1、 第 06 节 空间直角坐标系、空间向量及其运算考点 考纲内容 5 年统计 分析预测空间直角坐标系、空间向量及其运算1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3掌握空间向量的加、 减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.4掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题.2015浙江文 18；理17.2018浙江 19. 1. 空间向量的线性运算及其坐标表示.2. 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.3.应用空间向量解决立体几何问题.4.本部分内容较少单独考查
2、，主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与垂直及计算夹角与距离的应用5.备考重点：(1) 掌握空间向量的线性运算、坐标运算；(2)掌握空间向量的数量积计算方法.（3）利用向量判断垂直关系、平行关系.【知识清单】1. 空间向量的线性运算1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度(2)几种常用特殊向量单位向量：长度或模为 1 的向量零向量：长度为 0 的向量相等向量：方向相同且模相等的向量.相反向量：方向相反而模相等的向量共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量共面向量：
3、平行于同一个平面的向量2.空间向量的线性运算(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广设 a， b 是空间任意两向量，若 ,OACaBb， P OC，则 OBAab，BCAab， ()PR. （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律加法交换律： a b b + a .加法结合律：( a b) c a +（ b c） 数乘分配律： (a b) a+ b.数乘结合律： ( a)( ) a.( R， R)2. 共线向量定理、共面向量定理的应用(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a， b(b0)， a b 的充要条件是存在实数 ，使 a= b.(2)共面向量定理：如果两个向量 a、 b
4、 不共线，则向量 p 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在唯一实数对 x、 y，使 pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组 x， y， z，使pxyz.把 a， b， c叫做空间的一个基底推论：设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x、 y、 z，使 P.其中 x y z1.3. 空间向量的数量积及其应用1两个向量的数量积(1)ab |a|b|cos a， b；(2)a bab0( a， b 为非零向量)；(3)|a|2 a2，| a| .x2 y2 z22向量的坐
5、标运算a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)向量和 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)向量差 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)数量积 ab a1b1 a2b2 a3b3共线 a ba1 b 1， a2 b 2， a3 b 3( R)垂直 a ba1b1 a2b2 a3b30夹角公式 cos a， b a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23 b21 b2 b234.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点 O 为原点，建立三条两两垂直的数轴： x 轴， y 轴， z 轴这时建立了
6、一个空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴统称坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指出 y 轴的正方向时，中指指向 z 轴的正方向(3)空间一点 M 的坐标用有序实数组( x， y， z)来表示，记作 M(x， y， z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点M 的纵坐标， z叫做点 M 的竖坐标2空间两点间的距离公式设点 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，则 |AB .(x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2【重点难点突破】考点一 空间向
7、量的线性运算【1-1】如图，空间四边形 OABC中， ,aOBbCc点 M在 OA上，且 2MA，点 N为BC中点，则 MN等于（ ）A. 123abc B. 213bcC. D. a【答案】B【1-2】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设 1,aAbc， E， F 分别是 AD1， BD 的中点（1）用向量 ,abc表示 ,EF， ；（2）若 1DFxyz，求实数 x， y， z 的值【答案】 （1） DBabc， EF1()2ac；（2） 1,12xyz.【解析】 （1） 11ABDbc， 12EFADAC()()()22Ac. （2） 11 122DFBaac，所以 ,xyz.
8、【领悟技法】1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.【触类旁通】【变式一】如图，在空间四边形 OABC中， a， OBb， Cc点 M在 OA上，且 2MA，N是 BC的中点，则 MN=( )A. 123abcB. 213abcC. D. 【答案】B【变式二】如图，在平行六面体 1ABCD中， M为 ACBD与 的交
9、点若 1=ABa1Db，1Ac，则下列向量中与 M1相等的向量 是（ ）A 12abc-B 12abcC D -【答案】A【解析】由题意知， 1112BMABACururrur()22acbabcrr，故应选 考点 2 共线向量定理、共面向量定理的应用【2-1】 【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知 ， ，若 ，则（ ）=(2,3,5)=(3,) A. ， B. ， C. ， D. ，=92 =152 =9 =15 =92 =15 =9 =15【答案】A【2-2】已知 (2,13)a， (,42)b， (7,5)c，若 cba,三向量共面，则实数 等于（ ）A 627 B 67 C 6 D 6【
10、答案】D【解析】由题三个向量共面可设： cmanb，则： (7,5)(2,3)(,42)mn 得：72543mn，解得：371n， 9346. 【领悟技法】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示2.中点向量公式 1()2OMAB，在解题时可以直接使用3证明空间任意三点共线的方法对空间三点 P， A， B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1) ；(2)对空间任一点 O， tAB；(3)对空间任一点 O， (1)xyx4证明空间四点共面的方法对空间四点 P， M， A， B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1) xy；(2)对空间任一点 O，
11、 xAyMB；(3)对空间任一点 O， (1)zOxz；(4)P AB(或 或 P )【触类旁通】【变式一】若 A， B， C不共线，对于空间任意一点 O都有 3148PAOBC，则 P， A， B，C四点（ ）A不共面 B共面 C共线 D不共线【答案】B【变式二】 【浙江慈溪中学】已知 (0,)O， (2,)A， (1,46)B， (,8)Cx，若 OAB，则x_；若 ， A， B， C四点共面，则 x_【答案】 16， 8【解析】由题意得， (,8)x， (3,24)， 31620OCABx， 16x；若 O， A， B， C四点共面，存在唯一的实数 ， 使得， OAB， (,8)(2,)
12、(1,46)x，82486xx考点 3 空间向量的数量积及其应用【3-1】已知 A（2，3，1） ，B（2，6，2） ，C（1，4，1） ，则向量 AB与 C的夹角为（ ）A45 B90 C30 D60【答案】D【解析】因为 31(0,3)(1,0)cos, 2AAB，所以 ,60AB，故选 D.【3-2】 【2018 届江西省南昌三中高三上学期第二次考试】已知半径为 的球 O内切于正四面体 CD，线段MN是球 O的一条动直径 (,MN是直径的两端点),点 P是正四面体 ACD的表面上的一个动点,则PABD的取值范围是_【答案】 12,4 再由 12PMNABDPN，知 PMNABD取值范围是
13、 12,4故答案为： 12,4【领悟技法】1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2. 当异面直线所成的角为 时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 来进行计算应该注意的是(0,2， ,，所以 |cos|ab3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据| a| 转化为向量求解a2【触类 旁通】【变式一】已 知向量 1,0a， 1,2b，且 k与 b互相垂直，则 k的值为（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. 1【答案】B【解析】因为向量 ,0,2,02,1abkab， ka与 b互相垂直， 2kabk，解得 ，故选 B.【变式二】已知空间四边形 ABCD，满足
14、 3， 7BC， D， 9A，则 CBD的值（ ）A. 1 B. 0 C. 21 D. 【答案】B【解析】考点 4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算【4-1】 【2017 届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三 4 月联考】已知动点 P 在棱长为 1 的正方体1ABCD的表面上运动，且线段 (03)PAr，记点 P 的轨迹长度为 fr.给出以下四个命题： 312f； 23f； 23f函数 fr在 0,上是增函数， fr在 2,上是减函数.其中为真命题的是_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【4-2】在空间直角坐标系中，点 (1,2)b关于 y轴的对称点是 (,12)ac，则点
15、P (,)abc到坐标原点 O 的距离 |PO_【答案】 2【解析】两点关于 y 轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点 (1,2)b关于 y轴的对称点是 (,12)ac可得 1,0abc 1,0P， |2O.【领悟技法】1.求向量的数量积的方法：设向量 a， b 的夹角为 ，则 ab| a|b|cos ；若 a( x1， y1， z1)， b( x2， y2， z2)，则 ab x1x2 y1y2 z1z2.根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算2.求向量模的方 法：| a| ；a2若 a( x， y， z)，则| a| .x2 y2 z23空间向量的坐标运算
16、（1）设 i、 j、 k 为两两垂直的单位向量，如果 OPxiyjzk，则 (,)xyz叫做向量的坐标（2）设 a( x1， y1， z1)， b( x2， y2， z2)，那么 ab 2, ab 112，cos a， b 1221xyz，| a| 221 ，aa a 11(,)xyz， a b 2212,z( R)， a b 10z.（3）设点 M1(x1， y1， z1)、 M2(x2， y2， z2)，则 2 11| ( 【触类旁通】【变式一】在空间直角坐标系中的点 (,)Pabc，有下列叙述：点 (,)Pabc关于横轴( x轴)的对称点是 1,；点 关于 yOz坐标平面的对称点为 2(
17、)c；点 (,)Pabc关于纵轴( y轴)的对称点是 3(,)Pabc；点 关于坐标原点的对称点为 4其中错误的叙述个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】C【变式二】点 是棱长为 1 的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是（ ） 1111 1A B C D 1,14 12,14 1,0 12,0【答案】D【解析】 以点 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在 1的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点 设点 的坐标为 ，由题意可得 （ 1， 0， 0）， 1（ 0， 1， 1）， （ ， ， ）01， 01， =1， =（ 1， ， 1）， 1=（ ， 1
18、， 0），由二次函数的性质可得，1=（ 1） （ 1） +0=2+2=(12)2+(12)212，当 时 取得最小值为 ；=12 1 12当 或 1，且 或 1 时， 取得最大值为 0，=0 =0 1则 的取值范围是112,0故选 D【易错试题常警惕】易错典例 1.【浙江卷】已知矩形 ABCD， AB1， BC ，将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在2翻折过程中( )A存在某 个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三对直线“ AC 与 BD”， “AB 与
19、CD”， “AD 与 BC”均不垂直易错分析：用向量方法解决立体几何问题时，基底选择不当容易出现错误正确解析：如图，在图(1)中，易知 AE CF ， BE EF FD .63 33温馨提醒：(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角 ABDC大小在变化，即 ，因此以 ,AEFC为基向量，同时也便于运算.(2)注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去.易错典例 2.已知 2,3,ABabcCabcabc，则直线 AD 与 BC( )A平行 B相交C重合 D平行或重合易错分析：误解了向量平行的
20、概念，两个向量平行，它们所在的直线可能平行或重合，是哪一种情形要视具体问题而定.正确解析：因为 23ABC，所以 AB，又和有公共的端点 B，所以 A， B， C 三点共线；因为3BCD3，又 与 有公共的端点 C，所以 B， C， D 三点共线所以 A， B， C， D 四点共线，所以直线AD 与 BC 重合选 C.答案：C温馨提醒：1注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；2注意向量夹角与两直线夹角的区别；3注意向量共线与两直线平行与重合的区别.【学科素养提升之思想方法篇】化“生”为“熟”转化与化归的思想方法1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决
21、(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价 转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所
22、得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化与化归的基本类型（1） 正与反、一般与特殊的转化；（2）
23、 常量与变量的转化；（3） 数与形的转化；（4） 数学各分支之间的转化；（5） 相等与不相等之间的转化；（6） 实际问题与数学模型的转化.5常见的转化方法（1）直接转化法：把 原问题直接转化为基本定理、基本公式或 基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化
24、方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一 般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问 题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合 A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及补集获得原问题的解决.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.【典例】三棱锥 ABCO中， O,两两垂直且相等，点 QP,分别是线段 BC和 OA上移动，且满足BP21， Q21，则 P和 B所成角余弦值的取值范围是（ ）A 5,3 B ,3 C 52,6 D 2,6【答案】C
