1、2019 届 湖 南 省 衡 阳 市 第 八 中 学高 三 第 三 次 月 考 数 学 （ 文 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的
2、作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为=|(1)(4)0 =0,1,2,3 A 1 B 2 C 3 D 42已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于=1 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的渐近线方程为:22216=1(0) (5,0)
3、 A B C D 43=0 169=0 441=0 34=04设 2,()xfa， 若 (1)2,f则 aA、2 B、1 C、-2 D、-15九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为A 钱 B 钱 C 钱 D 钱54 43 32 536在三棱锥 中， 底面 ， ， ,则 与面 所成角为 = A B C D 30 45 60 907已知在
4、平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定目标函数xOy12 xy的最大值为25zxyA B C D 10158已知直线 和圆 相交于 两点，若 ,则 的值=+3 2+264+5=0 , |=23 为A B C D 2或12 2或 12 2或 12 2或 129如图，正方形 中， 为 DC 的中点，若 ，则 的值为ADEAEBCA B C D 1212110设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，若 ，则 130,140,0)的两个交点,记 ,则 的图象大致是1:=(0),2:= ()=| ()12如图，已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 、21xyab0ab1F， ， 是双曲线右支上的一点，
5、直线 与 轴交于点 ， 的内切圆在边2F12|8P2FPyA1P上的切点为 ，若 ，则该双曲线的离心率为PQ|2A B C D2323二、填空题13已知 ，若 ，则 _=(1,2),=(2,) |=14在锐角 中，角 所对的边长分别为 ，若 ，则 _ , , 2=3 =15已知棱长为 的正方体有一个内切球（如图）， 为面底 的中心， 与球相交于 ，1 1 则 的长为_.16定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，当 时，(0,+) () (0,+) (2)=2() (1,2，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： _.对 ，有 ；()=2 (2)=0函数 的值域为 ；() 0,+)存在 ，使得
6、 ； (2+1)=9三、解答题17已知数列 是公差不为 0 的等差数列，首项 ，且 成等比数列 1=1 1,2,4(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 =+2 18已知函数 的最大值为 3()=23(2)+22+（1）求 的单调增区间和 的值；() （2）把函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，求 在 上的值=()4 =() () 0,2域19如图，将边长为 的正六边形 沿对角线 翻折，连接 、 ，形成如图所示的多2 面体，且折叠后的 .=6（1）证明： 面 （2）求三棱锥 的体积20设椭圆 ，离心率 ，短轴 ，抛物线顶点在原点，以:22+22=1(0,0
7、) =22 2=210坐标轴为对称轴，焦点为 ，(0,1)（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为 , 为抛物线上第一象限内的点， 为椭圆是一点，且有 ，当线段 的中点在 轴上时，求直线 的方程 21已知函数 （其中 ）22211xfxaxae（1）若 为 的极值点,求 的值；0f（2）在（1）的条件下,解不等式 21fxx22已知函数 .()=|21|+|+1|（1）解不等式 ；()3（2）记函数 的值域为 ，若 ，证明： ()=()+|+1| 2+13+32019 届 湖 南 省 衡 阳 市 第 八 中 学高 三 第 三 次 月 考 数 学 （ 文 ） 试 题数 学 答 案参考答案1
8、C【解析】【分析】先解不等式得集合 M，再根据交集定义求 ，最后确定元素个数.【详解】因为 ,所以 ，有 3 个元素，选 C.=|(1)(4)0=1,4 =1,2,3【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2D【解析】【分析】先化简复数 为代数形式，再确定对应的点所在象限.【详解】因为 ,对应的点为 ，位于第四象限，选 D.=1=(1)2 =1212 （ 12， 12）【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉(+)(+)=()+(+),(,.)复数相关基本概念，如复数 的
9、实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、+(,) 2+2 (,)共轭为 .3A【解析】【分析】先根据焦点坐标求 a，再根据双曲线方程求渐近线方程.【详解】因为焦点为 ，所以 +16=52，即 ，所以渐近线方程为 即 ，选(5,0) 2 2=929216=0， 43=0A.【点睛】1.已知双曲线方程 求渐近线：2222=1 2222=0=2.已知渐近线 ，可设双曲线标准方程= 222=3，双曲线焦点到渐近线距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点.4B【解析】试题分析： ， .1()(2ffa1考点：分段函数值.5B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ,则2,+,+2,解得 ,又 ,则 ,2
10、+=+2 =62+2=5,=1 2=2(6)=43=43故选 B.6B【解析】【分析】先证明 底面 ，即得 为 与面 所成角，再根据等腰直角三角形得结果. 【详解】因为 底面 ，所以 ，又 ，所以 底面 ，因此 为 与面 所成角，因为 ，所以三角形 ACB 为腰直角三角形，即 ，从而 与面 = =45 所成角为 ，选 B. 45【点睛】线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角.7A【解析】试题分析：作出不等式组 的可行域12 xy由图可知，C（2，2），化目标函数 z=2x+y-5 为 y=-2x+z+5由图可知，当直线 y=-2x+z+5 过点 C 时，直线在 y
11、 轴上的截距最大， z 最大，等于 22+2-5=1故选：A 考点：线性规划8C【解析】【分析】根据垂径定理求得圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离公式求 k.【详解】因为 ，所以 ，2+264+5=0 (3)2+(2)2=8因此圆心到直线距离为 ,8(|2)2=83=5从而 ，选 C.|32+3|2+1=5=12或 =2【点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.9A【解析】试题分析： ，又 ,所以12AEDCABCA,又 ,那么12EDCB E.故本题选 A考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.10B
12、【解析】国为 为等差数列， ， ，所以 ,所 13=137 14=7(7+8) 70,80,0)12C【解析】试题分析：如下图所示，设 与 的内切圆相切于 ，则12,AF1P,NM，所以 ，所以1,ANMPQN122FAFA，所以12QF212()()MQP，所以 ，即 ，由 可得 ，所以该双曲24PQM24a2128Fc4线的离心率 ，故应选 ceaC考点：1、双曲线的简单几何性质【思路点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质、三角形内切圆的性质和切线长定理，考查了学生的作图能力及识图能力，属中档题 其一般解题思路为：首先作出草图，便于分析问题，然后运用切线长定理可得出 ，进而得出 的值，由
13、双曲线的定义可得出 的值，12QFM12PFa再由 可求出 的值，进而可求出双曲线的离心率12|8Fc13 5【解析】【分析】先根据向量垂直得 m，再根据向量模的定义求结果 .【详解】因为 ，所以 ,因此 122=0,=1 |=4+2=5.【点睛】(1)向量平行： ， ,/12=21 /,0,=11+1+(2)向量垂直： ，=012+12=0(3)向量加减乘： =(12,12),2=|2,=|14 60【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据正弦值求角.【详解】因为 ，所以 ,2=3 2=3,=32因为 A 为锐角，所以 =60.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正
14、、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.1563【解析】【分析】先作平面图形，再根据等腰三角形性质求解.【详解】如图，OF=OE,所以 .=2=2121= 11+(22)2=63【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解16【解析】【分析】根据定义求 值、求 的值域、解方程(2) () (2+1)=9， 再根据 结 果 进 行 选择 .【详解】因为 ,所以对;(2)=2(21)=21(2)=0因为当 时， ，当 时， ，(1,2 ()=20,1) (
15、12,1 ()=12(22)0,12)当 时， ，(12, 121 ()=12(22)0,12)当 时， ，(21,2 ()=21(2 121)0,21)因此当 时， ，+ 21+,120从而函数 的值域为 ；所以对;() 0,+)因为 ，所以由上可得 ,9(23,24) (2+1)=21(22+121)=9,14即 ， 无解.所以错；22=102121=521=1,21=6综上正确结论的序号是【点睛】合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用17（1） ；（2）=(+1)2 +2+12【解析】【分析】（1）根据条件“ 成
16、等比数列 ”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，1,2,4将原数列的和分为等差与等比数列的和.【详解】(1)设数列a n的公差为 d，由已知得，a a 1a4，即(1d) 213d，解得 d0 或 d1.又 d0，d1，可得 ann.(2)由(1)得 bnn2 n， T n(12 1) (22 2)(32 3)(n 2 n)(123n)(2 2 22 32 n) 2 n1 2.(+1)2【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 =,为 奇数2,为 偶数 =(1)2（如 ）=
17、318（1）单调递增区间为 ， ；（2）3+,6+, =0 1 3,3【解析】【分析】(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求增区间以及最大值，最后根据最大值为 3 求 的值；(2) 根据图象变换得 解析式，再根据 ()正弦函数性质求值域.【详解】（1）由已知 ()=23+1+2+=32+2+1+，令=2(2+6)+1+ 2+22+62+2,得： ，3+6+,函数 的单调递增区间为 , () 3+,6+,由函数 的最大值为 3，得 ， ；() 3+=3 =0（2）由（）知 ，()=2(2+6)+1，()=22(4)+6+1=2(23)+1，
18、， ，0,2 233,23 (23)32,1， 即 在 上的值域为 .2(23)+11 3,3 () 0,2 1 3,3【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等=(+)+特征19（1）见解析；（2）2【解析】【分析】(1)根据翻折前后不变关系得 根据计算利用勾股定理得 再根据线面垂直判, ,定定理得结论，(2)先根据等体积法得 ，再根据（ 1）得 AM 为三棱锥 的高，= 最后利用锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明：正六边形 ABCDEF 中，连接 AC、BE，交点 为 M，易
19、知 ，且 ， =3在多面体中，由 ，知 ，故 = 6 2+2=2 ,又 ,又 平面 ，故 平面 ， =, （2）连接 AE、CE,则 AM 为三棱锥 的高，MC 为 的高 在正六边形 ABCDEF 中， ，=2=4故 ， =124 3=23所以 =1323 3=2【点睛】立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.20（1） , ;(2)220+210=12=4 72+818=0【解析】【分析】（1）根据条件列方程组解得 a,b，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线 、OB 方程，分别与抛物
20、线、椭圆方程联立方程组解得 A,B 横坐标，再根据 A,B 横坐标和为 0 解斜率得 A,B 坐标，最后根据两点式求直线 AB 方程.【详解】(1) 由 得 ，又有 ，代入 ，解得 =22 =2 =10 2=2+2 =25所以椭圆方程为 220+210=1由抛物线的焦点为 得，抛物线焦点在 轴，且 ，(0,1) 2=1抛物线的方程为： 2=4(2)由题意点 位于第一象限，可知直线 的斜率一定存在且大于 0设直线 方程为： ， =0联立方程 得： ，可知点 的横坐标 ，即=2=4 2=4 =4 (4,42)因为 ，可设直线 方程为： =1连立方程 得： ，从而得=1220+210=1 2=202
21、1+22 = 2021+22若线段 的中点在 轴上，可知 ，即 =2021+22 ( 2021+22, 201+22)有 ，且 ，解得 4=2021+22 0 =24从而得 ， ( 2,12) ( 2,4)直线 的方程： 72+818=0【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.21（1） ；（2） 0a|01x或【解析】试题分析：先由极值定义 求出 ，再利用导数研究函数0fae0单调性，进而解出不等式21xge试题解析：因为 ，22211xfxaxae所以 ， 1 分2xf e因为 为 的极值点,所以由 ,解得0xf 0f
22、a0检验,当 时, ,当 时, ,当 时, .axfefxfx所以 为 的极值点,故 2 分0xf0a当 时,a不等式 ,21fxx211xex整理得 ,210xe即 或 ， 6 分20 1xe210xe令 ， , ，21xg1xhxge 1xhe当 时, ；当 时, ，00xhe0x所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，x,0h即 ,所以 在 上单调递增,而 ；0ggxR0g故 ； ，21xe210xex所以原不等式的解集为 10 分|0x或考点：函数极值，利用导数解不等式22（1） ；（2）见解析|11【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得 最小值，即得值域为 ，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得() 结果.【详解】（1）依题意，得()= 3,1,2,10(3)(2+1) 0 .2+13+3【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
