1、X2检验法：X分布： 我们已知：正态离差： U= 假如我们用X2来表示U2, 则有： （） 如果有几个样本，则将几个样本的X2相加：（）2 () ()X2 21 + + nn()2 2,当样本的方差等于理论平均数时: (即: 2 = )() 则： X2 U 由此可知： X2分布是当样本的方差等于理论平均数时的一种特 殊形式的正态离差平方的分布 其分布是连续的，其值域的大小随着自由度的 增加 而增加。（即：项数越多，X2值越大）。 2、适合性检验： 例：已知：男女性别比例为：1：1。调查某地100名新生儿，得：男：58，女：42。问：该地区新生儿是否符合1：1比例？ 解：假设：H0:O-T=0(
2、符合1：1比例）。HA:O-T0(不符合1：1比例）。,已知：男：女1：1 则：,(A-T)2 (58-50)2 (42-50)2 X2 = T = 50 + 50 =2.56 查表：d f2-11 X0.05,1=3.8412.560.05 结论：接受HO,符合1：1比例。,由于X2分布是连续性的，而次数资料则是间断性的， 由间断性资料算得的X2值有偏大的趋势，尤其是d f1时， 必须作适当的矫正。 矫正的方法是：将各偏差的绝对值减去1/2。 公式改成： (|A-T|-1/2)2X2C= T,如果我们用：a表示第一组变量。b表示第二组变量。n表示实际观察总数。 则：上式中的：T=1/2n1/
3、2(a+b)na + b,(|A-T|-1/2)2 ( |a-T|-1/2)2 (|b-T|-1/2)2 X2C= T = 1/2n + n,2(|a-T|-1/2)2 + 2(|b-T|-1/2)2 = n （分子分母同乘以2）2|a-(1/2a+1/2b)|-1/22+2|b-(1/2a+1/2b)|-1/22 = n2|a-1/2a-1/2b|-1/22 + 2|b-1/2a-1/2b|-1/22 = n2|1/2a-1/2b|-1/22 + 2|1/2b-1/2a|-1/22 = n21/4|a-b|-12 +21/4|b-a|-12 = n(|a-b|-1)2 = n,所以： (|a
4、-b|-1)2X2C= n 一对基因 1：1分离,(|a-3b|-2)2 X2C= 3n 一对基因，完全显性。3:1分离。(|7a-9b|-7/8)2 X2C= 63n 两对基因，显性上位。9:7分离。(|a-15b|-8)2 X2C= 15n 两对基因，重复基因。15:1分离。(|a-2b|-3/2)2 X2C= 2n 一对基因，显性致死。2:1分离。|a-r a|-(r+1)/22 X2C= r n r:1分离。,两组以上资料（的d f2）的适合性检验： 例：孟德尔豌豆杂交试验：两对基因：9:3:3:1分离。黄、满 绿、皱 F1: 黄、满 F2: 黄、满(315):黄、皱(101):绿、满
5、(108):绿、皱(32),问：是否符合9:3:3:1的比例？ 解：HO:O-T=0(符合9:3:3:1的比例)HA:O-T0(不符合9:3:3:1的比例),因d f2，故不必矫正：2.252 (-3.25)2 3.752 (-2.75)2 X2= 312.75 + 104.25 + 104.25 + 34.75 = 0.4695 查表：d f4-13 X20.05,3=7.810.46950.05 结论：接受HO,符合9:3:3:1的比例。,X2的正态分布检验： 例：调查1000粒某植物种子的重量，单位：克。数据已经列 成下表。 问：这次调查的数据是否符合正态分布？,解：X=OiVi=427
6、0X2= OiVi2=21296X =X/n=4270/1000=4.27S2= (X2- (X)2/n)/(n-1)=21296-42702/1000/999=3.066167S=3.066167=1.75105 假设：H0：O-T=0 (符合正态分布)HA：O-T0 (不符合正态分布),查表：X27,0.05=14.067, 29.25414.067, P0.05 结论：拒绝H0,该分布不符合正态分布。 注意：由实际数转换成理论概率增加一次自由度，再由理论概率转换成理论数又增加一次自由度，故df=10-1-2=7。,3、独立性检验次数资料的相关分析。 例如： 一组变量( 射线剂量) 另一组
7、变量(死亡率)1 a12 a23 a3 若：两组变量相互独立， 则表明：无关。无效果。两组变量相互不独立，则表明：有关。有效果。,1)、22表格： 例：CO60-射线辐照引起水稻死亡率的效果分析：,假设：HO:两事件独立。即：种子照否这一事件与水稻活否这一事件毫无关系。（也就是说：照射无作用，无效假说。）HA:两事件非独立。（有关、有效、有作用。） 如果把：存活的总数（130） 死亡的总数（70）对照的总数（75） 辐照的总数（125） 都看作是事件出现的频率次数，而200则是试验的总次数。,如果辐照与否同存活与否这两个事件互为独立事件，则： 两独立事件同时出现的概率等于两事件概率之积： 故：
8、存活、对照的频率：13075/20048.75死亡、对照的频率：7075/200 26.25存活、辐照的频率：130125/20081.25死亡、辐照的频率：70125/20043.75,(7.25-0.5)2 (-7.25-0.5)2 (-7.25 -0.5)2 (7.25-0.5)2 X2C= 48.75 + 26.25 + 81.25 + 43.75 =4.38,查表：d f=(C-1)(r-1)=(2-1)(2-1)=1 X20.05,1=3.844.383.84 P0.05 结论：否定HO,接受HA。表明射线辐照对水稻的存活有显著的作用。,22表格的X2独立性检验的通式：a11 a1
9、2 R1a21 a22 R2C1 C2 n,2)、2C表格： 例：水稻在三种密度下纹枯病的发病情况：,同理：1510病株：200121/600=40.331510健株：200479/600=159.6769病株： 200121/600=40.3369健株： 200497/600=159.678.56病株： 200121/600=40.338.56健株：200497/600=159.67,(-14.33)2 14.332 (-13.67)2 X2= 40.33 + 159.67 + 159.67 =12.193 d f =(c-1)(r-1)=(2-1)(3-1)=2 查表：X20.05,2=5
10、.9912.1935.99 P0.05 结论：否定HO,接受HA。不同种植密度与纹枯病发病情况显著相关。即：不同密度下的纹枯病发病情况有显著差别。,2C表格通式：1 2 3 c 1 a11 a12 a13 a1c R1 2 a21 a22 a23 a2c R2 C1 C2 C3 Cc n,上例代入公式：6002 262 412 542 1212 X2= 121479 ( 200 + 200 + 200 - 600 )=12.195,r c表格： 例：不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查：,解：H0:O-T=0 (水稻叶片衰老情况与灌溉方式无关。)HA:O-T0 (水稻叶片衰老情况与灌溉方式有关
11、。)(146-140.69)2 (16-11.98)2 X2= 140.69 + + 11.98 = 5.62 查表：d f =(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4X20.05,4=9.495.620.05 结论：接受H0,水稻叶片衰老情况与灌溉方式无关。即：不同的灌溉方式对水稻叶片衰老情况没有显著的影响。,RC表格通式：1 2 3 c 1 a11 a12 a13 a1c R1 2 a21 a22 a23 a2c R2 3 a31 a32 a33 a3c R3 r ar1 ar2 ar3 arc Rr C1 C2 C3 Cc n,上例代入公式：1462 72 162 X2=547(1
12、60481+16030 +18236)-1=5.63,4)、几个样本方差的X2同质性检验：（齐性检验） 我们已知：X2=U2=(X-)2/2 多个样本，则：X2=U12+U22+Ui2=Ui2,几个样本方差同质的X2检验： 我们已知：若有k个样本，则：各样本的独立方差为：S12=(X1-X1)2/df1 S22=(X2-X2)2/df2 S32=(X3-X3)2/df3Sk2=(XkXk）2/dfk 式中的分子我们称之为“离差平方和”。(X-X)2分母我们称之为“自由度”。 d f=n-1 那么：k个样本的合并方差是多少呢？ 方法是：将k个样本的平方和累加除以k个样本的自由度累加。 即：合并方
13、差：(X1-X1)2 +(X2-X2)2 +(Xk-Xk)2 Sp2 = df1 + df2 + +dfk=(df1s12+df2s22+dfksk2)/(df1+df2+dfk)=dfisi2/dfi 因为:(X-X)2=dfS2,式中：2.3026是 l n log的转换值。,例：三个同学用同一种培养基培养细菌，得如下结果： （菌落数/皿）甲做5皿 n5 df14 S12=4.2乙做6皿 n6 df25 S22=6.0丙做12皿 n12 df311 S32=3.1 问：三个同学所做的实验方差的来源是否同质？ 解：H0:方差同质。HA:方差不同质。,Sp21/i S i=1/2180.94.
14、045 ilnSp220ln4.045=201.39748=27.94960 C = 1+1/3(3-1) (1/4+1/5+1/11-1/20)=1.0818 X2=1/1.0818(27.94960-27.14452)=0.744,查表：=d f = k-1= 3-1= 2 X22;0.05=5.9910.7440.05 结论：接受H0，方差同质。即三个同学所做实验的方差原因是相同的。 若采用常用对数计算： ilogSp220log4.045200.60691912.13837 X2=2.3026/1.0818(12.13837-11.78871)=0.744 和上面的结果完全一致。4、附：X2的概率度分析。当22联列表中任何一格的理论数小于5时，X2检验会 有偏岐，这时应采用更精确的方法-概率度分析去直接 估计事件发生的概率。设：N=9的22联列表，则可能发生的事件有四种情况：,由此可知， 概率度分析比 X2独立性分析 更灵敏，更有 效特别是当样 本容量很小时 （n10），这 种差别更加明 显。,
