1、2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律( 难点 )2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算(重点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别(易混点)自 主 预 习探 新 知1向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法对于零向量与任一向量 a，规定 0 a0a. a2向量求和的法则三角形法则已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作a， b，则向量 A 叫做 a 与 b 的和，记作AB BC C ab，即 ab AB BC AC 平行四边形法则已知两个不共线向量 a，b，作 a， b
2、，以 ，AB AD AB 为邻边作 ABCD，则对角线上的向量 A ab.AD C 3向量加法的运算律(1)交换律：a bba.(2)结合律：(ab)ca(bc)基础自测1思考辨析(1)a(bc) (ab)c .( )(2) 0.( )AB BA (3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则( )解析 (1)正确(2)正确(3)错误平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和答案 (1) (2) (3)2. 等于( )CB AD BA A. B.DB CA C. D.CD DC C .CB AD BA CB BA AD CD 3如图 221，在平行四边形 ABCD 中， _.DA DC
3、图 221由平行四边形法则可知 .DB DA DC DB 合 作 探 究攻 重 难向量加法运算法则的应用探究问题1求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等(2)三角形法则，对应的物理模型是位移合成等2设 A1，A 2，A 3，A n(nN，且 n3)是平面内的点，则一般情况下， 的运算结果是什么？A1A2 A2A3 A3A4 An 1An 提示：将三角形法则进行推广可知 A1A2 A2A3 A3A4 An 1An .A1An (1)如图 222，在 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F 为线段 DE 延长线上一点
4、，DEBC，AB CF ，连接 CD，那么(在横线上只填上一个向量) ：图 222 _；AB DF _；AD FC _.AD BC FC (2)如图 223 甲所示，求作向量和 ab.如图 223 乙所示，求作向量和 abc .甲 乙图 223思路探究 (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简(2)用三角形法则或平行四边形法则画图(1) (1) 如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，AC AB AC 由向量加法的运算法则可知： .AB DF AB BC AC .AD FC AD DB AB .AD BC FC AD DF FC AC (2)首先作
5、向量 a，然后作向量 b，则向量 ab.如图所示OA AB OB 法一(三角形法则) ：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量 a，再作向量 b，则得向量 ab，然OA AB OB 后作向量 c ，则向量 (ab)c abc 即为所求BC OC 法二(平行四边形法则) ：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 a， b， c，以 OA，OBOA OB OC 为邻边作OADB ，连接 OD，则 a b.再以OD OA OB OD，OC 为邻边作ODEC，连接 OE，则 abc 即为所求OE OD OC 母题探究：1.在例 1(1)条件下，求 .CB CF 解 因为 BCDF，BD CF，所
6、以四边形 BCFD 是平行四边形，所以 .CB CF CD 2在例 1(1)图形中求作向量 .DA DF CF 解 过 A 作 AGDF 交 CF 的延长线于点 G，则 作 ，连结 ，DA DF DG GH CF DH 则 ，如图所示DH DA DF CF 规律方法 1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用(2)两个向量的和向量仍是一个向量(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用2利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连” ，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点” ，其和向量为共起点的“对角线”向量提醒：(1)当两个向量不共线时
7、，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2) 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半向量加法运算律的应用(1)设 a( )( )，b 是一个非零向量，则下列结论正AB CD BC DA 确的有_(将正确答案的序号填在横线上)ab；aba；abb；|ab| |a| |b|.(2)如图 224，E，F ，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：图 224 ；DG EA CB . EG CG DA EB 【导学号：84352180】思路探究 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加解 (1)由条件得：
8、( )( )0a，故选.AB CD BC DA (2) ；DG EA CB GC BE CB GC CB BE GB BE GE 0.EG CG DA EB EG GD DA AE ED DA AE EA AE 规律方法 向量加法运算律的意义和应用原则：1意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.,实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.2应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连” ，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.跟踪训练1已知正方形 ABCD 的边长等于 1
9、，则| |_.AB AD BC DC 2 | | | |2| |2 .2 AB AD BC DC AB BC AD DC AC AC AC 2向量加法的实际应用如图 225，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，ACW 150 ，BCW120，求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计) 【导学号：84352181】图 225思路探究 作 出 对 应 的 几 何图 形 ，构 造 有 关向 量 利 用 三 角 形 法 则 或平 行 四 边 形 法 则 运 算 回 答 实 际 问 题解 如图所示，设 ， 分别表示 A，B 所受的力，CE CF 10 N 的重力用 表
10、示，则 .CG CE CF CG 易得ECG180 15030，FCG180 120 60.| | |cos 3010 5 ，CE CG 32 3| | |cos 6010 5.CF CG 12A 处所受的力为 5 N，B 处所受的力为 5 N.3规律方法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤跟踪训练2如图 226 所示，一架飞机从 A 地按北偏东 35的方向飞行 800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 【导学号：84352182】图 226解 设 ， 分别表示飞机从 A 地按北偏东
11、 35的方向飞行 800 km，从AB BC B 地按南偏东 55的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路程指的是| | |；AB BC 两次飞行的位移的和指的是 .AB BC AC 依题意，有| | |800 8001 600(km) ，AB BC 又 35，55 ，ABC355590，所以| | AC |AB |2 |BC |2 8002 8002800 (km)2其中BAC 45 ，所以方向为北偏东 354580.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 km，2方向为北偏东 80.当 堂 达 标固 双 基1化简 等于 ( )AE EB BC A. B.A
12、B CE C. D.AC BE C .AE EB BC AC 2对于任意一个四边形 ABCD，下列式子不能化简为 的是( ) BC 【导学号：84352183】A. B. BA AD DC BD DA AC C. D. AB BD DC DC BA AD C 在 A 中 ；在 B 中 BA AD DC BD DC BC BD DA AC BA ；在 C 中 ；在 D 中 AC BC AB BD DC AD DC AC DC BA AD DC .BD BD DC BC 3在菱形 ABCD 中，DAB60，| |1，则| |_.AB BC CD 1 在菱形 ABCD 中，连接 BD(图略)，DAB
13、60 ，BAD 为等边三角形，又 | |1，| |1，AB BD | | |1.BC CD BD 4若 a 表示“向东走 8 km”，b 表示“向北走 8 km”，则|ab| _，ab 的方向是_8 km 东北方向 如图所示，作 a， b，2 OA AB 则 ab .OA AB OB 所以|ab| |OB 8 (km)，82 82 2因为AOB45 ，所以 ab 的方向是东北方向5如图 227 所示，设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量：图 227(1) ；OA OC (2) .BC FE 【导学号：84352184】解 (1)由题图可知，四边形 OABC 为平行四边形由向量加法的平行四边形法则，得 .OA OC OB (2)由题图可知， ，BC FE OD AO .BC FE AO OD AD
