1、2.1.2 指数函数及其性质第 1 课时 指数函数的图象及性质学习目标：1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点)2. 能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点)自 主 预 习探 新 知1指数函数的概念一般地，函数 ya x(a0，且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1?提示 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由：(1)如果 a0 ，当 x0 时，a x恒等于 0；当 x0 时，a x无意义(2)如果 a0 且 a1.2指数函数的图象和性质
2、a1 0a1图象定义域 R值域 (0，)过定点 (0,1)，即当 x0 时，y 1单调性 在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数性质奇偶性 非奇非偶函数对称性 函数 ya x与 ya x 的图象关于 y 轴对称基础自测1思考辨析(1)yx 2 是指数函数( )(2)函数 y2 x不是指数函数( )(3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方( )答案 (1) (2) (3)2函数 y3 x 的图象是( )A B C DB y3 xx，B 选项正确(13)3若指数函数 f(x)的图象过点 (3,8)，则 f(x)的解析式为 ( ) Af(x) x 3 Bf(x)2 xCf(x)xDf(x) x(
3、12)B 设 f(x)a x(a0 且 a 1)，则由 f(3)8 得a38，a2，f(x ) 2x，故选 B.4函数 ya x(a0 且 a 1)在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是_(1， ) 结合指数函数的性质可知，若 ya x(a0 且 a1)在 R上是增函数，则 a1.合 作 探 究攻 重 难指数函数的概念(1)下列函数中，是指数函数的个数是( )y(8) x；y 2x21；ya x；y(2a1) x ；y 23 x.(a12，且 a 1)A1 B2C3 D0(2)已知函数 f(x)为指数函数，且 f ，则 f(2)_. ( 32) 39(1)A (2) (1)为指数函数；19中
4、底数80 且 a1 时，才是指数函数；中 3x前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数，故选 A.(2)设 f(x)a x(a0 且 a1)，由 f 得 a ，所以 a3，又 f(2)( 32) 39 39a 2 ，所以 f(2) 3 2 .19规律方法 1在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为 1.2求指数函数的解析式常用待定系数法跟踪训练1已知函数 f(x)(2a1) x是指数函数，则实数 a 的取值范围是_(1，) 由题意可知Error!解得 a ，且 a1，(12，1)
5、 12所以实数 a 的取值范围是 (1，)(12，1)指数函数的图象的应用(1)函数 f(x)a xb 的图象如图 211 所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )图 211Aa1，b1，b0C00 D00，且 a1)的图象过定点_. (1)D (2)(3,4 ) (1)由于 f(x)的图象单调递减，所以 00，b0，且 a1)的图象过定点(3,4)规律方法 指数函数图象问题的处理技巧1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.跟踪训练2已知 f
6、(x)2 x的图象，指出下列函数的图象是由 yf(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y2 x1 ；(2)y2 x1 ；(3) y2 x1；(4)y2 x ；(5)y2 |x|.解 (1)y2 x1 的图象是由 y2 x的图象向左平移一个单位得到(2)y2 x1 的图象是由 y2 x的图象向右平移 1 个单位得到(3)y2 x1 的图象是由 y2 x的图象向上平移 1 个单位得到(4)y2 x 与 y2 x的图象关于 y 轴对称，作 y2 x的图象关于 y 轴的对称图形便可得到 y2 x 的图象(5)y2 |x|为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，故先作出当 x0 时，y2 x的图象，再作关于
7、 y 轴的对称图形，即可得到 y2 |x|的图象 指数函数的定义域、值域问题探究问题1函数 y2x21的定义域与 f(x)x 21 的定义域什么关系？提示：定义域相同2如何求 y 2x21的值域？提示：可先令 tx 21，则易求得 t 的取值范围为 1，)，又 y2 t在1， ) 上是单调递增函数，故 2t2，所以 y2x21的值域为2，)求下列函数的定义域和值域：(1)y ；1 3x(2)y ；(23)(3)y4 x2 x1 2. 思路探究： 函 数 式 有 意 义 原 函 数 的 定 义 域 指 数 函 数 的 值 域 原 函 数 的 值 域解 (1)要使函数式有意义，则 13 x0，即
8、3x13 0，因为函数 y3 x在 R上是增函数，所以 x0，故函数 y 的定义域为(，01 3x因为 x0，所以 00，所以 4x2 x1 2(2 x)222 x2 (2x1) 21112，即函数 y4 x2 x1 2 的值域为 (2，)母题探究：1.若本例(1)的函数换为“y ”，求其定义域(13)x 1解 由x10 得x0，x 0，即函数的定义域为(，0(13) (13) (13)2若本例(3)的函数增加条件“0x 2” ，再求函数的值域解 0x2，12 x4，y4 x2 x1 2(2 x)222 x2(2 x1)21.令 2x t，则 t1,4，且 f(t)(t1) 21，易知 f(t
9、)在1,4上单调递增，f(1)f(t )f(4)，即 5f(t)26，即函数 y4 x2 x1 2 的值域为 5,26规律方法 1函数 ya f(x)的定义域与 yf(x)的定义域相同2函数 ya f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令 tf (x)；(2)求 tf(x) 的定义域 xD；(3)求 tf(x) 的值域 tM；(4)利用 ya t的单调性求 ya t，tM 的值域3求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数函数的单调性当 堂 达 标固 双 基1下列函数一定是指数函数的是( )A
10、y2 x1 Byx 3Cy32 x Dy3 xD 由指数函数的定义可知 D 正确2函数 yx(x8) 的值域是( )(12)AR B.(0，1256C. D.( ，1256 1256， )B 因为 yx在8 ， ) 上单调递减，所以 00 且 a1) ，则 f(2)a 22，2a (a 舍去)，f(x) x.2 2 25设 f(x)3 x，g( x)x.(13)(1)在同一坐标系中作出 f(x)，g(x)的图象；(2)计算 f(1)与 g(1) ，f() 与 g()，f(m)与 g(m)的值，从中你能得到什么结论？解 (1)函数 f(x)，g(x )的图象如图所示：(2)f(1)3 13，g(1) 13，(13)f()3 ，g()3 ，(13)f(m)3 m，g(m)m3 m.(13)从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于 y 轴对称
