1、一、考纲解读握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系。利用空间向量求两异面直线所成的角、线面角和二面角等计算空间角的问题；利用空间向量求空间距离问题。关键掌握角度的求解，距离为辅。二知识结构：三、复习策略1用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量。对于垂直问题，一般是利用 进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2用向量方法求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补
2、角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式 。3空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条斜线，交平面 于 A，则点 B 到平面 的距离为 。四、典例分析1. 证明平行例 1（2011 四川文科）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC=90， AB=AC=AA1=1，延长 A1C1至点 P，使 C1P A1C1，连接 AP 交棱 CC1于 D求证： PB1平面 BDA1；分析：本题可以利用传统方法证明，也可以利用向量法证明，设直线 PB 的
3、方向向量 a，平面 BA1D 的一个1法向量为 n，要证明 PB1平面 BA1D，只需证明 ，即 即可。证明：如图，以 A1为原点， A1B1， A1C1， A1A 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系A1 B1C1A，则 ， ， ， ， (0,)(,0)(,0)(,1)B(0,2)P点评：利用向量证明线面平行主要有两条途径：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量是平行向量.2. 证明垂直例 2（2011 湖南理科）如图，在圆锥 中，已知 = ，O 的直径 , 是 的中点， 为PO22ABCAD的
4、中点证明：平面 平面 ;ACDAC点评：向量 a 垂直于向量 b 的充要条件是 a b ，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与0平面垂直及两个平面垂直在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零本题把推理论证面面垂直用向量运算来代替，减少了构造辅助图形，降低了思维量3.求异面直线所成角例 3（2011 陕西理科）如图，在 中， 是 上的高，沿 把ABC60,90,BACDBAD折起，使 。ABC90D（）证明：平面 平面；（）设为的中点，求 与 夹角的余弦值。AEDB点评：两异面直线所成的角的范围为（0 0,900。两异面直线所成的角可以通过这两直
5、线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。4.求线面所成角例 4 在正三棱柱 中，已知 在棱 上，且 ，若 与平面 所成的角1ABC1ABD，1B1DA1C为 ，则 sin （ ） 23241046点评：利用向量法求空间角，其操作只须按步骤进行，数值计算十分简单，对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高，显得简洁明了5.求面面所成角例 5.（2011 全国大纲理科）己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BB1 、 CC1上，且 B1E=2EB, CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切
6、值等于 分析：求解本题的关键是求出涉及面 AEF 与面 ABC 的法向量，再利用数量积公式求得。【解析】设正方体的边长为 3，建立以 B 为 x 轴，B 为 y 轴，B 为 z 轴的空间直角坐标系，则1A11A(3,0,3),E（0，0，2） ，F（0，3，1） ，则 , ,平面 AFE 的法向量为)03(E)3(Fn=（x，y，z） ，则 ， ，即 3x+z=0 且 3y-z=0，设 z=3，则 x=-1，y=1，所以 n=（-1，1，3） ，En又平面 ABC 的法向量为 m=（0，0，3）,所以面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的余弦值为， ，所以 。1|.cosnm 12)(1si
7、32tan点评：利用向量求平面与平面所成的二面角主要有两条途径：(1)作出二面角的平面角，再利用向量求解：(2)通过求两平面的法向量所夹的角(它与面面夹角相等或互补). 6.求长度问题例 6 （2011 江苏）如图，在正四棱柱 中， ，点 是 的中点，点1ABCD12,ABNC在 上，设二面角 的大小为 。M1C1NM（1）当 时，求 的长；09AM（2）当 时，求 的长。6cosC分析：根据已知条件显然使用向量法求解比较简单，所以需要建立坐标系转化为向量的运算解。解：建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，Dxyz(02)CMt解得 根据图形和（1）的结论可知 ，从而 CM 的长为0.2t或
8、12t1.2点评：利用向量法求空间角的大小、线段的长度，经常用到平面的法向量求法向量的方法主要有两种： 求平面的垂线的方向向量； 利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求7.探索性问题例 7 （2011 浙江理科）如图，在三棱锥 中， ，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足PABCO 落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。 由 即 得20,.APnC2340,5yzx2225,4(5,43).3,xynz可
9、取由 解得 ，故 AM=3。120,430,n得 5综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。点评：立体几何 “是否存在” 、 “是否有” 、 “在何位置”等，传统方法解答此类问题的思路是：首先假设点存在或猜测点的位置，再进行推证，若推出矛盾，即可知该点不存在；但严密的逻辑思维和合理的推理，对能力要求较高.如果合理运用向量法求解，往往会比传统方法更简洁，而且其解题的方法、步骤非常有条理，甚至有一些程式化。五、考题预测1. 以下四个命题中正确的是( )A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B若 a， b， c为空间向量的一组基底，则 a， b， c 全不是零向量C ABC 为直角三角形的充要
10、条件是 0AB AC D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底【答案】B【解析】使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故 A 不正确；ABC 为直角三角形并不一定是 0，可能是 0，也可能是 0，故 C 不正确；空间向量AB AC BC BA CA CB 基底是由三个不共面的向量组成的，故 D 不正确，故选 B.2. 已知向量 a， b， c是空间的一个基底， p a b， q a b，一定可以与向量 p， q 构成空间的另一个基底的是( )A a B bC c D无法确定【答案】C3. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1
11、的中心，若 ，则 x,y 的值1EAxByD分别为( ).A.x1， y1 B.x1， y12C.x ， y D.x ， y112 12 12【答案】C.【解析】如图， ( ) 11AEAurur12 1Cur12 ABDur4. 若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B. C. D.63 33 23 13【答案】B.5. 已知 a( 1,0,2)， b(6,2 1,2 )，若 a b，则 与 的值可以是( )A2， B ，12 13 12C3,2 D2,2【答案】A【解析】 a b，存在实数 k，使 b ka，即：(6,2 1,2 )( k k,0,2k
12、)，Error! ，Error!或Error!，故选 A.6. 在正三棱柱 ABC A1B1C1，若 AB BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小( )2A60 B90C105 D75【答案】B7. 长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AA12， AD1， E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为_【答案】 .3010【解析】建立坐标系如图，则 A(1,0,0)， E(0,2,1)，B(1,2,0)， C1(0,2,2)， (1,0,2)， (1,2,1)，1BAE cos ， .BC1 AE BC1 AE |BC1 |AE | 30108. 过二面角
13、l 内一点 P 作 PA 于 A，作 PB 于 B，若 PA5， PB8， AB7，则二面角 l 为_【答案】1209. 若 ABC 中， ACB90， BAC60， AB8， PC平面 ABC， PC4， M 是 AB 上一点，则 PM 的最小值为_【答案】2 7【解析】由条件知 PC、 AC、 BC 两两垂直，设 a， b， c，则 ab bc ca0，CA CB CP BAC60， AB8，| a| CA8cos604，| b| CB8sin604 .|c| PC4，3设 x x(b a)， AM AB 则 c a x(b a)(1 x)a xb c，PM PC CA AM | |2(1
14、 x)2|a|2 x2|b|2| c|22(1 x)xab2 xbc2(1 x)ac16(1 x)PM 248 x21632(2 x2 x1)64 228，当 x 时，| |2取最小值 28，(x14) 14 PM | |min2 .PM 710. 在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 为平行四边形， AC 与 BD 交于 O， G 为 BD 上一点，BG2 GD， a， b， c，试用基底 a， b， c表示向量 .PA PB PC PG 【解析】 BG2 GD， .BG 23BD 又 a c2 b，BD BA BC PA PB PC PB b (a c2 b) a b c.PG PB BG 23 23 13 2311一个四棱锥 PABCD 的三视图与直观图如图。（I）若 E、F 分别是 PB 与 PD 的中点，求证：直线 平面 AEF；PC（II）求证：线段 PC 被平面 AEF 三等分；（III）求平面 PBC 与平面 PDC 的夹角的大小。【答案】 （见解析）
