1、数据结构与算法 第2章 线性表,本章由赵海燕主写 http:/ http:/ 张铭，王腾蛟，赵海燕 高等教育出版社，2008. 6。“十一五”国家级规划教材,主要内容,线性结构顺序表链表线性表实现方法的比较,线性结构,元素间满足线性关系 “一对一”的关系 按此关系结构中的所有元素排成一个线性序列 二元组B = (K, R) ,K = a0, a1, , an-1 , R = r ： 结点集K中有一个唯一的开始结点，它没有前驱，但有一个唯一的后继； 对于有限集K , 它存在一个唯一的终止结点，该结点有一个唯一的前驱而没有后继； 其它的结点皆称为内部结点，每一个内部结点都有且仅有一个唯一的前驱，也
2、有一个唯一的后继；a0, a1, , an-1 ai是ai+1的前驱， ai+1是ai的后继,线性结构,特点： 均匀性：虽然不同线性表的数据元素可以是各种各样的，但对于同一线性表的各数据元素必定具有相同的数据类型和长度 有序性：各数据元素在线性表中都有自己的位置，且数据元素之间的相对位置是线性的,线性结构,包括： 简单的 线性表 栈 队列 散列表 高级的 广义表 多维数组 文件 ,线性结构分类,按访问方式划分 直接访问型(direct access) 顺序访问型( sequential access) 目录索引型(directory access),线性结构分类,按操作划分 线性表所有表目都是
3、同一类型结点的线性表不限制操作形式根据存储的不同分为：顺序表，链表 栈(LIFO, Last In First Out)插入和删除操作都限制在表的同一端进行 队列(FIFO, First In First Out)插入操作在表的一端， 删除操作在另一端,2.1 线性表 (linear list),三个方面 线性表的逻辑结构 线性表的存储结构 线性表运算分类,线性表的逻辑结构,线性表： 由称为元素（element）的数据项组成的一种有限且有序的序列，这些元素也可称为结点或表目 二元组(K , r) ： 由结点集K，以及定义在结点集K上的线性关系 r 所组成的线性结构 线性表所包含的结点个数称为线
4、性表的长度，它是线性表的一个重要参数；长度为0的线性表称为空表； 线性表的关系 r，简称前驱/后继关系，具有反对称性和传递性,线性表逻辑结构,主要属性包括： 线性表的长度 表头(head) 表尾 (tail) 当前位置(current position),线性表的存储结构,定长的一维数组结构 又称为向量型的顺序存储结构 变长的线性表存储结构 链接式存储结构 串结构、动态数组、以及顺序文件,线性表的存储结构,顺序表 按索引值从小到大存放在一片相邻的连续区域 紧凑结构，存储密度为1链表 单链表 双链表 循环链表,线性表运算分类,创建线性表的一个实例list(-) 清除线性表（即析构函数）list(
5、) 获取有关当前线性表的信息 访问线性表并改变线性表的内容或结构 线性表的辅助性管理操作,线性表的运算,建立线性表 清除线性表 插入一个新元素 删除某个元素 修改某个元素 排序 检索,线性表类模板,template class List void clear(); / 置空线性表bool isEmpty(); / 线性表为空时，返回truebool append(const T value); / 在表尾添加一个元素value，表的长度增1bool insert(const int p, const T value); / 在位置p上插入一个元素value，表的长度增1bool delete(
6、const int p); / 删除位置p上的元素，表的长度减 1bool getPos(int ,2.2 顺序表（array-based list）,采用定长的一维数组存储结构 也称向量,主要特性:,元素的类型相同 元素顺序地存储在连续存储空间中， 每一个元素有唯一的索引值 使用常数作为向量长度,顺序表,数组存储 读写其元素很方便 ，通过下标即可指定位置 只要确定了首地址，线性表中任意数据元素都可以随机存取。地址计算如下所示：loc(ki) = loc(k0) + c* ic = sizeof(ELEM),顺序表,顺序表类定义,class arrList : public List / 顺序
7、表，向量 private: / 线性表的取值类型和取值空间T *aList ; / 私有变量，存储顺序表的实例int maxSize; / 私有变量，顺序表实例的最大长度int curLen; / 私有变量，顺序表实例的当前长度int position; / 私有变量，当前处理位置 public: / 顺序表的运算集arrList(const int size) / 创建一个新的顺序表，参数为表实例的最大长度maxSize = size; aList = new TmaxSize; curLen = position = 0;arrList() / 析构函数，用于消除该表实例delete aL
8、ist;void clear() / 将顺序表存储的内容清除，成为空表delete aList; curLen = position = 0;aList = new TmaxSize; int length(); / 返回此顺序表的当前实际长度bool append(const T value); / 在表尾添加一个元素value，表的长度增1bool insert(const int p, const T value); / 在位置p上插入一个元素value，表的长度增1bool delete(const int p); / 删除位置p上的元素，表的长度减 1bool setValue(co
9、nst int p, const T value); / 用value修改位置p的元素值bool getValue(const int p, T,顺序表上的运算,重点讨论 插入元素运算 bool insert(const int p, const T value); 删除元素运算 bool delete(const int p); 其他运算请大家思考,position,顺序表的插入图示,position,position,插入算法,/ 设元素的类型为T， aList是存储顺序表的数组， maxSize是其最大长度； / p为新元素value的插入位置，插入成功则返回true， 否则返回fals
10、e template bool arrList : insert (const int p, const T value) int i;if (curLen = maxSize) / 检查顺序表是否溢出cout curLen) / 检查插入位置是否合法cout p; i-)aListi = aListi-1; / 从表尾curLen -1起往右移动直到paListp = value; / 位置p处插入新元素curLen+; / 表的实际长度增1 return true; ,插入算法的执行时间,插入操作的主要代价体现在表中元素的移动,在位置i插入元素，需移动n-i 个元素 元素总个数为k，假设各
11、个位置插入的概率相等， 为p1/k 平均移动元素次数为,总时间开销估计为O(k),position,顺序表的删除图示,position,删除算法,/ 设元素的类型为T；aList是存储顺序表的数组； p为即将删除元素的位置 / 删除成功则返回true，否则返回falsetemplate / 顺序表的元素类型为T bool arrList : delete(const int p) int i;if (curLen curLen-1) / 检查删除位置是否合法cout “deletion is illegaln“endl;return false ;for (i = p; i curLen-1;
12、 i+)aListi = aListi+1; / 从位置p开始每个元素左移直到curLencurLen-; / 表的实际长度减1return true; ,删除算法时间代价,与插入操作相似，主要的代价在于元素的移动 等概率情况下平均时间代价为O(k),顺序表各运算的算法分析,插入和删除操作的主要代价体现在表中元素的移动 插入：移动 n-i 删除：移动 n-i-1个 若在下标为 i 的位置上插入和删除元素的概率分别是pi和pi， 则插入时的平均移动次数是： nMi = (n-i)pi；i=0 删除的平均移动次数是：n-1Md = (n-i-1)pii=0,算法分析,如果在顺序表中每个位置上插入和
13、删除元素的概率相同，即： pi=1/(n+1), pi=1/n,采用大O表示法，则时间代价为O(n),顺序表的优缺点,优点 不需要附加空间 随机存取任一个元素（根据下标） 缺点 很难估计所需空间的大小 开始就要分配足够大的一片连续的内存空间 更新操作代价大,2.3 链表(Linked List),通过指针来链接结点的存储方式。 利用指针来表示数据元素之间的逻辑关系 逻辑上相邻的元素在物理位置上不要求也相邻 按照需要为表中新的元素动态地分配存储空间，动态改变长度 根据链接方式和指针多寡 单链表 双链表 循环链表,链表的运算,检索： 在链表中查找满足某种条件的元素 插入 ： 在链表的适当位置插入一
14、个元素 删除： 从链表中删除一个指定元素,单链表（singly linked list）,通过指针把它的一串存储结点链接成一个链 存储结点由两部分组成： 数据字段 + 指针字段（后继地址）,单链表的存储结构,单链表的结点类型,template class Link public: T data; / 用于保存结点元素的内容Link * next; / 指向后继结点的指针Link(const T info, const Link* nextValue = NULL) data = info;next = nextValue;Link(const Link* nextValue) next = n
15、extValue; ;,单链表的定义,template class lnkList : public List private: Link * head, *tail; / 单链表的头、尾指针Link *setPos(const int p); / 返回线性表指向第p个元素的指针值 public: lnkList(int s); / 构造函数lnkList(); / 析构函数bool isEmpty(); / 判断链表是否为空void clear(); / 将链表存储的内容清除，成为空表int length(); / 返回此顺序表的当前实际长度bool append(cosnt T value
16、); / 在表尾添加一个元素value，表的长度增1bool insert(cosnt int p, cosnt T value);/ 在位置p上插入一个元素value，表的长度增1bool delete(cosnt int p); / 删除位置p上的元素，表的长度减 1bool getValue(cosnt int p, T / 查找值为value的元素，返回第1次出现的位置 ,查找单链表中第i个结点,/ 函数返回值是找到的结点指针 template / 线性表的元素类型为T Link * lnkList : setPos(int i) int count = 0;if (i = -1) /
17、 i为-1则定位到头结点return head;/ 循链定位，若i为0则定位到第一个结点 Link *p = new Link(head-next); while (p != NULL / 指向第 i 结点，i0,1,，当链表中结点数小于i时返回NULL ,单链表的插入,在23 和12 之间插入 10,创建新结点 新结点指向右边的结点 左边结点指向新结点,单链表插入算法,/ 插入数据内容为value的新结点作为第i个结点 template / 线性表的元素类型为T bool lnkList : insert(const int i, const T value) Link *p, *q;if
18、(p = setPos(i -1) = NULL) / p 是第i个结点的前驱cout (value, p-next);p-next = q;if (p = tail) / 插入点在链尾，插入结点成为新的链尾tail = q; return true; ,单链表的删除,从链表中删除结点x 用p指向元素x的结点的前驱结点 删除元素为x的结点 用p指向元素x的结点的前驱结点,p=head; while (p-next!=NULL ,用p指向元素x的结点, 可以吗?,.,.,x,head,p,.,x,p,单链表删除示意,x,p,p,p next = q next;,q,q = pnext;,free
19、(q);,删除值为 x 的结点,template / 线性表的元素类型为T bool lnkList: delete(const int i) Link *p, *q; if (p = setPos(i-1) = NULL | p = tail) / 待删结点不存在，即给定的i大于当前链中元素个数cout next; / q是真正待删结点if (q = tail) / 待删结点为尾结点，则修改尾指针tail = p;p-next = NULL:delete q;else if (q != NULL) / 删除结点q 并修改链指针 p-next = q-next;delete q;return
20、true; ,单链表删除算法,求长度算法,int length() Link *p = head-next;int count = 0;while (p != NULL) p = p-next;count+;return count; ,单链表上运算的分析,1. 对一个结点操作，必先找到它，即用一个指针指向它 2. 找单链表中任一结点，都必须从第一个点开始： p = head;while (没有到达)p = p-next;,单链表的时间复杂度 O(n) 定位： O(n) 插入： O(n) + O(1) 删除： O(n) + O(1),双链表(double linked list),为弥补单链表
21、的不足,而产生双链表 单链表的next字段仅仅指向后继结点，不能有效地找到前驱, 反之亦然 增加一个指向前驱的指针,双链表及其结点类型的说明,template class Link public: T data; / 用于保存结点元素的内容Link * next; / 指向后继结点的指针Link *prev; / 指向前驱结点的指针Link(const T info, Link* preValue = NULL, Link* nextValue = NULL) / 给定值和前后指针的构造函数data = info;next = nextValue;prev = preValue;Link(Li
22、nk* preValue = NULL, Link* nextValue = NULL) / 给定前后指针的构造函数next = nextValue;prev = preValue; ,双链表的插入,如果要在p所指结点后插入一个新结点 执行new q开辟结点空间； 让该新结点的next填入p所指的后继地址； 新结点的prev填入p所指结点的后继的prev字段；new q;q-next = p- next;q-prev = p- next -prev; 把新结点的地址填入原p所指结点的next字段； 新结点后继结点的prev字段也应该回指新结点p- next = q;q- next -prev
23、= q;,ki-1,ki,ki+1,p,pnext ,q,x,q prev = p;,q next = p next;,p next prev = q;,p next = q;,双链表插入示意,双链表的删除,如果要删除指针变量 p 所指的结点，只需修改该结点前驱的 next 字段和该结点后继的prev字段，即 p- prev - next = p- next; p- next - prev = p- prev;然后把变量p变空，再把p所指空间释放即可 p- next = NULL; p-prev = NULL; delete p;,ki-1,ki,ki+1,p,p prev ,p next ,
24、p prev next = p next,p next prev = p prev,prev,next,双链表删除示意,循环链表(circularly linked list),将单链表或者双链表的头尾结点链接起来，就是一个循环链表 不增加额外存储花销，却给不少操作带来了方便 从循环表中任一结点出发，都能访问到表中其他结点,几种主要链表比较,链表的边界条件,几个特殊点的处理 头指针处理 非循环链表尾结点的指针域保持为NULL 循环链表尾结点的指针回指头结点链表处理 空链表的特殊处理 插入或删除结点时指针勾链的顺序 指针移动的正确性 插入 查找或遍历,2.4 线性表实现方法的比较,顺序表的主要优
25、点 没有使用指针，不用花费额外开销 线性表元素的读访问非常简洁便利 链表的主要优点 无需事先了解线性表的长度 允许线性表的长度动态变化 能够适应经常插入删除内部元素的情况,顺序表是存储静态数据的不二选择 链表是存储动态变化数据的良方,顺序表和链表的比较,顺序表 插入、删除运算时间代价O(n)，查找则可常数时间完成 预先申请固定长度的数组 如果整个数组元素很满，则没有结构性存储开销 链表 插入、删除运算时间代价O(1)，但找第i个元素运算时间代价O(n) 存储利用指针，动态地按照需要为表中新的元素分配存储空间 每个元素都有结构性存储开销,顺序表和链表存储密度,n表示线性表中当前元素的数目， P表
26、示指针的存储单元大小（通常为4bytes） E表示数据元素的存储单元大小 D表示可以在数组中存储的线性表元素的最大数目 空间需求 顺序表的空间需求为DE 链表的空间需求为n(P+E) n的临界值，即n DE/(P+E) n越大，顺序表的空间效率就更高 如果P = E，则临界值为n = D/2,应用场合的选择,顺序表不适用的场合 经常插入删除时，不宜使用顺序表 线性表的最大长度也是一个重要因素 链表不适用的场合 当读操作比插入删除操作频率大时，不应选择链表 当指针的存储开销，和整个结点内容所占空间相比其比例较大时，应该慎重选择,顺序表和链表的选择,顺序表 结点总数目大概可以估计 线性表中结点比较稳定（插入删除少） n DE/(P+E) 链表 结点数目无法预知 线性表中结点动态变化（插入删除多） n DE/(P+E),小结,线性结构的基本概念 线性表的顺序实现 线性表的链式实现,The End,Thank You!http:/ http:/ 张铭，王腾蛟，赵海燕 高等教育出版社，2008. 6。“十一五”国家级规划教材,
