1、1第 4 讲 数列求和与综合问题高考统计定方向热点题型 真题统计 命题规律题型 1：数列中 an与 Sn的关系 2017 全国卷T17题型 2：裂项相消法求和 2017 全国卷T17题型 3：错位相减法求和 2014 全国卷T171.主要以解答题的形式考查.2.重点考查裂项相消法求和及数列中 an与 Sn的关系.题型 1 数列中 an与 Sn的关系核心知识储备数列 an中， an与 Sn的关系：anError!高考考法示例角度一 已知 Sn的关系式求 an【例 11】 (1)已知数列 an的前 n 项和 Sn2 ，则 an_.12n 1(2)已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n23 n k
2、，则 an_.(1) (2)Error! (1)当 n1 时， a1 S12 1.12n 1 120当 n2 时， an Sn Sn1 ，(212n 1) (2 12n 2) 12n 1a11 也适合上式，从而 an .12n 1(2)当 n1 时， a1 S1 k1，当 n2 时， an Sn Sn1 (2 n23 n k)2( n1) 23( n1) k4 n5.因此 anError!.角度二 已知 Sn与 an的关系求 an【例 12】 (1)设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S24， an1 2 Sn1， nN *，则an_.2(2)(2018成都模拟)数列 an满足 a1 n2
3、(nN *)，则数列 an的通a222 a332 ann2项公式 an_.(1)3n1 (2)2 n3 n2 (1)由Error!解得 a11， a23，当 n2 时，由已知可得：an1 2 Sn1，an2 Sn1 1，得 an1 an2 an， an1 3 an.又 a23 a1， an是首项为 1，公比为 3 的等比数列an3 n1 .(2)当 n1 时， a11，当 n2 时，由 a1 n2得a222 a332 ann2a1 ( n1) 2，a222 a332 an 1 n 1 2两式相减得 2 n1，ann2所以 an2 n3 n2.又 a11 满足上式，所以 an2 n3 n2.方法
4、归纳 由 an与 Sn的关系求通项公式的注意事项1 应重视分类讨论思想的应用，分 n1 和 n2 两种情况讨论，特别注意an Sn Sn1 成立的前提是 n2.2 由 Sn Sn1 an推得 an，当 n1 时， a1也适合，则需统一表示“ 合写”.3 由 Sn Sn1 an推得 an，当 n1 时， a1不适合，则数列的通项公式应分段表示“ 分写” ，即 an .对点即时训练1(2018中原名校模拟)记数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn3 an1，则 a10( )A B C. D.39210 310210 39210 310210A 由 Sn3 an1，得 S n1 3 an1 1，
5、得 an1 3 an1 3 an，得an1 an，又 a13 a11，所以 a1 ，故数列 an是以 为首项， 为公比的等比数列，32 12 12 32所以 an n1 ，故 a10 9 .故选 A.(12)(32) 12 (32) 3921032(2018沈阳模拟)设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a11， an1 SnSn1 ，则Sn_. 1n an1 Sn1 Sn， an1 SnSn1 ， Sn1 Sn SnSn1 . Sn0， 1，即1Sn 1Sn 1 1.又 1， 是首项为1，公差为1 的等差数列1Sn 1 1Sn 1S1 1Sn 1( n1)(1) n， Sn .1Sn 1n
6、题型 2 裂项相消法求和核心知识储备1裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于 或 (其中 an为等差数列)等形式的数列求和1anan 1 1anan 22常见的裂项类型(1) ；1n n k 1k(1n 1n k)(2) ；1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)(3) ( )1n n k 1k n k n高考考法示例【例 2】 (2018大连模拟)已知数列 an是公差为 2 的等差数列，数列 bn满足b11， b2 ，若 nN *时， anbn1 bn1 nbn.12(1)求 bn的通项公式；(2)设 cn ，求 cn的前 n
7、 项和 Sn.1anan 1解 (1)因为 anbn1 bn1 nbn，当 n1 时 a1b2 b2 b1.因为 b11， b2 ，所以 a13，12又因为 an是公差为 2 的等差数列，所以 an2 n1，4则(2 n1) bn1 bn1 nbn.化简，得2bn1 bn，即 ，bn 1bn 12所以数列 bn是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，12所以 bn n1 .(12)(2)由(1)知， an2 n1，所以 cn 1anan 1 1 2n 1 2n 3 ，12( 12n 1 12n 3)所以 Sn c1 c2 c3 cn12(13 15 15 17 12n 1 12n 3) .12
8、(13 12n 3) n6n 9(教师备选)Sn为数列 an的前 n 项和已知 an0， a 2 an4 Sn3.2n(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 1解 (1)由 a 2 an4 Sn3，可知 a 2 an1 4 Sn1 3.2n 2n 1可得 a a 2( an1 an)4 an1 ，2n 1 2n即 2(an1 an) a a ( an1 an)(an1 an)2n 1 2n由于 an0，所以 an1 an2.又由 a 2 a14 a13，解得 a11(舍去)或 a13.21所以 an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an
9、2 n1.(2)由 an2 n1 可知 bn 1anan 1 1 2n 1 2n 3 .12( 12n 1 12n 3)设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则Tn b1 b2 bn .1213 15 15 17 12n 1 12n 3 n3 2n 3方法归纳 1裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式 an拆分成5an bn k bn(k1， kN *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 an的通项公式，使之符合裂项相消的条件2消项时要注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般是前边剩几项，后边就剩几项对点即时训练已知数列 an是递增的等比数列，且 a
10、1 a49， a2a38.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Sn为数列 an的前 n 项和， bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.an 1SnSn 1解 (1)由题设知 a1a4 a2a38，又 a1 a49，可得Error!或Error!(舍去)由 a4 a1q3得公比 q2，故 an a1qn1 2 n1 .(2)Sn 2 n1.a1 1 qn1 q又 bn ，an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1所以 Tn b1 b2 bn 1(1S1 1S2) (1S2 1S3) (1Sn 1Sn 1) 1S1 1Sn 1.12n 1 1题型 3 错位相减法求
11、和核心知识储备1错位相减法适用于由一个等差数列 an和一个等比数列 bn对应项的乘积构成的数列 anbn的求和2设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q，则Sn a1b1 a2b2 a3b3 anbn，qSn a1b2 a2b3 an1 bn anbn1 ，因此(1 q)Sn a1b1 d(b2 b3 b4 bn) anbn1 .高考考法示例【例 3】 (2018青岛模拟)在公差不为 0 的等差数列 an中， a a3 a6，且 a3为2a1与 a11的等比中项(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn an2an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.思路点拨 (1) 列 关 于 a1
12、， d的 方 程 组 求 a1， d 求 an6(2) 求 bn 写 出 Tn 错 位 相 减 法 求 解解 (1)设数列 an的公差为 d，因为 a a3 a6，所以( a1 d)2 a12 d a15 d 2因为 a a1a11，即( a12 d)2 a1(a110 d) 23因为 d0，由解得 a12， d3，所以数列 an的通项公式为 an3 n1.(2)bn an2an(3 n1)2 3n1 ，所以 Tn22 252 582 8(3 n4)2 3n4 (3 n1)2 3n1 8Tn22 552 8(3 n4)2 3n1 (3 n1)2 3n2 得7 Tn22 232 532 832
13、3n1 (3 n1)2 3n2 ，所以 Tn 23n2 ，4049 21n 1049所以数列 bn的前 n 项和Tn .40 21n 10 23n 249方法归纳 用错位相减法求和时应注意的问题1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形2在写出“ Sn”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” ，以便于下一步准确地写出“ Sn qSn”的表达式3应用等比数列求和公式必须注意公比 q 是否等于 1，如果不能确定公比 q 是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查对点即时训练已知数列 an的前 n 项和 Sn3 n28 n， bn是等差数列，且 an bn bn
14、1 .(1)求数列 bn的通项公式；(2)令 cn .求数列 cn的前 n 项和 Tn. an 1 n 1 bn 2 n解 (1)由题意知当 n2 时， an Sn Sn1 6 n5，当 n1 时， a1 S111，所以 an6 n5.设数列 bn的公差为 d，由Error! ，即Error!，可解得 b14， d3，所以 bn3 n1.(2)由(1)知 cn 3( n1)2 n1 ， 6n 6 n 1 3n 3 n又 Tn c1 c2 c3 cn，7得 Tn322 232 342 4( n1)2 n1 ，2Tn322 332 442 5( n1)2 n2 ，两式作差，得 Tn322 22 3
15、2 42 n1 ( n1)2 n2 34 ( n1)2 n2 4 2n 12 13 n2n2所以 Tn3 n2n2 .1(2017全国卷)等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a33， S410，则 n k 1_.1Sk设等差数列 an的公差为 d，则2nn 1由Error! 得Error! Sn n1 1 ，n n 12 n n 12 2 .1Sn 2n n 1 (1n 1n 1) n k 11Sk 1S1 1S2 1S3 1Sn2 (112 12 13 13 14 1n 1n 1)2 .(11n 1) 2nn 12(2017全国卷 )设数列 an满足 a13 a2(2 n1) an2 n
16、.(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1解 (1)因为 a13 a2(2 n1) an2 n，故当 n2 时，a13 a2(2 n3) an1 2( n1)，两式相减得(2 n1) an2，8所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a12，满足上式，所以 an的通项公式为 an .22n 1(2)记 的前 n 项和为 Sn.an2n 1由(1)知 ，an2n 1 2 2n 1 2n 1 12n 1 12n 1则 Sn .11 13 13 15 12n 1 12n 1 2n2n 1一、数列中的数学文化【例 1】 (1)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生
17、一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长 3 尺莞生长 1 日，长 1 尺蒲的生长速度逐日减半，莞的生长速度逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 ( )(结果保留一位小数，参考数据：lg 20.30，lg 30.48)A1.3 日 B1.5 日C2.6 日 D2.8 日(2)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日” 其大意为：官府陆续派遣 1 864 人前往修筑
18、堤坝第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升，共发出大米 40 392 升，问修筑堤坝多少天 ”在这个问题中，第 5 天应发大米 ( )A894 升 B1 170 升C1 275 升 D1 467 升思路点拨 (1)设所需的时间为 n，依题意构造等比数列，利用等比数列的前 n 项和公式，即可得到关于 n 的方程，解方程，即可求出 n 的值(2)每天派出的人数组成等差数列，第 5 天应发大米的人数是这 5 天派出的总人数，因此只需算出这 5 天派出的总人数即可解析 (1)设蒲的长度组成的等比数列 an(a13，公比为 )的前 n 项和
19、为 An，莞的129长度组成的等比数列 bn(b11，公比为 2)的前 n 项和为 Bn，则 An 63(1 12n)1 12， Bn 2 n1.(112n) 1 1 2n1 2依题意得 6 2 n1，所以 2n 7，解得 2n6 或 2n1(舍去)，所以 n(112n) 62n1 2.6，所以所需时间约为 2.6 日，故选 C.lg 6lg 2 lg 3lg 2(2)由题意知，每天派出的人数构成首项为 64，公差为 7 的等差数列，则第 5 天的总人数为 564 7390，所以第 5 天应发大米 39031 170 升，故选 B.542答案 (1)C (2)B体会领悟 以数学文化为背景的数列
20、题是近几年高考的热点，本例中两个题均以我国古代数学著作中的问题为背景命制的有关等比 差 数列的前 n 项和的问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，体现了应用性和创新性.破解此类题的关键是褪去数学文化的背景，将其转化为常规的数学问题进行求解.二、数列与其他知识的交汇创新预测 1：与数列有关的新定义问题【例 2】 如果一个数列的每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列 an是等和数列，且 a13，公和为4，那么数列 an的前 25 项和 S25的值为_解析 由题意知， an an1 4，且 a13，所以 a1 a24，得a21，
21、a33， a41， a241， a253，即数列 an是周期为 2 的数列，所以S25(31)(31)(31)3124351.答案 51预测 2：数列与函数、平面向量交汇【例 3】 (1)对于函数 y f(x)，部分 x 与 y 的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列 xn满足： x11，且对于任意 nN *，点( xn， xn1 )都在函数 y f(x)的图象上，则 x1 x2 x2 018( )A7 564 B7 549C7 546 D7 53910(2)设数列 an满足 a2 a410，点 Pn(n， an)对任意的 nN *
22、，都有向量 PnPn1 (1,2)，则数列 an的前 n 项和 Sn_.解析 (1)数列 xn满足 x11，且对任意 nN *，点( xn， xn1 )都在函数 y f(x)的图象上， xn1 f(xn)，由图表可得 x2 f(x1)3， x3 f(x2)5， x4 f(x3)6， x5 f(x4)1，数列 xn是周期为 4 的周期数列， x1 x2 x2 018504( x1 x2 x3 x4) x1 x25041547 564.故选 A.(2) Pn(n， an)， Pn1 (n1， an1 )， PnPn1 (1， an1 an)(1,2)， an1 an2， an是公差 d 为 2 的
23、等差数列又由 a2 a42 a14 d2 a14210，解得 a11， an2 n1， Sn n2 n2.n n 12答案 (1) A (2) n2预测 3：数列与不等式交汇【例 4】 (1)已知等比数列 an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，则 S4a5与 S5a4的大小关系是( )A S4a5 S5a4 B S4a5 S5a4C S4a5 S5a4 D S4a5 S5a4(2)已知数列 an的前 n 项和 Sn n29 n，第 k 项满足 5 ak8，则 k( )A9 B8 C7 D6解析 (1) S4a5 S5a4( a1 a2 a3 a4)a4q( a1 a2 a3 a4 a5)a
24、4 a1a4 a q30.21 S4a5 S5a4，故选 A.(2)ak Sk Sk1 k29 k( k1) 29( k1)2 k10，由 5 ak8，得 52 k108，即 k9.152又 kN *，故 k8.答案 (1)A (2)B体会领悟 解决数列与其他知识的交汇问题，可利用函数与方程的思想以及转化与化归的思想.三、规范答题数列11规范示例(12 分)(2018全国卷)已知数列 an满足 a11， nan1 2( n1) an.设bn .ann(1)求 b1， b2， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式.信息提取 解题路线图1.看到求 b1，
25、b2， b3想到求 a1， a2， a3.2.看到判断数列 bn是否为等比数列，想到等比数列的定义.3.看到求 an的通项公式，想到 an与 bn的关系.标准答案 阅卷现场(1)由条件可得 an1 an.2 n 1n将 n1 代入得， a24 a1，而 a11，所以，a24. 将 n2 代入得， a33 a2，所以， a312.从而 b11， b22， b34. (2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得 ，即 bn1 2 bn，an 1n 1 2ann又 b11，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 (3)由(2)可得 2 n1 ， ann所以 an n2n1 .
26、第(1)问 第(2)问第(3)问 1 1 2 1 2 1 2 2得分点 4 4 4正确求出 a2得 1 分；正确求出 a3得 1 分；正确求出 b1， b2， b3得 2 分；给出结论得 1 分；正确写出 ，即 bn1 2 bn得an 1n 1 2ann2 分；根据 b11，得出结论得 1 分，不写出b11，不得分；得到 2 n1 得 2 分，错误不得分；ann正确得到 an的表达式得 2 分.满分心得 （1）熟练应用数列的递推公式，根据数列的递推公式，能够正确写出数列的各项，这是正确解题的前提.12（2）注意利用第（2）问的结果：善于利用上一问的结果，可快速解题，如本题第（3）问，根据 bn与 an的关系，利用第（2）问的结论，可迅速求解.
