1、小题对点练( 七) 立体几何(建议用时：40 分钟)(对应学生用书第 119 页)一、选择题1(2017全国卷 )在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则( )AA 1EDC 1 BA 1EBDCA 1EBC 1 DA 1EACC 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E ，(0，12，0) ， (0,1,1)， (1， 1,0)， (1,0,1)，A1E ( 1，12， 1) DC1 BD BC1 (1,1,0) ，AC 0， 0，
2、0， 0，A 1EBC 1.A1E DC1 A1E BD A1E BC1 A1E AC 故选 C.2已知 a，b 为异面直线，下列结论不正确的是( )A必存在平面 使得 a ，bB必存在平面 使得 a， b 与 所成角相等C必存在平面 使得 a ，bD必存在平面 使得 a，b 与 的距离相等C 由 a，b 为异面直线知，在 A 项中，在空间中任取一点 O，过点 O 分别作 a，b 的平行线，则由过点 O 的 a，b 的平行线确定一个平面 ，使得a，b，故 A 项正确； B 项中，平移 b 至 b与 a 相交，因而确定一个平面 ，在 上作 a，b夹角的平分线，明显可以做出两条过角平分线且与平面
3、垂直的平面使得 a， b与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故 B 项正确；在 C 项中，当 a，b 不垂直时，不存在平面 使得 a，b ，故 C 项错误；在 D 项中，过异面直线 a，b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面 ，则平面 使得 a，b 与 的距离相等，故 D 项正确故选 C.3一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是 ，(1，0，12)(1,1,0)， ，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以 yOz 平面为投影(0，12，1)面，则得到的正视图可以为( )A B C DA 由图可得，选 A.4如图 3 是一个几何体的三视图，则该
4、几何体的体积为( )图 3A2 B43 3C. D.233 433A 由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示，其中，底面为直角三角形，AD2，AF ，高为 AB2.3该几何体的体积为 V 2 22 ，故选 A.12 3 35若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为( )A60 B90C120 D180D 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得 2r R，2r ，n2r180解得 n180.6(2016全国卷 )如图 4 所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图 4A1836 B
5、54185 5C90 D81B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 )525418 .故选 B.57我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 d ，人们还用过一些类似的近似3163V公式，根据 3.141 59 判断，下列近似公式中最精确的一个是 ( )Ad Bd36031V 32VCd Dd3158V 32111VD 根据球的体积公式 V R3 ，得 d ，设选项中的常数为 ，43 4
6、3(d2)3 36V ab则 ，选项 A 代入得 3.1，选项 B 代入得 3，选项 C 代6ba 31660 62入得 3.2，选项 D 代入得 3.142 857，D 选项更接近 6815 11621的真实值，故选 D.8在梯形 ABCD 中，ABC ，ADBC，BC 2AD2AB 2.将梯形2ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D223 43 53C 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE
7、 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，则该几何体的体积为 VV 圆柱 V 圆锥AB 2BC CE2DE1 22 121 ，故选 C.13 13 539.如图 5，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D是侧面 BB1C1C 的中点，则 AD 与平面 ABC 所成角的大小是( )图 5A30 B45C60 D90A 取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 DE平面 ABC，DAE 为 AD 与平面 ABC 所成的角，设三棱柱的棱长为 1，则 AE ，DE ，32 12tanDAE ，DEAE 33DAE30.故选 A.10在三棱锥 SABC 中，SBBC
8、 ，SAAC，SB BC，SAAC，AB SC，且三棱锥 SABC 的体积为22，则该三棱锥的外接球的表面积为( )83A4 B16 C36 D72B 设 SC 的中点为 D，连接 BD，AD(图略)，设 BCa，则BDAD a，AB a，22因为 SBBC，所以 BDSC，同理 ADSC，所以 SC平面 ABD，所以 VSABCV SABDV CABD a2 ，所以13 (1222a22a) 22 83a2 .2因为 DADBDC DS2，所以点 D 就是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径为 2，所以外接球的表面积为 42216. 故选 B.11如图 6，已知六棱锥 PABCDEF
9、的底面是正六边形， PA平面ABC， PA2 AB，则下列结论正确的是 ( )图 6APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45D 若 PBAD，则 ADAB，但 AD 与 AB 成 60角，A 项错误；平面PAB 与平面 ABD 垂直，所以平面 PAB 一定不与平面 PBC 垂直，B 项错误；BC与 AE 是相交直线，所以 BC 一定不与平面 PAE 平行，C 项错误；直线 PD 与平面 ABC 所成角为PDA ，在 RtPAD 中，AD PA，所以PDA45，D 项正确12.如图 7 所示，正方形 ABCD 的边长为 2，切去阴
10、影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为( )图 7A(1,2) B(1,2C(0,2 D(0,2)D 设三棱锥一个侧面为三角形 APQ，APQ x ，则AH PQtan x PQ，PQ ，AH12 AC PQ2 22 PQ2 2 12 221 tan x，2tan x1 tan xS4 PQAH2PQAH122 ，221 tan x 2tan x1 tan x 8tan x1 tan x2x ，4，2)S 8tan x1 tan x2 8tan x1 tan2 x 2tan x 2，81tan x tan x 2 82 2(当且仅当 tan x1，即 x 时取等号)，4而 tan
11、 x0，故 S0，S2 时，三角形 APQ 是等腰直角三角形，顶角 PAQ90，阴影部分不存在，折叠后 A 与 O 重合，构不成棱锥，S 的范围为(0,2) ，故选 D.二、填空题13(2017天津高考 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_ 设正方体的棱长为 a，92则 6a218，a .3设球的半径为 R，则由题意知 2R 3，a2 a2 a2R .32故球的体积 V R3 .43 43 (32)3 9214.如图 8，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD
12、，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的命题序号是 _图 8平面 ABD 平面 ABC； 平面 ADC平面 BDC；平面 ABC平面 BDC；平面 ADC平面 ABC. 因为在四边形 ABCD 中，ADBC，AD AB ，BCD45 ，BAD90，所以 BDCD，又平面 ABD 平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD 平面BCD，所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，则 CD AB，又 AD AB，ADCDD，所以 AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC.15(2018全国卷 )已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成
13、角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为78 15_40 如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接2AS， SS.SAB 的面积为 SASBsinASB SA2 SA25 ，SA 280，SA12 12 1 cos2 ASB 1516 154 .SA 与底面所成的角为 45，SAS 45，AS SAcos 4554 2 .圆锥的侧面积为 2 4 40 .522 10 10 5 216已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为 1 的球，则此三棱柱的体积的最大值为_1 如图，设球心为 O，三棱柱的上、下底面的中心分别为O1，O 2，底面正三角形的边
14、长为 a，则 AO1 a a.23 32 33由已知得 O1O2底面，在 RtOAO 1中，由勾股定理得 OO1 ，所以 V 三棱柱3 3 a23 a22 ，34 3 3 a23 3a4 a62令 f(a)3a 4 a6(0a2)，则 f(a)12a 36a 5 6a3(a22) ，令 f(a)0，解得 a .2因为当 a(0， )时，f(a)0；当 a( ，2)时，f(a)0，所以函数2 2f(a)在(0 ， )上单调递增，在 ( ，2)上单调递减2 2所以 f(a)在 a 处取得极大值2因为函数 f(a)在区间(0,2) 上有唯一的极值点，所以 a 也是最大值点2所以(V 三棱柱 )max
15、 1.34 82小题对点练 立体几何 【教师备选】(建议用时：40 分钟)一、选择题1已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m，n，则( )Aml BmnCn l DmnC 由已知， l，l ，又n，nl，C 项正确故选 C.2圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是( )A. B. C. D.2 1 22 12A 由题意可知，圆柱的高为 2，底面周长为 2，故半径为 ，所以底面积1为 ，1所以体积为 ，故选 A.23设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若 ，m，则 mB若 m ，n ，则 mnC若 a m
16、，n，n，则 mnD若 ，且 m，点 A，直线 ABm，则 ABC A 项，若 ，m ，则 m 或 m ；B 项，若 m ，n ，则 m，n 无交点，即平行或异面；C 项，若 m，n，n，过 n 作平面与 ， 分别交于直线 s，t，则 sn ，t n，所以 st ，再根据线面平行判定定理得 s，因为 m，s ，所以 s m，即 mn；D 项，若 ，且 m，点 A，直线 ABm，当 B 在平面 内时才有 AB，综上选 C.4中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若 取 3，其体积为12.6(单位：立方寸) ，则图中的 x
17、 为( )A1.2 B1.6 C1.8 D2.4B 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 的圆柱，右边是一个12长、宽、高分别为 5.4x,3,1 的长方体，组合体的体积 VV 圆柱 V 长方体 x(5.4x )3112.6(其中 3)，解得 x1.6.故选 B.(12)2 5某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是ABC ，如图(2)所示，其中 OA OB 2，O C ，则该几3何体的表面积为( )(1) (2)A3612 B2483 3C24 12 D3683 3C 由图 (2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为 2 的等腰三角形，即该三角形为等边三角
18、形，在如图3所示的长方体中，长、宽、高分别为 4,2 ，6，三视图还原为3几何体是图中的三棱锥 PABC，且 SPAB S PBC 4612, S12ABC 42 4 ， PAC 是腰长为 ，底面边长为 4 的等腰三角形，S 12 3 3 52PAC 8 .综上可知，该几何体的表面积为 2124 8 2412 .故选 C.3 3 3 36某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则 a 的值为( )23A1 B2 C2 D.2 32B 由三视图可知，该几何体为高为 a，底面半径为 的圆柱，挖去一个半a2径为 的球而得的几何体剩余几何体的体积为 a a3 ，a2 (a2)2
19、 43 (a2)3 12 23解得 a2.故选 B.7(2018唐山高三一模 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A54 B92C6 5 D.253A 根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成，面积和为 4 2 23 54 .12 2 12 2 28在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD 1 与平面 ABCD 所成角的大小为 60，DC1 与平面 ABCD 所成角的大小为 30，那么异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.24 34 28 38
20、B 由题得D 1AD60，C 1DC30 ，设 AD1，则CC1 ，DC3，DC 1 2 ，BC 12，DB .3 3 10在BDC 1中，由余弦定理得 cosBC 1D .12 4 102232 34因为 AD1BC 1，所以异面直线 AD1与 DC1所成角的余弦值为 .349一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 ，那么这个三棱柱的体积是 ( )323A96 B16 3 3C24 D483 3D 如图，设球的半径为 R，由 R3 ，得 R2.43 323所以正三棱柱的高 h4.设其底面边长为 a，则 a2，所以 a4 ，13 32 3所以 V (4 )2448
21、.34 3 310设三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直，BCA90 ，BCCA2，若该棱柱的所有顶点都在体积为 的球面上，则直线 B1C 与直323线 AC1 所成角的余弦值为( )A B. C D.23 23 53 53B 由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体 8 个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为 4，由于长方体底面为边长为 2 的正方形，故侧面的对角线为 2 ，由余弦定理可3知，直线 B1C 与直线 AC1所成角的余弦值为 .12 12 822323 2311圆台的高为 2，上底面直径 AB2，下底面直径 CD4，AB 与 C
22、D 不平行，则三棱锥 ABCD 体积的最大值是 ( )A. B. C. D.23 83 163 323B 如图，设上、下底面的圆心分别为 O1，O，因为 VABCDV CAOBV DAOB，所以要使三棱锥 ABCD 的体积最大，则需 CD平面 AOB，所以三棱锥 ABCD 的体积最大为 SABO (COOD) S13 13ABOCD 224 ，故选 B.13 12 8312.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADBC ，AB BC，侧面 PAB底面 ABCD，若PAAD AB kBC(0k1)，则( )A当 k 时，平面 BPC平面 PCD12B当 k 时，平面 AP
23、D平面 PCD12C对任意 k(0,1) ，直线 PA 与底面 ABCD 都不垂直D存在 k (0,1)，使直线 PD 与直线 AC 垂直A 取 PB，PC 的中点分别为 M，N ，连接 MN，AM，DN(图略)由平面PAB 平面 ABCD，BC AB，可知 BC平面 PAB，BCAM .又 M 为 PB 中点，PAAB，AM PB，可得 AM平面 PBC，而 ADBC 且 AD BC，同12时 MNBC 且 MN BC，ADMN 且 ADMN，则四边形 ADNM 为平行四12边形，可得 AMDN ，则 DN平面 BPC.又 DN平面 PCD，平面 BPC平面 PCD.其余选项都错误，故选 A
24、.二、填空题13.(2018天津高考 )已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H ，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_连接 AD1，CD 1，B 1A，B 1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，CD 1的中112点，所以 EHAC，EH AC，因为 F，G 分别为 B1A，B 1C 的中点，所以12FGAC ，FG AC，所以 EHFG ，EHFG，所以四边形 EHGF 为平行四边12形，又 EG HF，EHHG ，所以四边形 EHGF 为正方形，又点 M 到平面 EHGF 的距离为 ，12所以四棱锥 M
25、EFGH 的体积为 .13 ( 22)2 12 11214如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，以 B 为圆心的圆与 AB，BC 分别交于点 E，F，若 tanCDF ，则阴影部分绕直12线 BC 旋转一周形成几何体的体积等于_6 在 Rt DCF 中，DC2，所以 CFDCtanCDF2 1，所以12BFBCCF 211.正方形 ABCD 绕直线 BC 旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径R1AB 2，高 h1BC 2，其体积 V1 R h1 2228 ；21Rt DCF 绕直线 BC 旋转一周形成一个圆锥，圆锥的底面半径R2DC2，高 h2CF1，其体积 V2 R h2 221 ；扇形
26、BEF 是13 2 13 43圆的 ，其绕直线 BC 旋转一周形成一个半球，球的半径为 rBE1，14故其体积 V3 r3 13 .12 43 12 43 23阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，故其体积 VV 1V 2V 38 6.43 2315已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则直线 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于_设直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角为 ，64建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2，则 A(0，1,0)，B 1( ，0,2)，3AB1( ，1,2)，O(0,0,0)，B( ，0
27、,0)，所以 BO( ，0,0)为侧面3 3 3ACC1A1的法向量，所以 sin .|AB1BO |AB1 |BO| 6416(2018东莞二调 )已知几何体 是平面 截半径为 4 的球 O 所得较大部分，ABC 是截面圆 O的内接三角形，A90 ，点 P 是几何体 上的一动点，且 P 在圆 O上的投影在圆 O的圆周上，OO 1，则三棱锥 PABC 的体积的最大值为_10 由对称性知点 P 到平面 ABC 的距离为 2，设圆 O的半径为 r，则r ，BC 2 ，当点 A 到 BC 的距离为 时，S ABC 取得最大42 12 15 15 15值 15，此时，三棱锥 PABC 的体积取得最大值， Vmax 21510.13
