1、2.2.2 对数函数及其性质第 1 课时 对数函数的图象及性质学习目标：1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域(重点、难点)2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质(重点)自 主 预 习探 新 知1对数函数的概念函数 ylog ax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0， ) 思考 1：函数 y2log 3x，ylog 3(2x)是对数函数吗？提示 不是，其不符合对数函数的形式2对数函数的图象及性质a 的范围 01图象定义域 (0，)值域 R定点 (1,0)，即 x1 时，y0性质 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是
2、增函数思考 2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示 底数 a 与 1 的关系决定了对数函数的升降；当 a1 时，对数函数的图象“上升” ；当 00，且 a1) 和对数函数 ylog ax(a0 且 a1)互为反函数基础自测1思考辨析(1)对数函数的定义域为 R.( )(2)ylog 2x2 与 logx3 都不是对数函数( )(3)对数函数的图象一定在 y 轴右侧( )(4)函数 ylog 2x 与 yx 2 互为反函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2函数 ylog ax 的图象如图 221 所示，则实数 a 的可能取值为( )图 221A5 B.15C. D.1e 12A
3、 由图可知，a1，故选 A.3若对数函数过点(4,2) ，则其解析式为_f(x)log 2x 设对数函数的解析式为 f(x)log ax(a0 且 a1)由 f(4)2 得loga42，a2，即 f(x)log 2x.4函数 f(x)log 2(x1)的定义域为_. (1， ) 由 x10 得 x1，故 f(x)的定义域为(1，)合 作 探 究攻 重 难对数函数的概念及应用(1)下列给出的函数：y log 5x1；ylog ax2(a0，且 a1)；ylog ( 1) x；3y log3x；ylog x (x0，且 x1)；13 3ylog x.其中是对数函数的为( )2A BC D(2)若函
4、数 ylog (2a1) x(a 25a4)是对数函数，则 a_. (3)已知对数函数的图象过点(16,4) ，则 f _.(12)(1)D (2)4 (3)1 (1)由对数函数定义知，是对数函数，故选 D.(2)因为函数 ylog (2a1) x(a 25a4)是对数函数，所以Error!解得 a4.(3)设对数函数为 f(x)log ax(a0 且 a1)，由 f(16)4 可知 loga164，a2，f(x)log 2x，f log 2 1.(12) 12规律方法 判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1若函数 f(x)(a 2a 5)logax 是对数函数，则 a_.2 由 a2a51
5、得 a3 或 a2.又 a0 且 a 1，所以 a2.对数函数的定义域求下列函数的定义域(1)f(x) ；(2)f(x) ln(x 1)；12 x(3)f(x) log(2x1) (4x8). 解 (1)要使函数 f(x)有意义，则 log x10 ，即 log x1，解得 02 且 x3，所以函数定义域为(2,3) (3，) (2)要使函数有意义，需满足Error!解得1a31a2a10.2函数 ya x与 ylog ax(a0 且 a1)的图象有何特点？提示：两函数的图象关于直线 yx 对称(1)当 a1 时，在同一坐标系中，函数 ya x 与 ylog ax 的图象为( )A B C D
6、(2)已知 f(x)log a|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象. 思路探究：(1)结合 a1 时 ya x x及 ylog ax 的图象求解(1a)(2)由 f(5)1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图(1)C (1) a1，01 ”去掉，函数“ylog ax”改为“ylog a(x )”，则函数 ya x 与 ylog a(x) 的图象可能是( )C 在 ylog a(x)中，x0，x0，图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D；当 a1 时，y log a(x )是减函数，ya x x是减函数，故排除 B；(1a)当 0a1 时，y log a(x )是增函数，ya
7、x x是增函数，C 满足条件，故选 C.(1a)2把本例(2)改为 f(x) 2，试作出其图象|log2x 1|解 第一步：作 ylog 2x 的图象，如图(1)所示(1) (2) 第二步：将 ylog 2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得 ylog 2(x1)的图象，如图(2)所示第三步：将 ylog 2(x1)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的对称变换，得y|log 2(x1)|的图象，如图(3)所示第四步：将 y|log 2(x1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示(3) (4) 规律方法 函数图象的变换规律1一般地，函
8、数 yfxaba，b 为实数的图象是由函数 yfx的图象沿 x轴向左或向右平移|a|个单位长,度，再沿 y 轴向上或向下平移|b| 个单位长度得到的.2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到,的.一般地，yf| xa| 的图象是关于直线 xa 对称的 ,轴对称图形；函数 y| fx|的图象与 yfx的图象在,fx0 的部分相同，在 fx0，且 a1)Cylog ax2(a0，且 a1)Dyln xD 结合对数函数的形式 ylog ax(a0 且 a1)可知 D 正确2函数 f(x) lg(53x)的定义域是( ) lg xA. B.0，53) 0，53C. D.1，53) 1，53C 由
9、 Error!得Error!即 1x .533 （2018全国卷）下列函数中，其图象与函数 yln x 的图象关于直线x1 对称的是 ( )Ayln(1x ) Byln(2x)Cyln(1 x ) Dyln(2x )B 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x， y)，则其关于直线 x1 的对称点的坐标为(2x ，y )，由对称性知点(2x，y) 在函数 f(x)ln x 的图象上，所以 yln(2x )故选 B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数 yln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C ，D，选 B.4函数 f(x)log a(2x5)的图象恒过定点_ (3,0) 由 2x51 得 x3，f(3)log a10.即函数 f(x)恒过定点(3,0)5已知 f(x)log 3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若 f(a)f(2)，利用图象求 a 的取值范围. 解 (1)作出函数 ylog 3x 的图象如图所示(2)令 f(x)f(2)，即 log3xlog 32，解得 x2.由图象知：当 0a2 时，恒有 f(a)f(2)所以所求 a 的取值范围为 0a2.
