1、1寒假训练 09 抛物线2018哈尔滨联考如图所示，直线 l经过抛物线 24yx的焦点 F，且与抛物线相交于A， B两点（1）若 4AF，求点 A的坐标；（2）求线段 B的长的最小值【答案】 （1） 3,2或 ,3；（2）4【解析】由 4yx，得 p，其准线方程为 1x，焦点 ,0F设点 1,A， 2,B如图，分别过点 ， 作准线的垂线，垂足分别为点 A， B（1）由抛物线的定义可知， 12pAFx 4AF， 13x， y， 13y点 的坐标为 ,2或 ,（2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 1ykx，由 214ykx消去 y，整理得 22240kx，直线 l与抛物线相交于 A，
2、B两点， 典题温故2设方程的两根为 1x， 2，则 124xk，由抛物线的定义可知， 2ABp当直线 l的斜率不存在时，则直线 l的方程为 1x，与抛物线相交于点 1,2A，1,2B，此时 4综上可得 4，线段 A的长的最小值为 4一、选择题12018华师附中抛物线 2yx的焦点坐标为（）A ,0B 1,0C 10,4D 10,822018牡丹江一中如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，焦点为 4,，那么抛物线的方程是（）A 216yxB 21yxC 216yxD 21yx32018牡丹江一中已知 F是抛物线 2的焦点， A， B是该抛物线上的两点，3FB，则线段 A的中点到 y轴的距离为（
3、）A 4B1 C 54D 7442018枣庄八中设抛物线 2yx的焦点为 F，过点 作直线 l交抛物线于 A，B两点，若线段 A的中点 E到 轴的距离为 5，则弦 AB的长为（）A10 B12 C14 D1652018赤峰二中如图，过抛物线 20ypx的焦点 F的直线交抛物线于点 A、B，交其准线 l于点 C，若点 F是 A的中点，且 4A，则线段 AB的长为（）3A5 B6 C 163D 20362018赣州模拟已知点 F为抛物线 28yx的焦点， O为原点，点 P是抛物线准线上一动点，点 在抛物线上，且 4A，则 P的最小值为（）A6 B 2C 213D 42572018林芝二中顶点在原点
4、，且过点 4,的抛物线的标准方程是（）A 24yxB 2xyC 或 2yD 4或 2y82018遂宁期末设抛物线 2:0Cypx，过点 ,0Mp的直线 l与抛物线相交于 A， B两点， O为坐标原点，设直线 OA， B的斜率分别为 1k， 2，则 12k（）A 1B2 C 2D不确定92018遂宁期末已知抛物线 20ypx上一动点到其准线与到点 0,4的距离之和的最小值为 32， F是抛物线的焦点， O是坐标原点，则 MOF 的内切圆半径为（）A 2B C 21D 2102018荆州期末已知抛物线 20ypx的焦点为 F，准线为 l，抛物线上有一点 P，过点 作 Ml，垂足为 ，且 MP，若
5、P 的面积为 3，则 p等于（）A 12B 1C 2D 44112018保定期末已知点 2,1P是抛物线 2:Cxmy上一点， A， B是抛物线 C上异于 P的两点， A， B在 x轴上的射影分别为 1A， B，若直线 P与直线 的斜率之差为 1， 0,Dt， 24t，则 1D 的面积的最大值为（）A6 B8 C10 D16122018金山中学已知抛物线 20ypx的焦点为 F，过 的直线交抛物线于， B两点（ A在 x轴上方） ，延长 O交抛物线的准线于点 C，若 3ABF，3C，则抛物线的方程为（）A 2yxB 2yxC 23yxD 24yx二、填空题132018乌鲁木齐七十中若点 P到点
6、 4,0F的距离比它到直线 50x的距离少 1，则动点 P的轨迹方程是_142018银川一中已知抛物线 2xay的焦点恰好为双曲线 2yx的上焦点，则a_152018如皋中学若抛物线 20ypx上的点 2,Am到焦点的距离为 6，则p_162018湖南十校期末已知双曲线214yx的两条渐近线分别与抛物线 2xpy0p的准线交于 A， B两点 O为坐标原点若 OAB 的面积为 2，则 的值为_三、解答题172018成都外国语（1）求与双曲线214xy有相同的焦点且过点 2,1P的双曲线标准方程；（2）求焦点在直线 20xy上的抛物线的标准方程5182018银川一中已知点 2,8A在抛物线 20y
7、px上，直线 l和抛物线交于 B，C两点，焦点 F是三角形 BC的重心， M是 BC的中点（不在 x轴上） （1）求 M点的坐标；（2）求直线 l的方程6寒假训练 09 抛物线一、选择题1 【答案】D【解析】将抛物线方程化为标准方程为 21xy，可知 14p，焦点坐标为 10,8，选 D2 【答案】C【解析】抛物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，焦点为 4,0，可设抛物线的方程为 20ypx， 42p， 8， 16，选 C3 【答案】C【解析】设 1,Axy， 2,Bxy，则由抛物线定义得 124AFBx， 3F， 134， 125x，即线段 的中点横坐标为 54，从而线段 的中点到 y轴的距离
8、为 5，选 C4 【答案】D【解析】由抛物线方程可知 6p， 12126pABFxx，由线段 AB的中点 E到 y轴的距离为 5得 125， AB，故选D5 【答案】C【解析】设 A、 B在准线上的射影分别为为 M、 N，准线与横轴交于点 H，则 Fp，7由于点 F是 AC的中点， 4F， 42AMp， ，设 BNx，则 BH，即 2x，解得 3x， 1643，故选 C6 【答案】C【解析】 28yx， 2,0F，准线方程为 2x，设 ,Ax，则 4A，即 Ax，代入 8y，得 216y，不妨取 4y，即 2,，设 关于准线 x的对称点为 ,Qxy，可得 6,4，故 26413PAO，故选 C
9、7 【答案】C【解析】抛物线的顶点在原点，且过点 4,，设抛物线的标准方程为 20xpy或 20ypx，将点 4,的坐标代入抛物线的标准方程 得 168p， 2p，此时抛物线的标准方程为 24xy；将点 4,的坐标代入抛物线的标准方程 0px，同理可得 2p，此时抛物线的标准方程为 24yx，综上可知，顶点在原点，且过点 ,的抛物线的标准方程是 24yx或 2y故选 C8 【答案】C8【解析】设 l的方程为 xmyp， 1,Axy， 2,Bxy，由 2xmyp，得 220， 12p，又 12ypx， 221124ypx，212k，故选 C9 【答案】D【解析】通过图像将到准线的距离转化为到焦点
10、的距离，到其准线与到点 0,4M的距离之和的最小值，也即为 AMF最小，当 A、 F、 M三点共线时取最小值， 32FM，解得 2,0F，由内切圆的面积公式 2abcSr，解得 故选 D10 【答案】B【解析】如图所示，根据 PF可知 P 为等边三角形，设等边三角形的边长为 a，且 PMF 的面积为 3，9 132a，解得 2a， 2MF， 60MFO， 1cos60p故选 B11 【答案】B【解析】点 2,1P是抛物线 2:Cxmy上一点， 4m，直线 A与直线 B的斜率之差为 1，设21,xA，2,xB，22114x， 124x， 14，因此 1ABD 的面积的最大值为 8，故选 B12
11、【答案】C【解析】设 3Fa，设直线 A的倾斜角为 ，直线的斜率为 1cos2， 3，直线 AB的方程为 3pyxxp，联立23ypx， 22103x， 32AxP， 6Bpx， 3Ayp， 3Byp， 36OBpk，直线 O方程为 23yx，令 2x， C， CAy， x 轴 ， 32p， 3p， 2yx故选 C二、填空题13 【答案】 216yx【解析】点 P到点 4,0F的距离比它到直线 50x的距离少 1，点 到点 ,的距离与到直线 4的距离相等，10其轨迹为抛物线，焦点为 4,0F，准线为 40x，方程为 216yx，故答案为 216y14 【答案】8【解析】抛物线 20xay的焦点
12、为 0,4a，双曲线 2yx的焦点为 02,， 0a， 4， 8，故答案为 815 【答案】8【解析】根据抛物线方程可知准线方程为 2px，抛物线 20ypx上的点 ,Am到焦点的距离为 6，根据抛物线的定义可知其到准线的距离为 6， 26， 8故答案为 816 【答案】 4p【解析】双曲线21yx的两条渐近线方程 2yx，又抛物线 0xp的准线方程是 p，故 A， B两点的横坐标坐标分别是 14y，又 O 的面积为 1， 2p， 0p，得 4p，故答案为 三、解答题17 【答案】 （1）213xy；（2） 24xy或 28x【解析】 （1）由题得 6c， 6cab，设双曲线的标准方程为 21
13、0,xyab，代点 P的坐标得 241ab，解方程组2641ab得 23，21xy11（2）焦点在直线 20xy上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点的坐标为 0,1A或 ,，若抛物线以 y轴对称式，设方程为 2xpy， 1，求得 2p，此抛物线方程为24x；若抛物线以 x轴对称式，设方程为 2ypx， 2，求得 4p，此抛物线方程为 28yx；故所求的抛物线的方程为 4y或 28x18 【答案】 （1） ,；（2） 0【解析】 （1）由点 ,8A在抛物线 2ypx上，有 28p，解得 16抛物线方程为 23yx，焦点 F的坐标为 ,08,0F是 BC 的重心， M是 BC的中点，设点 M的坐标为 0,xy，则 23A，点 M的坐标为 1,4（2）由于线段 的中点 不在 x轴上， 所在的直线不垂直于 x轴设 BC所在直线的方程为 410yk，由 2413ykx消 得 234k， 1k，由（2）的结论得 12y，解得 ，因此 BC 所在直线的方程为 40x
