1、专题三 利用导数研究函数的性质一、单选题1 【2019 年一轮复习讲练测】已知 在 上可导，且 ，则 与 的大小关系是() ()=2+2(2) (1)(1)（ ）（A） （B） (1)=(1) (1)(1)（C） （D）不确定(1)(1),2 【2018 届辽宁省沈阳市东北育才学校八模】如图，已知直线 与曲线 相切于两点，函数= =()，则函数 ()=+ ()=()()A 有极小值，没有极大值B 有极大值，没有极小值C 至少有两个极小值和一个极大值D 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】因为直线直线 与曲线 相切于两点，= =()所以 有两个根，且 ，=() ()因为 ，()=()(
2、)=+()所以 ，()=()从图中可以发现，函数 有两个极大值点，一个极小值点，()结合函数的图像，可以得到 至少有两个极小值和一个极大值，()故选 C.3 【2018 届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（五） 】已知函数 ，则下列结论正确的()=,01+1,0 是（ ）A 有极值 B 有零点() =()+1C 在定义域上是减函数 D () (0)=0【答案】C【解析】函数 f（x）= ， 01+1， 0 则 ，()=1 02(+1)2 0 1这两个函数在区间 上都是减函数，则实数 ，故选 D.1,2 (1,35 【衡水金卷压轴卷】2018 模拟（二） 】已知函数 是定义在区间 上的可导函数，
3、为其() (0,+) ()导函数，当 且 时， ，若曲线 在点 处的切线的斜率为0 2 (2)2()+()0 2 (2)2()+()2 2()+()0 ()=2()(0,+） ()=2()+2()=2()+()可得当 时， ；当 时， ，所以函数 在 处取得极大值，所以00 0 ()0即偶函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，() (,0) (0,+)不等式 即 ，2()(1)1即实数 的取值范围为 . (,1)(1,+)本题选择 B 选项.7.【2018 届广东省汕头市潮南区高考(5 月)冲刺】已知 是函数 （其中常数, ()=2,()(2),() ）图象上的两个动点，点 ，若 的最
4、小值为 0，则函数 的最大值为( )0 (,0) ()A B C D 12 1 2 【答案】B【解析】函数 （其中 ）图象上的两个动点，()=2,()(2),(0函数 的的图象关于直线 对称， () =当 时， ，0( 为函数的导函数)，若 且 ，则下列不等式一定成立的是( )()+()(+1)() ()(1)()C D ()() ()()【答案】C【解析】构造函数 , ,所以 是 上的减函数.令 ,则()=(),(0)()=()+()(1) ()1(1) 112 1+20,则 ,即 在 上递减, ,即 ,所以()=1+2 ()=(1)22 (1) 112,若 ,则 .故选 .()1(1) 0
5、() 9 【2018 届湖南省常德市第一中学第一次水平考试】设函数 的两个极值点分()=133+122+2+别为 ，若 ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）1,2 1(2,1)2(1,0) 2+ A B C D (2,7) 2,+) 7,+) 5,+)【答案】C【解析】由题意， ，因为 的两个极值点分别为 ， ， ，所以()=2+2 () 1,2 1(2,1)2(1,0)，对应可行域如下图：(2)=42+20(1)=1+20 三个顶点坐标 ，当 过 时， ，所以 ，故 即可，故选 C.(1,0),(2,0),(3,1)2+ (3,1)2+=7 2+1恒成立，则实数 的取值范围为（ ）(
6、1)2 (2)1 10 1(1)2(2)1(1)构造函数 ，由题意可知函数 在定义域内单调递增，()=()=2 ()故 恒成立，即 恒成立，()=202令 ，则 ，()=2(0) ()=(1)当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；01 ()0,()则 的最小值为 ，()(1)= 121=2据此可得实数 的取值范围为 .(,2本题选择 D 选项.二、填空题11 【2018 年全国卷理数】曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 _=(+1)e (0 ， 1) 2 =【答案】 3【解析】=+(+1)则 (0)=+1=2所以 =3故答案为-3.12.【2019 年一轮复习讲练测测试】已知函数 的导函数有
7、且仅有两个零点 ,其图像如图所示,则函数=()在 _处取得极值.=()=【答案】-1【解析】由图象，得当 时， ，当 且 时， ， ，即函数 在1 2 ()0 (2)=0 ()上单调递减，在 上单调递增，即函数 在 处取得极小值.(,1) (1,+) ()=113 【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 ，则 的最小值是_()=2+2 ()【答案】332【解析】，所以当 时函数单调减，当()=2+22=42+22=4(+1)(12) 12 253,23()，所以当 时，函数 取得最小值，此时 ，23,2+3() =23, () = 32,2= 32所以 ，故答案是 .()=2( 32) 32
8、=332 33214 【2018 年黑龙江省仿真模拟（十一） 】已知函数 有两个极值，则实数 的取()=2e+122+1 值范围为_【答案】 (,2)【解析】,由题意知 有两个零点，()=2+ ()由 可得 ，2+=0 2=(+)即 有两个交点，=2=(+1) 如图所示，考查临界条件：设 与 的切点为 ，=2 =(+1) (0,0)即 ， ，则 ，0=20 =2 |=0=20切线方程为 .20=20(0)把 代入切线方程可得 ， ，(1,0) 0=0 |=0=2据此可得： ，即 ，2 0,(3)=0 2(3)3(3)2+1=0,=3. () 1,0 0,1所以 ， ()=(0), ()=(1)
9、,(1)=(1)()+()=(0)+(1)=14=3.16 【2018 届广东省省际名校（茂名市）高考联考（二） 】若对任意的 ，不等式0恒成立，则 _22(2+1)1 =【答案】0 或 1【解析】设 ，则 ，2+1= 0由已知可得： 对 恒成立，2210 0令 ， ，则()=221 0()=22=2(2)可知： 在 上单调递减，在 上单调递增，() (0， ) ( ， +)若 ，则 ，令 ，()0 ( )0 ()=( )=1 0则 ()=当 时， ， 单调递增，00 ()当 时， ， 单调递减，1 ()2 ()0在 ， 上单调递增，在 上单调递减，() (,0) (2,+) (0,2)当 时
10、， 取得极小值 ，作出 与 的函数图象如图： =2 () (2)=1 () ()显然当 时， 在 上恒成立，即 无正整数解，要使存在唯一的0 ()() (0,+) ()=()()0 1在 上 ，在 上 ，(0,1+) ()0所以 在 上单调递减，在 上单调递增；() (0,1+) (1+,+)当 ，即 时，在 上 ，1+0 1 (0,+) ()0所以函数 在 上单调递增() (0,+)19 【2018 届江西省南昌市二轮测试（五） 】已知函数 ，()=2 ()=(+1)+2(+2)2（1）讨论函数 的单调性；()（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围0 ()0 【答案】 （1）见解析；（2
11、） 2【解析】（1）由题知 （ ） ，()=2=2+ 0当 时，恒有 ，得 在 上单调递减； 0 ()0 ()=0=2 （ 0， 2） ()0 ()在 上，有 ， 单调递减.（2， +） ()2 (0)=0由 ，得 ，且 在 上单调递增，()= +1+22 ()= (+1)2+2 ()0当 时， ， ， ， ，2 10 10=1 (0)=20故 在 上存在唯一的零点 ，当 时， ，()(0,1) 0 0,0) ()0 ()0【答案】 （1）切线方程为： ；（2） 的最小值为 .=(11) 0【解析】（）当 时， ，=1 ()=()=11设切线与曲线 相切于 ，则切线斜率为() (0,00)=1
12、01得切线方程为 ，由它过原点，代入 (00)=(101)(0) （ 0， 0）可得 ，即切线方程为： 0=(11)（）由题知()=1=1当 时，恒有 ，得 在 上单调递增，无最值，不合题意； 0 ()0 ()（ 0， +）当 时，由 ，得 ，在 上，有 ， 单调递增；0 ()=0=1 （ 0， 1） ()0 ()在 上，有 ， 单调递减；（1， +） ()0（ ） ，再令 ，得1+1 0 ()=1+1 ()=2知在 时， ， 递减；知在 时， ， 递增；(0,1) ()0 ()，即 的最小值为 ()(1)=0 021 【2018 届河北省石家庄市检测（二） 】已知函数 .()=+()(1)讨
13、论函数 的单调性；()(2)若函数 存在极大值，且极大值为 1，证明： .()=+ ()+2【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】（）由题意 ，0 ()=1+当 时， ，函数 在 上单调递增；=0 ()= ()(0,+)当 时，函数 单调递增， ，故当0 ()=1+ ()=1+=0=110时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，(0,11) ()0 ()(0,11)函数 在 上单调递增； ()(11,+)当 时，函数 单调递减， ，故当0时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，(0,11) ()0 (11,+) ()0，令()=+2+ ()=()，所以函数 单调递增，
14、()=+2+10 ()=+2+又 ， ，(1)=1+210故 在 上存在唯一零点 ，即 ()=+2+ (1,1) 0 0+20+0=0所以当 ， ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，函数(0,0) ()0 ()(0,0)在 上单调递增，() (0,+)故 ，()(0)=0+020+00所以只须证 即可，(0)=0+020+000由 ，得 ，0+20+0=0 0=20+0所以 ，又 ，所以只要 即可，(0)=(0+1)(0+0) 0+10 0+00当 时，0+00 00000+00所以 与 矛盾；0+0+0+00 0+20+0=0当 时，0+0=0 0=00=00+0=0得 ，故 成立，0
15、+20+0=0 0+0=0得 ，所以 ，即 (0)=(0+1)(0+0)=0 ()0 ()+222. 【2018 年浙江卷】已知函数 f(x)= lnx（）若 f(x)在 x=x1， x2(x1 x2)处导数相等，证明： f(x1)+f(x2)88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点【答案】 （）见解析（）见解析【解析】（）函数 f（ x）的导函数 ，由 得 ，因为 ，所以 由基本不等式得 因为 ，所以 由题意得 设 ，则 ，所以x （0，16） 16 （16，+）- 0 +2-4ln2所以 g（ x）在256，+）上单调递增，故 ，即 （）令 m= ， n= ，则f（ m） kma|a|+kka0，f（ n） kna0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（ x）有唯一公共点
