则有：ADvt，且满足 tkT(k 1,2,3)，又 T2 ，Rg解以上方程得v m/s(k1,2,3)，5k答案 m/s(k1,2,3)5k1如图 2 所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方，一小球在距 O 点很第 2
3、 页 共 3 页 近的 A 点由静止放开，同时在 O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在 O 点相碰，求小球应从多高处自由落下 ( R) 。A图 2解析：小球由 A 点 沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为 R ，所以小球自 A 点释放后做简谐运动，要使两球在 O 点相碰，两者到 O 点的O运动时间相等。小球由 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为(2n1)(n1,2,3)，T4由于从 O 点正上方自由落下的小球到 O 的时间也为(2n1)时两球才能在 O 点相碰，所以T4h gt2 g (2n1) 212 1242R16g (n1,2,3)。2
4、n 122R8答案： (n1,2,3)2n 122R82A、B 两个单摆，第一次同时从平衡位置以相同速度 运动，经过时间 t0，它们第二次以相同速度同时通过平衡位置，已知 A 摆的周期为 TA，求 B 摆的周期 TB。解析：由题知在 t0 时间内，A 摆完成的全振动的次数为 nA ；B 摆完成全振动的次t0TA数 nB ，又因 A、B 摆是以相同的速度第二次同时通过平衡位置，所以有 nAn Bn，t0TB式中 n0，1、2，得： n(n0、1、 2)，t0TA t0TB解得：T B (n0、1、2) 。t0TAt0 nTA答案：T B (n0、1、2)t0TAt0 nTA第 3 页 共 3 页
