1、1第 13 讲 导数的简单应用高考统计定方向热点题型 真题统计 命题规律题型 1：导数的运算及其几何意义2018 全国卷T6；2018 全国卷T13；2018全国卷T212017 全国卷T14；2016 全国卷T16；2015 全国卷T142015 全国卷T16题型 2：利用导数研究函数的单调性2018 全国卷T21；2018 全国卷T21；2017 全国卷T212017 全国卷T21；2017 全国卷T21；2016 全国卷T122014 全国卷T11题型 3：利用导数研究函数的极值(最值)问题2016 全国卷T20；2015 全国卷T21；2015 全国卷T212014 全国卷T21；20
2、14 卷T211.考查形式是“一小一大” ， “一小”重点考查导数的几何意义， “一大”一般在第(1)问，重点考查函数的单调性或单调区间.2.小题难度较小，大题难度较大.题型 1 导数的运算及其几何意义核心知识储备1导数的几何意义函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k f( x0)，相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)2四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax) axln a(a0 且 a1)；(4)(logax) (a0，且
3、a1)1xln a高考考法示例2【例 1】 (1)直线 y kx1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A(1,3)，则 2a b 的值等于( )A2 B1 C1 D2(2)(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)e x1 x，则曲线y f(x)在点(1,2)处的切线方程是_(1)C (2)2 x y0 (1)由题意知Error!即Error!又 y3 x2 a，所以 y| x1 a3，根据导数的几何意义知 a32，则 a1， b3，从而 2a b2(1)31，故选 C.(2)设 x0，则 x0， f( x)e x1 x， f(x)为偶函数， f( x) f(x)，
4、 f(x)e x1 x.当 x0 时， f( x)e x1 1， f(1)e 11 1112.曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y22( x1)，即 2x y0.方法归纳 求曲线 y f x 的切线方程的三种类型及方法1 已知切点 P x0， y0 ，求切线方程,求出切线的斜率 f x0 ，由点斜式写出方程；2 已知切线的斜率 k，求切线方程,设切点 P x0， y0 ，通过方程 k f x0 解得 x0，再由点斜式写出方程；3 已知过曲线上一点，求切线方程,设切点 P x0， y0 ，利用导数求得切线斜率f x0 ，再由斜率公式求得切线斜率，列方程 组 解得 x0，再由点斜式或
5、两点式写出方程.对点即时训练1(2018武汉模拟)函数 f(x1) ，则曲线 y f(x)在点(1， f(1)处切线的2x 1x 1斜率为( )A1 B1 C2 D2A 由 f(x1) ，知 f(x) 2 .2x 1x 1 2x 1x 1x f( x) ，且 f(1)1.1x2由导数的几何意义知，所求切线的斜率 k1.2(2017天津高考)已知 aR，设函数 f(x) axln x 的图象在点(1， f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_31 f( x) a ， f(1) a1.1x又 f(1) a，切线 l 的斜率为 a1，且过点(1， a)，切线 l 的方程为 y a( a
6、1)( x1)令 x0，得 y1，故 l 在 y 轴上的截距为 1.题型 2 利用导数研究函数的单调性核心知识储备1 f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) x3在(，)上单调递增，但 f( x)0.2 f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f( x)0 时，则 f(x)为常函数，函数不具有单调性3利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导函数 f( x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域(或某子区间)内解(或证明)不等式 f( x)0 或 f( x)0； f(x)在(，1)单调
7、递减，在(1，)单调递增当 a0；当 x(1，ln( a)时， f( x)0；当 x(ln( a)，)时， f( x)0；所以 f(x)在(，1)，(ln( a)，)单调递增，在(1，ln( a)单调递减当 ae 时， f( x)0，所以 f(x)在 R 单调递增，当e0；4当 x(ln( a)，1)时， f( x)0； f(x)在(，ln( a)，(1，)单调递增，在(ln( a)，1)单调递减(2)令 g(x) f(x) kx2( x2)e x x2 x kx2，有 g( x)( x1)12ex x1 k.令 h(x)( x1)e x x1 k，有 h( x) xex1，当 x0 时， h
8、( x) xex10， h(x)单调递增 h(x) h(0)2 k，即 g( x)2 k.当2 k0，即 k2 时， g( x)0， g(x)在(0，)单调递增，g(x) g(0)0，不等式 f(x) kx2 恒成立当2 k0，即 a0，右侧 f( x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 y f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，则 f(x)在 a， b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得高考考法示例【例 3】 (2017山东高考)已知函数 f(x) x3 ax2， aR.13 12(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在点(3， f(3)处的切线方程；(
9、2)设函数 g(x) f(x)( x a)cos xsin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值思路点拨 (1) 求 f 3 求 f 3 写 出 切 线 方 程(2) 求 g x 求 g x 0的 根 根 据 两 根 大 小 讨 论 判 断 单 调 性 求 极 值解 (1)由题意 f( x) x2 ax，所以当 a2 时， f(3)0， f( x) x22 x，所以 f(3)3，因此曲线 y f(x)在点(3， f(3)处的切线方程是 y3( x3)，即 3x y90.(2)因为 g(x) f(x)( x a)cos xsin x，所以 g( x) f( x)cos x(
10、 x a)sin xcos x7 x(x a)( x a)sin x( x a)(xsin x)，令 h(x) xsin x，则 h( x)1cos x0，所以 h(x)在 R 上单调递增，因为 h(0)0，所以当 x0 时， h(x)0；当 x0， g( x)0， g(x)单调递减；当 x(0，)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递增所以当 x a 时 g(x)取到极大值，极大值是 g(a) a3sin a，16当 x0 时 g(x)取到极小值，极小值是 g(0) a.当 a0 时， g( x) x(xsin x)，当 x(，)时， g( x)0，所以 g(x)在(，)上单调递增
11、，g(x)无极大值也无极小值当 a0 时， g( x)( x a)(xsin x)，当 x(，0)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递增；当 x(0， a)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递减；当 x( a，)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递增所以当 x0 时 g(x)取到极大值，极大值是 g(0) a；当 x a 时 g(x)取到极小值，极小值是 g(a) a3sin a；16综上所述：当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和( a，)上单调递增，在(0， a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) a3s
12、in a.16方法归纳 利用导数研究函数极值、最值的方法1 若求极值，则先求方程 f x 0 的根，再检查 f x 在方程根的左右函数值的符号.2 若探究极值点个数，则探求方程 f x 0 在所给范围内实根的个数.83 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f x 0 根的大小或存在情况来求解.4 求函数 f x 在闭区间 a， b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f a ， f b 与 f x 的各极值进行比较，从而得到函数的最值.(教师备选)(2018太原模拟)已知函数 f(x)ln x ax2 bx(其中 a， b 为常数且 a0)在 x1处取得极值(1)当 a1
13、 时，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在(0，e上的最大值为 1，求 a 的值解 (1)因为 f(x)ln x ax2 bx，所以 f(x)的定义域为(0，)， f( x) 2 ax b，1x因为函数 f(x)ln x ax2 bx 在 x1 处取得极值，所以 f(1)12 a b0， b2 a1.又 a1,所以 b3，则 f( x) ，2x2 3x 1xf( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x (0， 12) 12 (12， 1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的单调递增区间为 ，(1，)，(0，12)单调递减区间为 .(12，
14、1)(2)由(1)知 f( x) ， 2ax 1 x 1x今 f( x)0，得 x11， x2 ，12a因为 f(x)在 x1 处取得极值，所以 x2 x11，12a当 0 时， x2 0，12a9当 0 恒成立，得 x2 或 x1 时， f( x)0，且 x0；21 时， f( x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.故选 A.4(2015全国卷)设函数 f( x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数， f(1)0，当 x0时， xf( x) f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D
15、(0,1)(1，)A 构造函数 y g(x) ，通过研究 g(x)的图象的示意图与性质得出使 f(x)0f xx成立的 x 的取值范围设 y g(x) (x0)，则 g( x) ，当 x0 时， xf( x)f xx xf x f xx2 f(x)0， g(x)0 时， f(x)0,00， x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.5(2018全国卷)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_12y2 x2 由题意知， y ，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率 k y| x1 2，2x故所求切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.6(2018全国卷)曲线 y( ax1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析 y( ax1 a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2，得y| x0 ( ax1 a)ex|x0 1 a2，所以 a3.答案 3
