1、中档大题分类练( 四) 立体几何(建议用时：60 分钟)(对应学生用书第 139 页)1(2018沈阳质检三 )如图 48，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1B1B底面ABC，ABC 和ABB 1 都是边长为 2 的正三角形图 48(1)过 B1 作出三棱柱的截面，使截面垂直于 AB，并证明；(2)求 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值解 (1)设 AB 中点为 O，连接 OC，OB 1，B 1C，则截面 OB1C 为所求，OC，OB 1分别为ABC，ABB 1的中线，所以ABOC，AB OB 1，又 OC，OB 1为平面 OB1C 内的两条相交直线，所以 AB平面 OB
2、1C，(2)以 O 为原点， OB 方向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得 B(1,0,0)，A(1,0,0) ，C(0， ，0)，B 1(0,0， )，C 1(1， ， )，3 3 3 3(1 ， ，0)， (1,0 ， )， (0， ， )，CB 3 B1B 3 AC1 3 3设平面 BCC1B1的一个法向量为 n(x，y，z)，由Error!Error!解得平面 BCC1B1的一个法向量为 n( ，1,1)，3又|cos ， n| ，AC1 |AC1 n|AC1 |n| 3 36 5 105所以 AC1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 .105【教师备选】如图，在三
3、棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面BCD，ABAD，CBD 60，BD2BC4，点 E 在 CD 上，DE2EC.(1)求证：AC BE ；(2)若二面角 EBAD 的余弦值为 ，求三棱锥 ABCD155的体积解 (1)证明：取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，EO.因为 ABAD，BOOD，所以 AOBD，又平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD，AO平面 ABD，所以 AO平面 BCD.又 BE平面 BCD，所以 AOBE .在BCD 中，BD2BC，DE2EC，所以 2，BDBC DEEC由角平分线定理，得CBEDBE.又 BCBO2，所以 BECO，又因为 A
4、OCOO，AO平面 ACO，CO平面 ACO，所以 BE平面 ACO，又 AC平面 ACO，所以 ACBE.(2)在BCD 中，BD2BC 4，CBD60，由余弦定理，得 CD2 ，所以 BC2CD 2BD 2，3即BCD90 ，所以EBD EDB 30，BE DE，所以 EOBD，结合(1)知，OE，OD，OA 两两垂直，以 O 为原点，分别以 OE，OD，OA的方向为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz(如图)，设AOt (t0)，则 A(0,0，t)，B(0，2,0)，E ，(233，0，0)所以 BA(0,2，t)，BE ，(233，2，0)设 n(x，y，z
5、)是平面 ABE 的一个法向量，则Error!即Error!整理，得Error!令 y1，得 n .(3， 1，2t)因为 OE平面 ABD，所以 m(1,0,0) 是平面 ABD 的一个法向量又因为二面角 EBAD 的余弦值为 ，155所以|cos m， n| ，33 1 4t2 155解得 t2 或 t2(舍去)又 AO 平面 BCD，所以 AO 是三棱锥 ABCD 的高，故 VABCD AOSBCD13 2 22 .13 12 3 4332.在如图 49 所示的六面体中，平面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面ABEF 是直角梯形，FAB90，AFBE，BE 2AF4.图 49(1)
6、求证：AC 平面 DEF；(2)若二面角 EABD 为 60，求直线 CE 和平面 DEF 所成角的正弦值解 (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，取 DE 的中点为 G，连接 FG，OG.平面 ABCD 是正方形，O 是 BD 的中点，OGBE， OG BE，12又AFBE，AF BE，OGAF 且 OGAF ，12四边形 AOGF 是平行四边形，ACFG.又FG 平面 DEF，AC平面 DEF，AC平面 DEF.(2)四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是直角梯形，FAB90，DA AB，FA AB.AD AFA，AB 平面 AFD，同理可得 AB平面 EBC.又AB平面
7、ABCD， 平面 AFD平面 ABCD，又二面角 EABD 为 60，FAD EBC60，BE2AF 4，BC2，由余弦定理得 EC2 ，ECBC.3又AB平面 EBC，EC AB ，ABBCB ，EC平面 ABCD.以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CE 为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系则 C(0,0,0)，D(0,2,0) ，E(0,0,2 )，3F(1,2， )，3 (0,0,2 )， (1,0 ， )， (1,2， )，CE 3 DF 3 EF 3设平面 DEF 的一个法向量为 n(x，y ，z)，则Error!即Error!令 z ，则Error!3n(3,
8、3， )3设直线 CE 和平面 DEF 所成角为 ，则 sin |cos ，n | .CE 62321 773(2018安庆市高三二模)如图 50，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC将ACD 折起，使得点 D 在平面 ABC 上的射影恰好落在边 AB 上图 50(1)求证：平面 ACD平面 BCD；(2)当 2 时，求二面角 DACB 的余弦值ABAD解 (1)设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E，连接 DE，则 DE平面ABC，所以 DEBC.因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABBC，所以 BC平面 ABD，所以BCAD .又 AD CD，所以 AD平面 BCD，而 AD平面
9、 ACD，所以平面 ACD平面 BCD.(2)以点 B 为原点，线段 BC 所在的直线为 x 轴，线段 AB 所在的直线为 y轴，建立空间直角坐标系，如图所示设|AD|a，则|AB|2a，所以 A(0，2a，0)，C(a,0,0)由(1)知 ADBD，又 2，所以DBA30， DAB60，那么ABAD|AE|AD |cosDAB a，12|BE|AB|AE | a，32|DE|AD |sinDAB a，32所以 D ，(0， 32a，32a)所以 ， (a,2a,0)AD (0，12a，32a) AC 设平面 ACD 的一个法向量为 m(x，y ，z)，则Error! 即Error!取 y1，
10、则 x2，z ，所以 m .33 (2，1， 33)因为平面 ABC 的一个法向量为 n(0,0,1)，所以 cosm，n .mn|m|n| 3312 22 ( 33)2 14故所求二面角 DACB 的余弦值为 . 14【教师备选】(2018东莞市二调 )如图，平面 CDEF平面 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 CDEF 为直角梯形，ADC120，CFCD ，且CFDE ，AD 2DC DE2CF.(1)求证：BF平面 ADE；(2)设 P 点是线段 DE 上一点，若平面 BCD 与平面 BFP 所成的锐二面角为30，求点 P 的位置解 (1)证明：取 DE 的中点 H，连接
11、 AH，HF.四边形 CDEF 为直角梯形，DE2CF，H 是 DE 的中点，HF DC，且 HFDC.四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，且 ABDC ，ABHF，且ABHF ，四边形 ABFH 是平行四边形，BFAH.AH 平面 ADE，BF 平面 ADE，BF平面 ADE.(2)在BCD 中，BC 2DC，BDC90 ，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设 AD 2，则 DC1，CF1，设 DPh，则 B( ，0,0)，3C(0,1,0)，F (0,1,1)，P(0,0 ，h)， ( ，0，h) ， ( ，1,1)，BP 3 BF 3设平面 BFP 的法向量为 n(x ，y，
12、z)，n ，n ，Error!不妨令 x ，则 n ，BP BF 3 ( 3，3 3h，3h)平面 BCD 的一个法向量为 m(0,0,1)，平面 BCD 与平面 BFP 所成锐二面角为 30， ，解得 h ，或 h1.|nm|n|m| 32 12点 P 在线段 DE 的中点或线段 DE 的靠近点 D 的四等分点处4.如图 51，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ABAC2， AD2 ， PB3 ，PB AC.2 2图 51(1)求证：平面 PAB平面 PAC；(2)若PBA 45，试判断棱 PA 上是否存在与点 P，A 不重合的点 E，使得直线 CE 与平面 PBC 所
13、成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，33 AEAP请说明理由解 (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形，AD2 ，所以2BCAD 2 ，2又 ABAC2，所以 AB2AC 2BC 2，所以 ACAB，又 PBAC，且 ABPB B，所以 AC平面 PAB，因为 AC平面 PAC，所以平面 PAB平面 PAC.(2)由(1)知 ACAB，AC平面 PAB，如图，分别以 AB，AC 所在直线为 x 轴、y 轴，平面 PAB 内过点 A 且与直线 AB 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C (0,2,0)， (0,2,0)， (
14、2,2,0)，由AC BC PBA 45，PB 3 ，可得 P(1,0,3)，2所以 (1,0,3)， (3,0,3)，AP BP 假设棱 PA 上存在点 E，使得直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，33设 (0 1) ，则 ( ，0,3)，AEAP AE AP ( ，2,3)，CE AE AC 设平面 PBC 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error!即Error!令 z1，得 xy1，所以平面 PBC 的一个法向量为 n(1,1,1)，设直线 CE 与平面 PBC 所成的角为 ，则sin |cosn ， | ，CE | 2 3|3 2 22 32 |2 2|3 102 4 33整理得 3240，因为 01，所以 3240，故 324 0 无解，所以棱 PA 上不存在与点 P，A 不重合的点 E，使得直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .33
