1、1专题限时集训(十) 圆锥曲线中的综合问题(建议用时：60 分钟)1(2018北京模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且过点 .x2a2 y2b2 22 (1， 22)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点的直线 l1与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数若直线 l2与椭圆交于 E， F 两点且均不与点 A， B 重合，设直线 AE与 x 轴所成的锐角为 1，直线 BF 与 x 轴所成的锐角为 2，判断 1与 2的大小关系并加以证明解 (1)由题可得Error!解得Error!.所以椭圆 C 的方程为 y21.x22(2
2、)结论： 1 2，理由如下：由题知直线 l1斜率存在，设 l1： y k(x1)， A(x1， y1)， B(x2， y2)联立Error! ，消去 y 得(12 k2)x24 k2x2 k220，由题易知 0 恒成立，由根与系数的关系得 x1 x2 ， x1x2 ，4k21 2k2 2k2 21 2k2因为 l2与 l1斜率相反且过原点，设 l2： y kx， E(x3， y3)， F(x4， y4)，联立Error!消去 y 得(12 k2)x220，由题易知 0 恒成立，由根与系数的关系得 x3 x40， x3x4 ， 21 2k2因为 E， F 两点不与 A， B 重合，所以直线 AE
3、， BF 存在斜率 kAE， kBF，则 kAE kBF2 k x1 x3 1 x2 x3 x2 x3 1 x1 x3 x1 x3 x2 x3 k2x1x2 2x23 x1 x2 x1 x3 x2 x3 k 0，2 2k2 21 2k2 221 2k2 4k21 2k2 x1 x3 x2 x3所以直线 AE， BF 的倾斜角互补，所以 1 2.2(2018枣庄模拟)已知抛物线 C： y22 px(0b0)的离心率与双曲线x2a2 y2b2 1 的离心率互为倒数，且过点 P .x24 y212 (1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 P 作两条直线 l1， l2与圆( x1) 2 y2
4、 r2(0 r )相切且分别交椭圆于 M、 N324两点求证：直线 MN 的斜率为定值；求 MON 面积的最大值(其中 O 为坐标原点)解 (1)可得 e ，设椭圆的半焦距为 c，所以 a2 c，12因为 C 过点 P ，所以 1，又 c2 b2 a2，解得 a2， b ，所以椭圆(1，32) 1a2 94b2 3方程为 1.x24 y23(2)证明：显然两直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2， M(x1， y1)， N(x2， y2)，由于直线 l1， l2与圆( x1) 2 y2 r2(0 r )相切，则有 k1 k2，32直线 l1的方程为 y k1(x1)，联立方程组Err
5、or!32消去 y，得 x2(4k 3) k1(128 k1)x(32 k1)2120，21因为 P， M 为直线与椭圆的交点，所以 x11 ，k1 8k1 124k21 3同理，当 l2与椭圆相交时， x21 ，k1 8k1 124k21 3所以 x1 x2 ，而 y1 y2 k1(x1 x2)2 k1 ， 24k14k21 3 12k14k21 3所以直线 MN 的斜率 k .y1 y2x1 x2 12设直线 MN 的方程为 y x m，联立方程组Error!消去 y 得 x2 mx m230，12所以| MN| ，1 (12)2 m2 4 m2 3 152 4 m2原点 O 到直线的距离 d ，|2m|5 OMN 面积为 S 12 152 4 m2 |2m|5 ，32 m2 4 m2 32m2 4 m22 3当且仅当 m22 时取得等号经检验，存在 r(0 r )，使得过点 P 的两条直32 (1， 32)线与圆( x1) 2 y2 r2相切，且与椭圆有两个交点 M， N.所以 OMN 面积的最大值为 .3
