1、第十二章 非线性微分方程简介,非线性科学研究自然界中的非线性现象。 一切自然现象，其本质均是非线性的，线性只是近似。非线性科学已成为前沿研究领域，孤立子是它的一个重要分支。非线性在数学上的描写是非线性微分方程。非线性方程的内容十分丰富，本章仅介绍求解 KdV 方程、sine-Gordon 方程和非线性薛定谔方程孤立子解的行波法和散射反演法。,12-1 非线性微分方程例举,12-1-1 孤立波和KdV方程,1834年, 英国工程师罗素在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上观察到一个滚圆光滑的水包以极大的速度向前推进，这种不弥散的波包被称为孤立波。1895年，荷兰科学家 D.J.Korteweg 和 G.d
2、e Vries 导出了在浅槽水表面传播的波的运动方程（KdV 方程），孤立波现象才得到了解释。孤立波是一种普遍存在的物理现象，在许多物理问题中都可遇到 KdV 方程，它是类似于拉普拉斯方程那样的一个基本的数学物理方程。,KdV 方程描述弱非线性和弱色散现象，其一般形式为,（12-1-1）,其中第二项是非线性项，第三项是色散项， 为色散系数。KdV方程常用的形式还有,（12-1-2）,对式（12-1-1）作变换,即可得到式（12-1-2）。,（12-1-3）,12-1-2 sine-Gordon方程,sine-Gordon 方程简称SG方程。对处于外场中的一维原子链模型进行分析，可以导出这个方程
3、。SG 方程的一般形式为,（12-1-4）,其中 c0 和 f0 都是常数。,12-1-3 非线性薛定谔方程,非线性薛定谔（Non Linear Schrdinger）方程简称NLS 方程，它描写弱非线性和强色散现象，光纤中的光学孤立子即满足 NLS 方程。NLS 方程的一般形式为,（12-1-5）,其中 和 分别称为色散系数和朗道（Landau）系数。,12-2 行波法求解非线性微分方程,在无限空间，非线性偏微分方程,的形如,（12-2-1）,（12-2-2）,的解，称为方程的行波解。方程中的 P 为包括时间 t、空间 x 偏导数的微分算子，解中的 c 为常数，相当于波的传播速度。若当 时，
4、u() 0 或某一恒定值，则称这个行波解为孤波解。,12-2-1 KdV 方程的孤波解,将试探函数式（12-2-2）代入KdV方程（12-1-1），可将其化为常微分方程,式（12-2-3）两边对 积分一次，得,用 du/d 乘上式，有,（12-2-3）,上式对 积分，可得,其中 A、B 为积分常数。孤立波是一种局域稳定解，在无穷远处衰减为零，则应有边界条件,由式（12-2-5），有 A = 0，B = 0。于是式（12-2-4）可写为,（12-2-4）,（12-2-5）,由此有,令,则有,（12-2-6）,对式（12-2-6）取“+”号（取“”号并不影响最后结果），两边积分得,（12-2-7）
5、,由式（12-2-7）可得,（12-2-8）,（12-2-9）,以及,式（12-2-8）与式（12-2-9）相加，得,于是,（12-2-10）,式（12-2-10）表示右行波，其图像如图12-2-1所示。可以看出它在传播过程中保持形状不变，故被称为孤立波，或孤立子。,由式（12-2-10）可知，孤立波的传播速度为 c；孤立波的振幅为 3c，与波速成正比，因此幅度高的孤立波跑得快；孤立波的宽度为 。,图 12-2-1 孤立波,12-2-2 sine-Gordon方程的孤波解,将试探函数式（12-2-2）代入sine-Gordon方程(12-1-4)，得到常微分方程,（12-2-11）,分 c2
6、c02 和 c2 c02 。 此时，方程（12-2-11）成为,（12-2-12）,这里仅讨论当 时，u() 这样一种特殊情况。,式（12-2-12）各项乘以 du/d ，对 积分一次，得,（12-2-13）,其中 A 为积分常数。,由边界条件 时，u() ，且du/d = 0，于是有 A = 0 。这样，式（12-2-13）可写为,上式两边开方，有,积分得,亦即,（12-2-14）,式（12-2-14）给出了sine-Gordon方程的扭结孤子和反扭结孤子解，其图像是一种冲击波的形式。,图 12-2-2 扭结孤子与反扭结孤子,2） c2 c02 。此时方程（12-2-11）成为,（12-2-
7、15）,与上述情况类似地求解，可得,两边开方，有,上式积分，得,于是,比较式（12-2-14）与式（12-2-16），可知两者的图形相同，只是后者的曲线沿 u 轴向上平移距离 。因此，式（12-2-16）也是扭结孤子和反扭结孤子解。,（12-2-16）,12-2-3 非线性 Schrdinger 方程的孤波解,NLS 方程通常表征非线性的调制作用，所以常求它的包络波形式的解，即设其解为, (x-vgt) 即为包络波，其中 vg 为群速度。,将式（12-2-17）代入 NLS 方程（12-1-5），可得,（12-2-17）,（12-2-18）,通常要求 () 是实函数形式，故要求 d () /d
8、 前的复系数为零，即有,则式（12-2-18）简化为,（12-2-19）,（12-2-20）,记,上式两边同乘以d /d ，对 积分一次，得, () 作为孤立的包络波，应满足 时， () 0 和 d /d 0 ，因此有 C = 0。于是式（12-2-21）成为,（12-2-21）,（12-2-22）,若 0， 0，由式（12-2-22）可得,两边积分，利用积分公式,可得,从而有,如果 0， 0，则由式（12-2-22）可写出,（12-2-23）,利用积分公式,可得,将所求得的的表达式（12-2-23）或（12-2-24）代入式（12-2-17），就求得了 NLS 方程（12-1-5）的包络孤立
9、波解。例如，将式（12-2-23）代入式（12-2-17），得,（12-2-24）,（12-2-25）,可见，包络孤立波的振幅为,（12-2-26）,将式（12-2-26）代入式（12-2-20），可得非线性波的色散关系为,（12-2-27）,包络孤立波图像如图12-2-3所示。,图12-2-3 包络孤立波,12-3 逆散射法,逆散射法最早应用于 KdV 方程的求解：通过 Gardner、Greene、Kruskal 和 Miura 等人提出的变换（GGKM变换），建立起 KdV 方程与 Schrdinger 方程之间的联系，利用量子力学中的逆散射法去求解 KdV 方程的初值问题。逆散射法求解
10、其它非线性微分方程涉及较深的数学理论，这里仅以 KdV 方程为例，说明该方法的要点。,12-3-1 GGKM 变换,为方便起见，采用以下形式的 KdV 方程,对方程（12-3-1）作 GGKM 变换,（12-3-1）,变换式（12-3-2）实际上可看作是量子力学中定态波函数 满足的 Schrdinger 方程,（12-3-2）,（12-3-3）,KdV 方程中的未知函数 u 相当于量子力学中的势能，(t) 则为本征值。,可见，通过 GGKM 变换建立起了KdV 方程与 Schrdinger 方程之间的联系。如果由 Schrdinger 方程（12-3-3）求出势能，就得到了 KdV 方程的解。
11、求势能可利用量子力学中的逆散射法。求解 Schrdinger 方程的本征值要求,（12-3-3）,故通常由逆散射法求得的是孤立子解。,12-3-2 量子力学中的散射问题,由式（12-3-4），当 x 时，方程（12-3-3）近似为,（12-3-5）,分两种情况讨论： 1） 0 。本征值 只能取有限个分立值，称为离散谱。,（12-3-6）,相应的本征函数渐近式为,其中常数 cn 由 n 满足归一化条件来确定。显然，n 表示的是束缚态。,2） 0 。此时本征值取连续值，称为连续谱。,（12-3-7）,（12-3-8）,相应的本征函数渐近式为,（12-3-9）,式（12-3-9）表示，振幅为 1 的
12、平面波 e-ikx 从 x = + 处入射，遇到势垒后，一部分 eikx 被反射回到 x = + ，另一部分 a(k)eikx 透过势垒传至处 x = -。透射系数 a(k) 和反射系数 b(k) 满足 a 2+ b 2 =1。上面诸式中的 、 cn、a(k)、b(k) 统一称为散射量。,这是非束缚态。,若已知势函数 u，求解 Schrdinger 方程（12-3-3），并要求方程的解满足无穷远处的渐近式（12-3-7）和（12-3-9），可求得散射量 、 cn、a(k)、b(k) 以及波函数。这是量子力学中的正散射问题。,反过来，由散射量 、 cn、a(k)、b(k) 去探知势函数 u，则是
13、逆散射问题。散射量和势函数之间的联系由 Gelfand-Levitan-Marchenko（GLM）理论给出，简述如下：,设Schrdinger方程（12-3-3）的解为,其中 K(x,y,t) 是待定函数，且规定 y x 时，K(x,y,t) = 0。可以证明，K(x,y,t) 满足 GLM 积分方程,（12-3-10）,（12-3-11）,积分方程的核 B 包含了离散谱和连续谱的共同贡献：,（12-3-12）,将式（12-3-10）代入式（12-3-3）整理，可得,（12-3-13）,12-3-3 逆散射法,由上述，逆散射法的关键在于求出问题的散射量，然后根据式（12-3-11）、（12-
14、3-12）求出，便可由式（12-3-13）求得 KdV 方程的解。下面具体说明如何应用逆散射法求解 KdV 方程的初值问题：,（12-3-14）,求解方程（12-3-14），分三步进行。,第一步：以给定的初值 u0(x) 作为势函数，解 Schrdinger方程的下述本征值问题,（12-3-15）,以获得初始散射量 0、 cn (0) 、a(k,0)、b(k,0)。这一步是正散射问题。,由量子力学的正散射方法，对于束缚态：,本征函数渐近式为,cn(0) 由下述归一化条件确定：,（12-3-16）,（12-3-17）,对于非束缚态：,（12-3-18）,本征函数的渐近式为,（12-3-19）,第
15、二步：由KdV方程确定散射量的演变规律，从而求得任意时刻的散射量 、 cn (t) 、a(k, t)、b(k, t)。,将 GGKM 变换式(12-3-2)代入 KdV 方程，经运算，并考虑到 x 时，、d/dx0，可以得到散射量的演变规律：,由上式及散射量的初值便可定出任意时刻的散射量。,(12-3-24),(12-3-26),(12-3-29),(12-3-30),第三步：利用经上两步骤所求得的散射量 cn (t) 、a(k, t)、b(k, t)，按GLM理论（式（12-3-11）（12-3-13），即可求解 Schrdinger 方程,的逆散射问题，得到势函数 u。如此求得的 u 就是
16、 KdV 方程初值问题（12-3-14）的解。,（12-3-24）,12-4 逆散射法求解KdV方程,本节用逆散射法求解 KdV 方程的孤立子解。纯粹的孤立子解是 b = 0 的状态，这样的势函数称为无反射势。在此情形下，式（12-3-12）简化为,（12-4-1）,亦即，在无反射势情形下，仅需考虑离散谱的贡献。,求解 KdV 方程的孤立子解即求解下列初值问题：,其中 U0 为常数。U0 取不同的值，方程（12-4-2）的解截然不同。可以证明，当 U0 满足 U0 = l (l+1) 时，反射系数 b = 0。而 U0 不满足这个条件时，反射系数则不为零，问题比较复杂。这里仅讨论无反射势情形。
17、,（12-4-2）,12-4-1 KdV方程的单孤立子解,设 U0 = 2，用逆散射法求解方程（12-4-2）。第一步，以初值 u0 = 2sech2x 作为势函数，解 Schrdinger 方程的本征值问题：,（12-4-3）,对于离散谱， =- kn2 (kn0，n = 1,2,N)。作变换,（12-4-4）,则问题（12-4-3）化为,（12-4-5）,这是连带 Legendre 方程的本征值问题，其本征值为,此时，kn 只能取一个值 k1=1，相应的本征函数也只有一个：,其中常数 A 由正交归一化条件确定：,x + 时的渐近式为,（12-4-6）,与式（12-3-17）比较，有,（12
18、-4-7）,第二步，确定任意时刻的散射量：,由式（12-3-26）和式（12-4-7），可得,（12-4-8）,第三步，解 GLM 积分方程，求 u(x,t)：,根据式（12-4-1）有,（12-4-9）,GLM 积分方程（12-3-11）化为,（12-4-10）,设 K(x, y, t) = I(x, t)e-y，代入方程（12-4-10），可得,故,将式（12-4-11）代入式（12-3-13），即可求得问题（12-4-2）当 U0 = 2 时的解,这就是 KdV 方程的单孤立子解。,（12-4-11）,（12-4-12）,12-4-2 KdV方程的双孤立子解,设 U0 = 6，求解方程（
19、12-4-2）。该问题的求解步骤与上一问题完全相同。 第一步，以初值 u0 = 6sech2x 作为势函数，解 Schrdinger 方程的本征值问题：,（12-4-13）,作式（12-4-4）的变换，则问题（12-4-13）化为连带Legendre 方程的本征值问题：,（12-4-14）,其本征值为,此时，kn 取两个值 k1=1 和 k2=2，相应的本征函数也有两个：,（12-4-15）,利用正交归一化条件，可确定两个常数：,x + 时,式（12-4-15）的渐近式为,由此可得,第二步，确定任意时刻的散射量： 由式（12-3-26）和式（12-4-17），有,（12-4-16）,（12-4
20、-17）,第三步，解 GLM 积分方程，求 u(x,t)：,根据式（12-4-1）有,GLM 积分方程化为,（12-4-19）,（12-4-20）,设 K(x, y, t) = I1(x, t)e-y + I2(x, t)e-2y ，代入上式可得,上两式分别乘以 e-x 和 e-2x，并引入,则式（12-4-21）化为,（12-4-21）,（12-4-22）,由此可求得,其中,因而,（12-4-23）,再由式（12-3-13），可求得问题（12-4-2）当 U0 = 6 时的解,（12-4-24）,这就是KdV方程的双孤立子解。双孤立子随时间演化的情况如图12-4-1所示。由图可见，两个孤立波同向行进，振幅较大、原来在后的孤立波逐渐赶上前面振幅较小的孤立波。两波相遇后各自保持原来的波形继续前进。这表明两个孤立波的相遇具有类似于物质粒子之间的碰撞的特性。,图12-4-1 双孤立子随时间的演化,第12章结束,
