1、1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标：1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用(重点、难点)2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点)3.能够正确使用区间表示数集(易混点)自 主 预 习探 新 知1函数的概念定义设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么对称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数对应关系 yf(x )，xA定义域 自变量 x 的取值范围三要素 值域
2、 与 x 的值相对应的 y 的值的集合f(x)|xA思考 1：(1)有人认为 “yf(x)”表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积” ，这种看法对吗？(2)f(x)与 f(a)有何区别与联系？提示 (1)这种看法不对符号 yf(x) 是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当 x 允许取某一具体值时，相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值yf(x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于 f 与 x的乘积” 在研究函数时，除用符号 f(x)外，还常用 g(x)
3、，F(x )，G(x)等来表示函数(2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 xa 时，函数 f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a) 是 f(x)的一个特殊值，如一次函数 f(x)3x4，当 x8 时，f(8)38428 是一个常数2区间及有关概念(1)一般区间的表示设 a，bR，且 a0 得 x1.所以函数的定义域为(1，)3若 f(x) ，则 f(3)_. 11 x2 f (3) .18 11 9 184集合 x|x 2 用区间可表示为_(， 2 x|x2表示小于等于2 的数组成的集合，即用区间表示为(， 2 合 作 探
4、究攻 重 难函数的概念(1)判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的函数AN ，B N*，对应法则 f：对集合 A 中的元素取绝对值与 B 中元素对应；A1,1,2，2，B1,4，对应法则 f：xy x 2，x A，yB ；A1,1,2，2，B1,2,4，对应法则 f：xy x 2，x A，yB ；A三角形，Bx |x0，对应法则 f：对 A 中元素求面积与 B 中元素对应(2)下列各组函数是同一函数的是( )f(x) 与 g(x)x ； 2x3 2xf(x)x 与 g(x) ；x2f(x)x 0 与 g(x) ；1x0f(x)x 22x1 与 g(t)t 22t1.A BC D解 (1)
5、对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不属于 B，即 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应，所以不是函数对于 A 中的元素1，在 f 的作用下与 B 中的 1 对应， A 中的元素2，在 f 的作用下与 B 中的 4 对应，所以满足 A 中的任一元素与 B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数对于 A 中的任一元素，在对应关系 f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如1 对应 1，2 对应 4，所以是函数集合 A 不是数集，故不是函数(2)C f( x) |x| 与 yx 的对应法则和值域不同，故不是 2x3 2x 2x同一函数g(x) |x|与 f(x
6、)x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数x2f(x)x 0 与 g(x) 都可化为 y1 且定义域是x|x0，故是同一函数1x0f(x)x 22x1 与 g(t)t 22t1 的定义域都是 R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是.故选 C.规律方法 判断对应关系是否为函数的 2 个条件1A，B 必须是非空数集.2A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应.,对应关系是“ 一对一”或“多对一”的是函数关系， “一对多”的不是函数关系跟踪训练1下列四个图象中，不是函数图象的是( )A B C DB 根据函数的定义知：y 是 x 的函数中，x 确定一
7、个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有 B 不符合此条件故选 B.求函数值设 f(x)2x 22，g(x) ，1x 2(1)求 f(2)，f(a3) ，g(a)g(0)( a2)，g(f(2)(2)求 g(f(x)思路探究：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把 f(x)直接代入 g(x)中便可得到 g(f(x)解 (1)因为 f(x)2x 22，所以 f(2)2 22210，f(a3)2(a3) 222a 212a20.因为 g(x) ，1x 2所以 g(a)g (0) (a2)1a 2 10 2 1a
8、 2 12g(f(2)g(10) .110 2 112(2)g(f(x) .1fx 2 12x2 2 2 12x2 4规律方法 函数求值的方法1已知 fx的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 fa的值.2求 fga的值应遵循由里往外的原则.跟踪训练2已知 f(x)x 32x3，求 f(1)，f(t) ，f(2a1)和 f(f(1)的值. 解 f(1)1 32136；f(t)t 32t3；f(2a1)(2a1) 32(2a1)38a 312a 210a；f(f(1)f(1) 32(1)3)f(0) 3.求函数的定义域探究问题1已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义
9、域？提示：不可以如 f(x) .倘若先化简，则 f(x) ，从而定义域与原函x 1x2 1 1x 1数不等价2若函数 y f(x)的定义域是0，)，那么函数 yf(x1)的定义域是什么？提示：函数 yf (x)的定义域是0，)，所以令 x10，解得 x1，所以函数 yf(x 1)的定义域是1，)3若函数 y f(x1) 的定义域是1,2，这里的“1,2”是指谁的取值范围？函数 yf(x) 的定义域是什么？提示：1,2是自变量 x 的取值范围函数 yf(x) 的定义域是 x1 的范围2,3求下列函数的定义域(1)f(x) 2 ；3x 2(2)f(x) (x1) 0 ；2x 1(3)f(x) ；3
10、 x x 1(4)f(x) .x 12x 1 1 x思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为 0，偶次方根中被开方数大于等于 0 即可解 (1)当且仅当 x20，即 x2 时，函数 y2 有意义，3x 2所以这个函数的定义域为x| x2 (2)函数有意义，当且仅当Error!解得 x1 且 x1，所以这个函数的定义域为x| x1 且 x1(3)函数有意义，当且仅当Error!解得 1x 3，所以这个函数的定义域为x|1x 3 (4)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足Error!解得 x1 且 x1，即函数定义域为x|x 1 且 x1母题探究：1.(变结论) 在本例(3) 条件不变的前提
11、下，求函数 yf(x1)的定义域解 由 1 x13 得 0x2.所以函数 y f(x1) 的定义域为0,22(变化论 )在本例 (3)条件不变的前题下，求函数 yf(x1) 的定义域x 1解 由Error! ，得 1x 2.函数的定义域为1,2 规律方法 求函数定义域的常用方法1若 fx是分式，则应考虑使分母不为零.2若 fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若 fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若 fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若 fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.当 堂 达 标固 双 基1已知函数 f(
12、x) ，则 f ( )3x (1a)A. B.1a 3aCa D3aD f 3a，故选 D.(1a)2下列表示的是 y 关于 x 的函数的是( )Ayx 2 By 2xC|y| x D|y| |x|A 结合函数的定义可知 A 正确，选 A.3下列函数中，与函数 yx 相等的是( )Ay( )2 Byx x2Cy| x| Dy 3x3D 函数 yx 的定义域为 R；y( )2 的定义域为 0，)；y |x|，对x x2应关系不同；y |x|对应关系不同；y x，且定义域为 R.故选 D.3x34将函数 y 的定义域用区间表示为_31 1 x(， 0)(0,1 由Error!解得 x1 且 x0，用区间表示为(，0) (0,1 5已知函数 f(x)x ，1x(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(1)，f(2)的值；(3)当 a1 时，求 f(a 1)的值. 解 (1)要使函数 f(x)有意义，必须使 x0，f(x)的定义域是(， 0)(0，)(2)f(1)1 2，f(2)2 .1 1 12 52(3)当 a1 时，a10，f(a1) a 1 .1a 1
