1、20 25第十七章 反比例函数1711 反比例函数的意义一、教学目标1使学生理解并掌握反比例函数的概念2能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想二、重、难点1重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2难点：理解反比例函数的概念3难点的突破方法：（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第 11 章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式 ，等号左边是函数 y，等号xky右边是一个分式，自变量
2、 x 在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为 0 的常数 k；看自变量 x的取值范围，由于 x 在分母上，故取 x0 的一切实数；看函数 y 的取值范围，因为 k0，且 x0，所以函数值 y 也不可能为 0。讲解时可对照正比例函数 ykx（k0） ，比较二者解析式的相同点和不同点。（3） （k0）还可以写成 （k0）或 xyk（k0）的形式x1y三、例题的意图分析教材第 46 页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求
3、反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。补充例 1、例 2 都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例 3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。四、课堂引入1回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？五、例习题分析例 1见教材 P47分析：因为 y 是 x 的反比例函数
4、，所以先设 ，再把 x2 和 y6 代入上式求出常ky数 k，即利用了待定系数法确定函数解析式。例 1 （补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1） （2） （3）xy21 （4） （5）3x2xyx23（6） （7）yx4y20 25分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 （k 为常数，k0）xy的形式，这里（1） 、 （7）是整式， （4）的分母不是只单独含 x， （6）改写后是 ，xy31分子不是常数，只有（2） 、 （3） 、 （5）能写成定义的形式例 2 （补充）当 m 取什么值时，函数 是反比例函数？23)(my分析：反比例函数 （k0）的另一种表达式是 （k0） ，后
5、一种写法中xy1xyx 的次数是1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即 m20 且 3m 21，特别注意不要遗漏 k0 这一条件，也要防止出现 3m 21 的错误。解得 m2例 3 （补充）已知函数 yy 1y 2，y 1 与 x 成正比例，y 2 与 x 成反比例，且当 x1 时，y4；当 x2 时，y5（1） 求 y 与 x 的函数关系式（2） 当 x2 时，求函数 y 的值分析：此题函数 y 是由 y1 和 y2 两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出 y1、 y2 与 x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意 y1 与 x 和 y
6、2 与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为 k，要用不同的字母表示。略解：设 y1k 1x（k 10） ， （k 20） ，则 ，代入数值求得 k12，2xky21k22，则 ，当 x2 时，y5六、随堂练习1苹果每千克 x 元，花 10 元钱可买 y 千克的苹果，则 y 与 x 之间的函数关系式为 2若函数 是反比例函数，则 m 的取值是 28)3(my3矩形的面积为 4，一条边的长为 x，另一条边的长为 y，则 y 与 x 的函数解析式为 4已知 y 与 x 成反比例，且当 x2 时，y3，则 y 与 x 之间的函数关系式是 ，当 x3 时，y 5函数 中自变量 x 的取值
7、范围是 21七、课后练习已知函数 yy 1y 2，y 1 与 x1 成正比例，y 2 与 x 成反比例，且当 x1 时，y0；当x4 时，y9，求当 x1 时 y 的值答案：y41712 反比例函数的图象和性质（1）一、教学目标1会用描点法画反比例函数的图象20 252结合图象分析并掌握反比例函数的性质3体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法二、重点、难点1重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质2难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质3难点的突破方法：画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数 （
8、k0）自变量的取值范围是 x0，所以取xy值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数 ykx（k0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数 k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出 k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。三、例题的意图分析教材第 48 页的例 2 是让学生经历用描点
9、法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。补充例 1 的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。补充例 2 是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式 （ k0）中 的几何意义。xy四、课堂引入提出问题：1一次函数 ykxb（k、b 是常数，k0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数 ykx（k0）呢？2画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意
10、什么？3反比例函数的图象是什么样呢?五、例习题分析例 2见教材 P48，用描点法画图，注意强调：（1）列表取值时，x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求 y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴例 1 （补充）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求 m 值，并指32)
11、1(mx出在每个象限内 y 随 x 的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即 （k0）自变量 x 的1xy指数是1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k0，则 m10，20 25不要忽视这个条件略解： 是反比例函数 m 231，且 m1032)1(mxy又图象在第二、四象限 m 10解得 且 m1 则2例 2 （补充）如图，过反比例函数 （x0）的图y象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、 D，连接 OA、OB，设AOC 和 BOD 的面积分别是 S1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A）S 1S 2 （B）S 1S 2 （C）
12、S 1S 2 （D）大小关系不能确定分析：从反比例函数 （k0）的图象上任一点 Pxy（x，y）向 x 轴、y 轴作垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积 ，由此可得 S1kxySS 2 ，故选 B1六、随堂练习1已知反比例函数 ，分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围xky3（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大2函数 yaxa 与 （a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）y3在平面直角坐标系内，过反比例函数 （k0）的图象上的一点分别作 x 轴、yxy轴的垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积是 6，则函数解析式为 七、课后练习1若函数 与 的
13、图象交于第一、三象限，则 m 的取值范围是 m)12(xy32反比例函数 ，当 x2 时，y ；当 x2 时；y 的取值范围是 y； 当 x2 时；y 的取值范围是 20 253 已知反比例函数 yax()26，当 0时，y 随 x 的增大而增大，求函数关系式答案：3 a5,1712 反比例函数的图象和性质（2）一、教学目标1使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法二、重点、难点1重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题2难点：学会从图象上分析、
14、解决问题3难点的突破方法：在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。三、例题的意图分析教材第 51 页的例 3 一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。教材第 52 页的例 4 是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数
15、值 y 随 x 的变化情况，此过程是由“形”到“数” ，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。补充例 1 目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。补充例 2 是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。四、课堂引入复习上节课所学的内容1什么是反比例函数？2反比例函数的图象是什么？有什么性质？五、例习题分析例 3见教材 P51分析：反比例函数 的图象位置及 y 随 x 的变化情况取决于常数 k 的符号，因此要xky先求常数 k，而
16、题中已知图象经过点 A（2，6） ，即表明把 A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出 k，这样解析式也就确定了。例 4见教材 P52 例 1 （补充）若点 A（2， a） 、B（1，b） 、C （3，c）在反比例函数 （k0）xy图象上，则 a、 b、c 的大小关系怎样？分析：由 k0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，因为 A、B 在第二象限，且12，故 ba0；又 C 在第四象限，则 c0，所以20 25ba0c说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数 y 随 x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内” ，否则，笼统
17、说 k0 时 y 随 x 的增大而增大，就会误认为 3 最大，则 c 最大，出现错误。此题还可以画草图，比较 a、b、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。例 2 （补充）如图， 一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 的图象交于 Axm（2，1） 、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围分析：因为 A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式 ，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求xy出 n 的值，最后再由 A、B 两点坐标求出一次函数解析式 yx1，第（2）问根据图象可得 x 的取
18、值范围 x2 或 0x1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。六、随堂练习1若直线 ykxb 经过第一、二、四象限，则函数 的图象在（ ）xkby（A）第一、三象限 （B）第二、四象限 （C）第三、四象限 （D）第一、二象限2已知点（1，y 1） 、 （2，y 2） 、 （，y 3）在双曲线 上，则下列关系式正xky12确的是（ ）（A）y 1y 2y 3 （B）y 1y 3y 2 （C）y 2y 1y 3 （D）y 3y 1y 2七、课后练习1已知反比例函数 的图象在每个象限内函数值 y 随自变量 x 的增大而减小xk2，且 k 的值还满足 2k
19、1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式)(92已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 A、B 两点，且点bky x8A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2 ， 求（1）一次函数的解析式；（2）AOB 的面积答案：1 或 或xy3xy52 （1）yx2， （2）面积为 6172 实际问题与反比例函数（1）20 25一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式3难点的突破方法：用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量
20、关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式） ，这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。三、例题的意图分析教材第 57 页的例 1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。教材第 58 页的例 2 是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例 1 稍复杂
21、些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题四、课堂引入寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？五、例习题分析例 1见教材第 57 页分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为 104，底面积是 S，深度为 d，满足基本公式：圆柱的体积 底面积高，由题意知 S 是函数，d 是自变量，改写后所得
22、的函数关系式是反比例函数的形式， （2）问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值， （3）问则是与（2）相反例 2见教材第 58 页分析：此题类似应用题中的“工程问题” ，关系式为工作总量工作速度工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度 v 和时间 t，因此具有反比关系， （2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量 t 取最大值时，函数值 v 取最小值是多少？例 1 （补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（千帕）是气体体积 V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是
23、 0.8 立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：题中已知变量 P 与 V 是反比例函数关系，并且图象经过点 A，利用待定系数法可以求出 P 与 V 的解析式，得 ， （3）问中当 P 大于 144 千帕时，气球会爆炸，即当 P9620 25不超过 144 千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随 V 的增大而减小，可先求出气压 P144 千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于 立方米32六、随堂练习1京沈高速公路全长 658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行
24、完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为 2完成某项任务可获得 500 元报酬，考虑由 x 人完成这项任务，试写出人均报酬 y（元）与人数 x（人）之间的函数关系式 3一定质量的氧气，它的密度 （kg/m 3）是它的体积 V（m 3）的反比例函数，当 V10 时， 1.43， （1）求 与 V 的函数关系式；（2）求当 V2 时氧气的密度 答案： ，当 V2 时， 7.15.4七、课后练习1小林家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v（米/分） ，所需时间为 t（分）（1）则速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到
25、单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位？答案： ，v240，t12t3602学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期（按 150 天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天（1）则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象（3）若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？172 实际问题与反比例函数（2）一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反
26、比例函数这一数学模型二、重点、难点1重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题3难点的突破方法：本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。三、例题的意图分析教材第 58 页的例 3 和例 4 都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关
27、的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识20 25补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力四、课堂引入1小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？2台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？五、例习题分析例 3见教材
28、第 58 页分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力 F 是自变量动力臂 的反比例l函数，当 1.5 时，代入解析式中求 F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质， 越大 Fl越小，先求出当 F200 时，其相应的 值的大小，从而得出结果。l例 4见教材第 59 页分析：根据物理公式 PRU 2，当电压 U 一定时，输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数，则 ， （2）问中是已知自变量 R 的取值范围，即 110R 220，求函数 P 的取值范RP0围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得 220
29、P440例 1（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与 x 成反比例(如图)，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式为 ,自变量 x 的取值范为 ；药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为 .(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，员工才能回到办公室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药
30、量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数 y 是 x 的正比例函数，设 ，将点（8xky1，6）代人解析式，求得 ，自变量 0x8；药物燃烧后，由图象看出 y 是 x 的反比xy43例函数，设 ，用待定系数法求得xky2 4（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量 y1.6 代入 ，求出 x30，根据反比例函数的图象与性20 25质知药含量 y 随时间 x 的增大而减小，求得时间至少要 30 分钟（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐
31、增加，当 y3 时，代入 中，得 x4，即当y3药物燃烧 4 分钟时，药含量达到 3 毫克；药物燃烧后，药含量由最高 6 毫克逐渐减少，其间还能达到 3 毫克，所以当 y3 时，代入 ，得 x16，持续时间为 1641210，因48此消毒有效六、随堂练习1某厂现有 800 吨煤，这些煤能烧的天数 y 与平均每天烧的吨数 x 之间的函数关系是（ ）（A） （x0） （B） （x0）y33（C）y300x（x0） （D）y300x（x0）2已知甲、乙两地相 s（千米） ，汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为 a（升） ，那么从甲地到乙地汽车的总耗油量 y（升）与汽车的行驶速度 v（千米/时）的函数图象大致是（ ）3你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y（m）是面条的粗细（横截面积） S（mm 2）的反比例函数，其图象如图所示：（1）写出 y 与 S 的函数关系式；（2）求当面条粗 1.6mm2 时，面条的总长度是多少米？七课后练习一场暴雨过后，一洼地存雨水 20 米 3，如果将雨水全部排完需 t 分钟，排水量为 a 米 3/分，且排水时间为 510 分钟（1）试写出 t 与 a 的函数关系式，并指出 a 的取值范围；（2）请画出函数图象（3）根据图象回答：当排水量为 3 米 3/分时，排水的时间需要多长？
