1、周练卷(六)(时间:90 分钟 满分:120 分)【选题明细表】知识点、方法 题号空间向量的线性运算 3,10空间向量的数量积及坐标运算 2,5,9,14共线向量与共面向量 1,13利用空间向量求角 4,8,11,12,15,17,19,20利用空间向量证明平行、垂直 6,17,19利用空间向量求距离 7,16,18一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.设直线 l 的方向向量为 a=(1,-2,3),平面 的一个法向量为n=(x,y,-6),若 l,则 x-2y 等于( C )(A)18 (B)6 (C)-10 (D)-18解析:因为 l,所以 an,即(x,y,-6)=(1,-2,3
2、),得 x=-2,y=4.故 x-2y=-10.故选 C.2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,则 等于( C )1(A)1 (B)0 (C)3 (D)-3解析: =( - )( + + )= - +( - ) =1 1 2 2 14-1+0=3.故选 C.3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中, = ,若 =x +y( + ),11411 1 则( D )(A)x=1,y= (B)x= ,y=112 12(C)x=1,y= (D)x=1,y=13 14解析:因为 = + = + = + ( + ),所以 x=1,y= .故选 D.1 1 11411 114 1
3、44.(2018甘肃秦安月考)已知向量 a=(3,4,-3),b=(5,-3,1),则 a,b 的夹角是( C )(A)0 (B)45 (C)90 (D)135解析:cos= =0,所以 a,b 的夹角是 90.故选3543319+16+925+9+1C.5.(2017深圳高二期末)已知向量 a=(2,1,4),b=(1,0,2),且 a+b 与 ka-b 互相垂直,则 k 的值是( D )(A)1 (B) (C) (D)15 35 1531解析:a+b=(3,1,6),ka-b=(2k-1,k,4k-2),因为 a+b 与 ka-b 互相垂直,所以 3(2k-1)+k+6(4k-2)=0,解
4、得 k= ,1531故选 D.6.(2018湖北四校期中)已知平面 的法向量为 n=(2,-2,4),=(-3,1,2),点 A 不在 内,则直线 AB 与平面 的位置关系为( D )(A)AB (B)AB(C)AB 与 相交不垂直 (D)AB解析:因为 n =(2,-2,4)(-3,1,2)=-6-2+8=0,所以 n ,因为点 A 不在 内,所以 AB. 故选 D.7.在直角坐标系 xOy 中,设 A(2,2),B(-2,-3),沿 y 轴把坐标平面折成120的二面角后,AB 的长是( A )(A) (B)6 (C)3 (D)37 5 53解析:过 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为
5、 C,D,则| |=2,| |=2,| |=5,=60, 所以 =( + + )22 = + + +2 +2 +2 2 2 2 =4+25+4+222cos 60+0+0=37.| |= .故选 A. 378.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 E 是 AD 的中点,则异面直线 A1B 与 C1E 所成角的大小是( D )(A) (B) (C) (D)6 4 3 2解析:如图,建立空间坐标系,设正方体的棱长为 2,则 A1(0,0,2),B(2,0,0),C1(2,2,2),E(0,1,0),则 =(2,0,-2), =(-2,-1,-2),1 1因为 =-4+0+4=0,1 1所以
6、,1 1即异面直线 A1B 与 C1E 所成角为 .29.在以下命题中,不正确的个数为( C )|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;对 ab,则存在唯一的实数 ,使 a=b;对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 =2 -2 - , 则 P,A,B,C 四点共面;|(ab)c|=|a|b|c|.(A)2 (B)3 (C)4 (D)1解析:|a|-|b|=|a+b|a 与 b 的夹角为 ,故是充分不必要条件,故不正确;b 必须为非零向量,故不正确;因为 2-2-11,由共面向量定理知,不正确;由向量的数量积的性质知,不正确.故选 C.10.设 O-ABC 是正三棱锥
7、,G 1是ABC 的重心,G 是 OG1上的一点,且OG=3GG1,若 =x +y +z ,则(x,y,z)等于 ( A ) (A)( , , ) (B)( , , )141414 343434(C)( , , ) (D)( , , )131313 232323解析:由 G 是 OG1上一点,且 OG=3GG1,可得 = = ( + )= + ,34134 1 34341又因为 G1是ABC 的重心,所以 AG1= ( + ),2312 所以 = + ( + )= + ( - )+( - )= + + ,3434 2312 3414 141414而 =x +y +z ,所以 x= ,y= ,z
8、= ,所以(x,y,z)=( , , ),故选 A. 14 14 14 14141411.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 是 C1C 的中点,则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为( B )(A)- (B) (C)- (D)105 105 155 155解析:建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以 =(-2,-2,0), =(0,0,2), =(-2,0,1).1 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z).因为 n ,n ,1所以 所以22=0,2=0. =,=0. 令 y
9、=1,则 n=(-1,1,0).所以 cos= = ,设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为 ,| 105则 sin=|cos|= .故选 B.10512.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD,PA=AD=AC,点 F 为 PC 的中点,则二面角 C-BF-D 的正切值为( D )(A) (B) (C) (D)36 34 33 233解析:连接 BD 交 AC 于点 O,则 ACBD,连接 OF,则 OFPA,因为 PA平面 ABCD,所以 OF平面 ABCD,以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设 PA=AD=AC=2,则 OF=1,F(0,0,1
10、),B( ,0,0),C(0,1,0),D(- ,0,0),3 3所以 =(- ,1,0), =(- ,0,1), =(-2 ,0,0), =( ,0,1), 3 3 3 3设平面 BCF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 1=0,1=0,即 31+1=0, 31+1=0,令 x1=1,得 y1= ,z1= ,即 n1=(1, , ),3 3 3 3设平面 BDF 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 2=0,2=0,所以 232=0,32+2=0,令 y2=1,则 x2=0,z2=0,所以 n2=(0,1,0),所以 cos= = = ,12|1|2| 371 217设二面角
11、 C-BF-D 的平面角为 ,则 cos= ,217所以 tan= .故选 D.233二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.已知 A,B,C 三点不共线,O 是平面外任意一点,若由 = + + 确定的点 P 与 A,B,C 三点共面,1523 则 = . 解析:因为 + +=1,所以 = .1523 215答案:21514.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 值是 . 解析:因为向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以 ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),因为 ka+b 与 2a-b 互相
12、垂直,则(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-4=5k-7=0,解得 k= .75答案:7515.(2017上饶高二月考)如图 ABCD-A1B1C1D1是正方体,B 1E1=D1F1= A1B1,14则 BE1与 DF1所成角的余弦值是 . 解析:以 D 点为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1.由已知得 D(0,0,0),B(1,1,0),E1(1, ,1),34F1(0, ,1), =(0,- ,1), =(0, ,1),14 1 14 1 14所以 cos = = = ,1 11 1| 1|1|1516171617161
13、517所以 BE1与 DF1所成角的余弦值为 .1517答案:151716.(2017江西临川二中期中)在四棱锥 P-ABCD 中, =(4,-2,3),=(-4,1,0), =(-6,2,-8), 则该四棱锥的高为 . 解析:四棱锥 P-ABCD 中, =(4,-2,3), =(-4,1,0), =(-6,2,-8),设平 面 ABCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 可得=0,=0, 42+3=0,4+=0, 不妨令 x=3,则 y=12,z=4,可得 n=(3,12,4),则 =(-6,2,-8)在平面 ABCD 上的射影就是这个四棱锥的高 h,所以 h=| | |cos|=| |=
14、 =2, | |18+2432|13所以该四棱锥的高为 2.答案:2三、解答题(共 40 分)17.(本小题满分 10 分)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= ,AF=1,M 是2线段 EF 的中点.用向量方法证明与解答:(1)求证:AM平面 BDE;(2)试判断在线段 AC 上是否存在一点 P,使得直线 PF 与 AD 所成角为 60,并说明理由.(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设 ACBD=N,连接 NE,则点 N,E 的坐标分别是( , ,0),(0,0,1),22 22所以 =(- ,- ,1),A,M 坐标分别是( , ,0),( , ,
15、1),22 22 2 2 22 22所以 =(- ,- ,1),22 22所以 = 且 NE 与 AM 不共线,所以 NEAM.又因为 NE平面 BDE,AM平面 BDE,所以 AM平面 BDE.(2)解:设 P(t,t,0)(0t ),2得 =( -t, -t,1), 2 2因为 =(0, ,0), 2PF 和 AD 所成的角是 60,所以 cos 60=|(2) 2|(2)2+(2)2+1 2解得 t= 或 t= (舍去),22 322即点 P 是 AC 的中点时满足题设.18.(本小题满分 10 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别为 A
16、B,BC的中点.(1)求点 D 到平面 PEF 的距离;(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离.解:以 D 为原点, , , 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E(1, ,0),F( ,1,0),12 12所以 =(1, ,-1), =( ,1,-1), =(0,0,1),12 12 设平面 PEF 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,即 +12=0,12+=0,令 z=1 可得 x= ,y= ,所以 n=( , ,1).23 23 2323(1)因为 =(0,0,1),所以点 D
17、 到平面 PEF 的距离为 d= = ,| 31717所以点 D 到平面 PEF 的距离为 .31717(2)因为 =(0, ,0),12所以点 A 到平面 PEF 的距离为 d= = = ,|1349+49+1 1717所以直线 AC 到平面 PEF 的距离为 .171719.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=CB=CC1=2,E 是 AB 的中点.(1)求证:AB 1平面 A1CE;(2)求直线 A1C1与平面 A1CE 所成角的正弦值.(1)证明:因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1AC,CC 1BC,又ACB=90,即
18、 ACBC.以 C 为原点,CA,CB,CC 1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz(图略).A(2,0,0),B 1(0,2,2),E(1,1,0),A1(2,0,2),所以 =(-2,2,2), =(1,1,0), =(2,0,2).1 1又因为 =0, =0,1 1 1所以 AB1CE,AB 1CA 1,又 A1CCE=C,所以 AB1平面 A1CE.(2)解:由(1)知, =(-2,2,2)是平面 A1CE 的法向量, = =1 11 (2,0,0),所以|cos|= = .11 1 |11 1| 11|1| 33设直线 A1C1与平面 A1CE 所成的角
19、为 ,则 sin=|cos|= .11 1 33所以直线 A1C1与平面 A1CE 所成角的正弦值为 .3320.(本小题满分 10 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,H 是正方形 AA1B1B的中心,AA 1=2 ,C1H 平面 AA1B1B,且 C1H= .2 5(1)求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值;(2)求二面角 A-A1C1-B1的正弦值;(3)设 N 为棱 B1C1的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.依题意得 A(2 ,0,0),B(0,0,0),C(
20、 ,- , ),A1(2 ,2 ,0),2 2 2 5 2 2B1(0,2 ,0),C1( , , ).2 2 2 5(1)易得 =(- ,- , ), =(-2 ,0,0), 2 2 511 2于是 cos = = = .11 11|11| 4322 23所以异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值为 .23(2)易知 =(0,2 ,0), =(- ,- , ).1 2 11 2 2 5设平面 AA1C1的一个法向量 m=(x,y,z),则 1=0, 11=0,即 不妨令 x= ,可得 m=( ,0, ),=0, 2 2+5=0. 5 5 2同样地,设平面 A1B1C1的一个法向量 n=(
21、x1,y1,z1),则 11=0, 11=0,即 21 21+51=0,1=0. 不妨令 y1= ,可得 n=(0, , ),5 5 2于是 cos= = ,| 27从而 sin= = .1(27) 2375所以二面角 A-A1C1-B1的正弦值为 .375(3)由 N 为棱 B1C1的中点,得 N( , , ).22 322 52设 M(a,b,0),则 =( -a, -b, ),22 322 52由 MN平面 A1B1C1,得 11=0, 11=0,即( 22)(22)=0,( 22)( 2)+(322)( 2)+525=0,解得 因此 =( , ,0).=22,=24. 22 24所以线段 BM 的长| |= = .( 22) 2+( 24) 2 104
