1、第二章 习题课 2 简单的递推数列及应用自主学习知识梳理在实际考查中常常涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题1累加法：a n1 a nf(n) (f (n)可求和)ana 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )a 1f(1)f(2)f(n1)2累乘法：a n1 a nf(n) (f(n)为含 n 的代数式)ana 1 a 1f(1)f(2)f(n1)a2a1a3a2 anan 13转化法：a n1 pa nq (pq 0，p1)方法一 设 an1 xp( anx)，则 an1 pa n(1 p)x(1p) xq，x .q1 pa n pn1q1 p (a1 q1 p)a n
2、pn1 .(a1 q1 p) q1 p方法二 a n1 pa nq，a npa n1 qa n1 a np(a na n1 )p n1 (a2a 1)转化为迭加法求解4S n与 an的混合关系式有两个思路：(1)消去 Sn，转化为 an的递推关系式，再求 an；(2)消去 an，转化为 Sn的递推关系式，求出 Sn后，再求 an.自主探究1试写出用累加法推导等差数列通项公式的过程2试写出用累乘法推导等比数列通项公式的过程对点讲练知识点一 累加法与累乘法求通项例 1 已知：a 12，a n1 a n(2 n1)，求 an.变式训练 1 已知：a 11，a n1 2 nan，求 an.知识点二 化
3、为基本数列求通项例 2 已知：a 11，a n1 2a n3，求 an.变式训练 2 设数列a n满足：a 11，a 2 ，a n2 an 1 an (n1,2，) 令53 53 23bna n1 a n.(1)求证：数列b n是等比数列，并求 bn；(2)求数列a n的通项公式知识点三 已知 an与 Sn的混合关系式，求 an.例 3 已知a n是各项为正的数列，且 Sn .求 an与 Sn.12(an 1an)变式训练 3 设数列a n的前 n 项和为 Sn，若对任意的 n N*，都有 Sn2a n3n.(1)求数列a n的首项 a1 及递推关系式 an1 f(a n)；(2)求通项公式
4、an.1近几年高考常以递推公式为依托， 设计出一些新颖灵活、难度适中、富有时代气息的试题在学习时对递推公式及其 应用应给予适当的重视2递推公式是表示数列的一种重要方法由一些 简单的递 推公式可以求得数列的通项公式本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法 . 课时作业一、选择题1数列a n满足 an1 a nn，且 a11，则 a5 的值为( )A9 B10 C11 D122已知数列a n的通项公式是 an ，其前 n 项和 Sn ，则项数 n 等于( )2n 12n 32164A13 B10 C9 D63在数列a n中，a 11，a n1 a n2n1，则 an的表
5、达式为 ( )A3n2 Bn 22n2 C3 n1 D4n34数列a n中，a 32，a 71，且数列 是等差数列，则 a11 的值为( )1an 1A1 B. C. D.12 13 145已知数列a n中，a 11，a 23，a na n1 a n2 (n3)那么 S2 011 的值是( )A1 B2 C3 D4题 号 1 2 3 4 5答 案二、填空题6数列a n中，a 11，a n1 ana (1) n1 (nN *)，则 _.2na4a27已知数列a n满足 a11，a n1 an，则 an_.nn 18在数列a n中，a n1 ，对所有正整数 n 都成立，且 a7 ，则 a5_.2a
6、n2 an 12三、解答题9已知 Sn4a n ，求 an与 Sn.12n 210某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到 2002 年底全地区的绿化率已达到 30%，从 2003 年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的 16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的 4%又被侵蚀，变为沙漠(1)设全区面积为 1,2002 年底绿洲面积为 a1 ，经过 1 年( 指 2003 年底)绿洲面积为310a2，经过 n 年绿洲面积为 an1 ，求证：数列a n 为等比数列；45(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过 60%(年数取正整数)习题课 2 简单的递推数列及应
7、用自主探究1解 a n1 a ndError! n1 个式子相加得：ana 1(n1)d，a na 1(n1)d.或 ana 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )a 1(n1) d.2解 q (q0)，an 1anError! n1 个式子相乘得：q n1 ，a na 1qn1 或 ana 1 a 1qn1 .ana1 a2a1a3a2 anan 1对点讲练例 1 解 a na 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )235(2n1)135(2n1) 1n 21.变式训练 1 解 a n a12 n1 2n2 2112 123(n1) 2anan 1an 1an
8、 2 a2a1.nn 12例 2 解 方法一 a 11，a 25， a2a 14.an1 a n2(a na n1 )2 n1 (a2a 1)2 n1a na 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )12 22 32 n2 12 22 n12 n1 3.方法二 设 an1 x2( anx)，则 an1 2a nx.x3，a n 132( an3)a n3(a 13)2 n1 2 n1 ，a n2 n1 3.变式训练 2 (1)证明 b n1 a n2 a n1 a n1 (an1 a n) bn(53an 1 23an) 23 23 (n1,2,3，)bn 1bn 23b n是等
9、比数列，公比 q ，首项 b1a 2a 1 .23 23b n n.(23)(2)解 a n1 a n n.(23)a na 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )1b 1b 2b n11 2 n1(23) (23) (23)3 .1 (23)n例 3 解 S n ，2S na n ，12(an 1an) 1an2S nS nS n1 ，1Sn Sn 1S nS n1 ，S S 1，1Sn Sn 1 2n 2n 1S 是一个等差数列，公差为 1，首项为 S ，2n 21易求得 S 1.21S 1(n1)1n.S n ，2n na n .n n 1变式训练 3 解 (1)a 1S
10、 12a 13，a 13.S n2a n3n，S n1 2a n 13(n1)S n1 S n2a n1 2a n3.a n1 2a n1 2a n3，a n1 2a n3.(2)a n1 2a n3， a n1 32(a n3) a n3是等比数列，公比为 2，首项为 a136.a n3(a 13)2 n1 62 n1 32 n，a n32 n3.课时作业1C a 5a 44a 334a 2234a 1123411.2D a n 1 ，2n 12n 12nS nn n1 ，(12 122 12n) 12n又S n 5 ，n1 5 ，32164 164 12n 164n6.3B a na 1(
11、a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )1135(2n3)1(n 1) 2n 22n2.4B 设数列 的公差为 d，1an 1则 4d，1a7 1 1a3 1 4d，d ， 4d，12 13 124 1a11 1 1a7 1 ，a 11 1 ，1a11 1 12 16 23 32a 11 .125A a n1 a na n1 (a n1 a n2 )a n1 ，a n1 a n2 ，a n3 a n.a n6 a n3 (a n)a n.a n是周期数列且 T6.a 1a 2a 3a 4a 5a 6(a 1a 4)(a 2a 5)(a 3a 6)0，S 2 0100，S 2 011S
12、 2 010a 2 011a 2 011a 11.6.1312解析 a 22，a 3 ， .32a4a2 a4a3a2a3 a23 1a2 1 13127.1n解析 由 得： ，an 1an nn 1 a2a1a3a2a4a3 anan 1 12 23 34 n 1n 1n ，an 或(n1)a n1 nan2a 2a 11，a n .ana1 1n 1n 1n81解析 a n1 ，2an2 an .1an 1 1an 12 是等差数列且公差 d .1an 12 2d 12， a51.1a7 1a5 1a59解 S n4a n ，S n1 4a n1 12n 2 12n 3S nS n1 a
13、na n1 a n 12n 3 12n 2a n an1 n1 ， 2.12 (12) an(12)n an 1(12)n 12 nan2 n1 an1 2.2 nan是等差数列， d2，首项为 2a1.a 1S 14a 1 2a 1，a 11.12 12 nan22(n1)2n，a nn n1 .(12)S n4a n 4n 4 .12n 2 12n 1 12n 2 n 22n 110(1)证明 因为 2002 年底绿洲面积为 a1 ，310所以 2002 年底的沙漠面积为 1a 1 ，710经过 n1 年后绿洲面积为 an，沙漠面 积为 1a n，由题意得，再过一年，即经过 n 年后，绿洲面积为 an1 (1a n)16%a n(14%)，即 an1 an .45 425所以 an1 (an )45 45 45又因为 a1 ，45 310 45 12所以数列a n 是以 为公比， 为首项的等比数列45 45 12(2)解 由(1)知，an n1 ，所以 an n1 ，45 ( 12) (45) 45 12(45)设经过 n 年的努力可使全区的绿洲面积超过 60%，即 an1 60%.所以 n ，所以 n .(45) 25当 n5 时， 5 ，(45) 1 0243 12525故至少需要 5 年的努力，全区的 绿洲面积超过 60%.
