1、专题限时集训( 十四) 导数的综合应用(建议用时：60 分钟)1(2018太原模拟 )设函数 f(x)ax 2ln xb(x1)(x 0)，曲线 yf (x)过点(e， e2 e1)，且在点(1,0)处的切线方程为 y0.(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x1 时，f(x)(x1) 2；(3)若当 x1 时，f(x)m(x 1) 2 恒成立，求实数 m 的取值范围解 (1)函数 f(x)ax 2ln xb(x1)(x 0)，可得 f( x)2axln xax b，因为 f(1) ab0，f (e)ae 2b(e1) e 2e1，所以 a1，b1.(2)证明：f(x)x 2ln xx 1，
2、设 g(x)x 2ln xx x 2(x1)，g(x)2xln xx 1，(g( x)2ln x10，所以 g(x) 在0，) 上单调递增，所以 g(x) g(1)0，所以 g(x)在0，) 上单调递增，所以 g(x)g(1)0，所以 f(x)( x1) 2.(3)设 h(x)x 2ln xx m(x1) 21，h(x)2xln xx 2m(x1)1，由(2)中知 x2ln x(x1) 2 x1x(x1)，所以 xln xx1，所以 h(x)3(x 1)2m(x1)，当 32m0 即 m 时，h(x) 0，32所以 h(x)在1，) 单调递增，所以 h(x)h(1)0，成立当 32m 时，32
3、h(x)2xln x(12m)( x1)，(h(x)2ln x32m，令(h (x)0，得 x0e 1，2m 32当 x1，x 0)时，h(x) h(1) 0，所以 h(x)在1，x 0)上单调递减，所以 h(x)h(1)0 ，不成立综上，m .322(2017天津高考 )设 a，bR，|a|1.已知函数 f(x)x 36x 23a(a4)xb，g( x) exf(x)(1)求 f(x)的单调区间；(2)已知函数 yg(x)和 ye x的图象在公共点(x 0，y 0)处有相同的切线，求证：f( x)在 xx 0 处的导数等于 0；若关于 x 的不等式 g(x)e x在区间x 01，x 01上恒
4、成立，求 b 的取值范围解 (1)由 f(x)x 36x 23a(a4)xb，可得f(x)3x 212x3a(a4)3(x a)x(4a) 令 f( x)0，解得 xa 或 x4a.由|a|1，得 a0，所以 f(x)1.又因为 f(x0)1，f(x 0)0，所以 x0 为 f(x)的极大值点，由(1)知 x0a.另一方面，由于|a|1，故 a10 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件解 (1)由 f(x)x 3ax 2bxc，得 f(x )3x 22axb.因为 f(0)c，f(0)b，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0) 处的切线方程为 ybx c.(2)当 ab 4 时，f(x
5、 )x 34x 24x c，所以 f( x)3x 28x4.令 f( x)0，得 3x28x40，解得 x2 或 x .23f(x)与 f(x) 在区间(，)上的情况如下：x (，2) 2 ( 2，23)23 ( 23， )f(x) 0 0 f(x) c c3227所以当 c0 且 c 0，f(x)在区间(，x 0)上单调递增；当 x(x 0， ) 时，f(x)0，f(x)在区间(x 0，)上单调递增所以 f(x)不可能有三个不同零点综上所述，若函数 f(x)有三个不同零点，则必有 4a 212b0.故 a23b0 是 f(x)有三个不同零点的必要条件当 ab4，c 0 时，a 23b0，f(
6、x )x 34x 24xx (x2) 2只有两个不同零点，所以 a23b0 不是 f(x)有三个不同零点的充分条件因此 a23b0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件4(2018兰州模拟 )已知函数 f(x) ln x 在(1，)上是增函数，且1 xaxa0.(1)求 a 的取值范围；(2)若 b0，试证明 ln .1a b a bb ab解 (1)f(x) ，1ax2 1x ax 1ax2因为在(1 ，) 上 f(x )0，且 a0，所以 ax1 0，即 x ，所以 1，即 a1.1a 1a故 a 的取值范围为1，)(2)证明：因为 b0，a1 ，所以 1，a bb又 f(x) ln x 在(1，)上是增函数，1 xax所以 f f(1)，即 ln 0，(a bb )1 a bbaa bb a bb化简得 ln ，1a b a bbln 等价于 ln ln 0，a bb ab a bb ab (1 ab) ab令 g(x)ln(1x)x (x(0，)，则 g(x) 1 0，11 x x1 x所以函数 g(x)在(0，)上为减函数，所以 g ln ln g(0)0，即 ln .(ab) (1 ab) ab a bb ab a bb ab综上， ln ，得证.1a b a bb ab
