1、1第 10 讲 圆锥曲线中的综合问题高考统计定方向热点题型 真题统计 命题规律题型 1：解析几何中的有关证明问题2018 全国卷T20；2018 全国卷T20题型 2：“构造法”求圆锥曲线中的最值(范围)问题2016 全国卷T21；2015 全国卷T20题型 3：“转化法”求圆锥曲线中的定点、定值问题2017 全国卷T20；2017 全国卷T202015 全国卷T20题型 4：“肯定顺推法”求圆锥曲线中的探索性问题2016 全国卷T201.重点考查圆锥曲线中的定点、定值问题及最值范围问题.2.一般在 20 题的位置，难度较大.3.解析几何中有关证明类题目将成为考查的热点趋势.题型 1 解析几何
2、中的有关证明问题圆锥曲线经常和数列、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇命制出论证类题目，综合考查学生的应用能力，转化能力及思维的灵活性本类题型将成为今后热点题型，对培养学生勤于思考严谨的科学态度，推进新课程标准的实施将起到导向作用高考考法示例【例 1】 (2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A， Bx24 y23两点，线段 AB 的中点为 M(1， m)(m0)(1)证明： kb0)，x2a2 y2b2由题意得Error!解得 c ，所以 b2 a2 c21，38所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明：设 M(m， n)，则 D(m,0)， N(m，
3、 n)，由题设知 m2，且 n0.直线 AM 的斜率 kAM ，nm 2故直线 DE 的斜率 kDE ，m 2n所以直线 DE 的方程为 y (x m)，m 2n直线 BN 的方程为 y (x2)n2 m联立Error! 解得点 E 的纵坐标 yE .n 4 m24 m2 n2由点 M 在椭圆 C 上，得 4 m24 n2，所以 yE n.45又 S BDE |BD|yE| |BD|n|，12 25S BDN |BD|n|，12所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 45.方法归纳1动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 y kx t，由题
4、设条件将 t 用 k 表示为 t mk，得 y k(x m)，故动直线过定点( m,0)(2)动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点2求解定值问题的两大途径(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值对点即时训练(2018乌鲁木齐模拟)已知点 P(x0， y0)(y00)是椭圆 C： 1 上的点，点 Q 的x24 y23坐标为 ，直线 l 上的任意一点
5、 M 满足 0( O 为坐标原点)(x04， y03) MP OQ (1)求直线 l 的方程；9(2)设 C 的右焦点为 F，过点(4,0)作 l 的垂线交直线 PF 于点 S，证明 S 在定圆上解 (1)设 M(x， y)，由 0，得( x0 x， y0 y) 0.MP OQ (14x0， 13y0) (x0 x) (y0 y)0.x04 y03 1，x204 y203直线 l 的方程为 1.x0x4 y0y3(2)证明：由(1)知 k1 ，则过点(4,0)且与 l 垂直的直线方程为 y (x4)3x04y0 4y03x0直线 PF 的方程为 y (x1)，y0x0 1联立Error! ，解
6、出Error! ，代入椭圆 C 的方程，得 1，16 x 4 24 x 13 2 9y23 x 13 2化简得( x1) 2 y236.点 S 在定圆( x1) 2 y236 上题型 4 “肯定顺推法”求解圆锥曲线中的探索性问题核心知识储备与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括归纳出一般规律(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在高考考法示例【例 4
7、】 (2018郑州模拟)已知圆 O： x2 y24，点 F(1,0)， P 为平面内一动点，以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O，设动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)M， N 是曲线 C 上的动点，且直线 MN 经过定点 ，问在 y 轴上是否存在定点(0，12)Q，使得 MQO NQO，若存在，请求出定点 Q，若不存在，请说明理由思路点拨 (1)两 圆 内 切 PF的 中 点 为 S 切 点 为 T |OS| |SF| |OT| 2 F关 于 y轴 的 对 称 点 为 F |PF | |PF| 2 |OS| |SF| 椭 圆 的 定 义 曲 线 C的 方 程(2) 设
8、 直 线 MN的 方 程 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 直 线 MQ与 NQ的 斜 率 之 和 为 零10求 m的 值解 (1)设 PF 的中点为 S，切点为 T，连接 OS， ST(图略)，则|OS| SF| OT|2，取 F 关于 y 轴的对称点 F，连 F P，故|F P| FP|2(| OS| SF|)4.所以点 B 的轨迹是以 F， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆其中， a2， c1，曲线 C 方程为 1.x24 y23(2)假设存在满足题意的定点 Q，设 Q(0， m)，设直线 l 的方程为 y kx ， M(x1， y1)，12N(x2， y2)由Error! 消
9、去 x，得(34 k2)x24 kx110.由直线 l 过椭圆内一点 ，故 0，由求根公式得：(0，12)x1 x2 ， x1x2 . 4k3 4k2 113 4k2由 MQO NQO，得直线 MQ 与 NQ 斜率和为零故 0，y1 mx1 y2 mx2 kx1 12 mx1 kx2 12 mx2 2kx1x2 (12 m) x1 x2x1x22kx1x2 (x1 x2)2 k 0.(12 m) 113 4k2 (12 m) 4k3 4k2 4k m 63 4k2存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意方法归纳 探索性问题求解的思路及策略1思路：先假设存在，推证满足条件的结论
10、，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在2策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(教师备选)(2018成都模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点x2a2 y2b2P 在椭圆 C 上，满足 .(1，32) PF1 PF2 94(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l1过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2与 l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点 P 的两点 M， N，与直线 x1 交于点 K(K 介于 M， N 两点之间)求证：| PM|KN| PN|KM|；是否存在直线 l2，
11、使得直线 l1、 l2、 PM、 PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若11能，求出 l2的方程；若不能，请说明理由解 (1)设 F1( c,0)， F2(c,0)， c0，则 1 c2 ，所以 c1.PF1 PF2 ( c 1， 32) (c 1， 32) 94 94因为 2a| PF1| PF2|4，所以 a2， b23故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)证明：设 l1方程为 y k(x1)，与 1 联立，消 y 得32 x24 y23(4k23) x2(12 k8 k2)x(32 k)2120，由题意知 0，解得 k .12因为直线 l2与 l1的倾斜角互补，所以 l2的
12、斜率是 .12设直线 l2方程： y x t， M(x1， y1)， N(x2， y2)，联立Error!，整理得12x2 tx t230，由 0，得 t24， x1 x2 t， x1x2 t23；直线 PM、 PN 的斜率之和kPM kPN y1 32x1 1y2 32x2 1(12x1 t 32) x2 1 (12x2 t 32) x1 1 x1 1 x2 1 0x1x2 t 2 x1 x2 2t 3 x1 1 x2 1所以 PM、 PN 关于直线 x1 对称，即 MPK NPK，在 PMK 和 PNK 中，由正弦定理得 ， ，PMsin PKM MKsin MPK PNsin PKN N
13、Ksin NPK又因为 MPK NPK， PKM PKN180所以 PMPN MKNK故| PM|KN| PN|KM|成立由知， kPM kPN0， kl1 ， kl2 .12 12假设存在直线 l2，满足题意不妨设 kPM k， kPN k，( k0)若 ， k， k 按某种1212排序构成等比数列，设公比为 q，则 q1 或 q21 或 q31.12所以 q1，则 k ，此时直线 PN 与 l2平行或重合，与题意不符12故不存在直线 l2，满足题意对点即时训练(2018兰州模拟)已知定点 A(3,0)， B(3,0)，直线 AM， BM 相交于点 M，且它们的斜率之积为 ，记动点 M 的轨
14、迹为曲线 C.19(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 T(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于 P、 Q 两点，是否存在定点 S(s,0)，使得直线SP 与 SQ 斜率之积为定值，若存在求出 S 坐标；若不存在请说明理由解 (1)设动点 M(x， y)，则 kMA ， kMB (x3)，yx 3 yx 3 kMAkMB ，即 .19 yx 3 yx 3 19化简得： y21，x29由已知 x3，故曲线 C 的方程为 y21( x3)x29(2)由已知直线 l 过点 T(1,0)，设 l 的方程为 x my1，则联立方程组Error!消去 x 得( m29) y22 my80，设 P(x1，
15、y1)， Q(x2， y2)，则Error!直线 SP 与 SQ 斜率分别为 kSP ， kSQ ， kSPkSQy1x1 s y1my1 1 s y2x2 s y2my2 1 sy1y2 my2 1 s my1 1 sy1y2m2y1y2 m 1 s y1 y2 1 s 2 . 8 s2 9 m2 9 1 s 2当 s3 时， kSPkSQ ；当 s3 时， kSPkSQ . 89 1 s 2 29 89 1 s 2 118所以存在定点 S(3,0)，使得直线 SP 与 SQ 斜率之积为定值.131(2018全国卷)设抛物线 C： y22 x，点 A(2,0)， B(2，0)，过点 A 的直
16、线 l与 C 交于 M， N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ABM ABN.解 (1)当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x2，可得 M 的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线 BM 的方程为 y x1 或 y x1.12 12(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ABM ABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x2)( k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则x10， x20.由Error! 得 ky22 y4 k0，可知 y1 y2 ， y1y24.2k直线 BM， B
17、N 的斜率之和为kBM kBN .y1x1 2 y2x2 2 x2y1 x1y2 2 y1 y2 x1 2 x2 2将 x1 2， x2 2 及 y1 y2， y1y2的表达式代入式分子，可得y1k y2kx2y1 x1y22( y1 y2) 0.2y1y2 4k y1 y2k 8 8k所以 kBM kBN0，可知 BM， BN 的倾斜角互补，所以 ABM ABN.综上， ABM ABN.2(2016全国卷)已知 A 是椭圆 E： 1 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交x24 y23E 于 A， M 两点，点 N 在 E 上， MA NA.(1)当| AM| AN|时，求 AMN 的面积；(
18、2)当 2|AM| AN|时，证明： 0.由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 . 4又 A(2,0)，因此直线 AM 的方程为 y x2.将 x y2 代入 1 得 7y212 y0.x24 y2314解得 y0 或 y ，所以 y1 .127 127因此 AMN 的面积 S AMN2 .12 127 127 14449(2)证明：设直线 AM 的方程为 y k(x2)( k0)，代入 1 得(34 k2)x216 k2x16 k2120.x24 y23由 x1(2) 得 x1 ，16k2 123 4k2 2 3 4k23 4k2故| AM| x12| .1 k2121 k23 4
19、k2由题意，设直线 AN 的方程为 y (x2)，1k故同理可得| AN| .12k1 k23k2 4由 2|AM| AN|得 ，23 4k2 k3k2 4即 4k36 k23 k80.设 f(t)4 t36 t23 t8，则 k 是 f(t)的零点 f( t)12 t212 t33(2 t1)20，所以 f(t)在(0，)单调递增又 f( )15 260， f(2)60，因此 f(t)3 3在(0，)上有唯一的零点，且零点 k 在( ，2)内，所以 k2.3 33(2015全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，点(2， )在 Cx2a2 y2b2 22 2上(1)求 C 的方程
20、；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值解 (1)由题意有 ， 1，a2 b2a 22 4a2 2b2解得 a28， b24.所以 C 的方程为 1.x28 y24(2)证明：设直线 l： y kx b(k0， b0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)将 y kx b 代入 1，得x28 y24(2k21) x24 kbx2 b280.故 xM ， yM kxM b .x1 x22 2kb2k2 1 b2k2 115于是直线 OM 的斜率
21、kOM ，yMxM 12k即 kOMk .12所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值审题即弄清题意，明确题目的条件与结论，审题是解题的基础，深入细致的审题是正确迅速解题的前提审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分本篇结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图” ，攻克高考压轴题【典例】 (2018长春市普通高中高三质量监测三)在平面直角坐标系中，已知圆 C1的方程为( x1) 2 y29，圆 C2的方程为( x1) 2 y21，动圆 C 与圆 C1内切且与圆 C2外切(1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程；(2)已知 P(2,0)与 Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线 l 与轨迹 E 交于A， B 两点，求四边形 APBQ 面积的最大值16
