1、第五章 量纲分析和相似原理本章的主要内容：量纲 ( Dimension ) 量纲分析法 ( Dimensional analysis )流动相似 ( Similitude ) 相似准则 ( Law of similarity )第一节 量纲与单位 (unit)一 量纲（因次）：单位的类别Dimension : the measure by which a physical variable is expressed quantitatively. Unit: a particular way of attachig a number to the dimension.三个基本量纲 ( Prim
2、ary or fundamental dimensions )：长度 L、时间 T、质量 Meg：diameter d and length l have the dimension of length d = l =L其他量纲可以表示为基本量纲的组合诱导量纲 (Derived dimension )eg： velocity v = ds/dt, v = LT-1acceleration a = dv/dt， a = v /T = LT-2force F = ma， F = m a = MLT-2与物理量单位的组合规律相同。水力学中任一物理量 f， f = LTM若 0， 0，0， f 为几何
3、学量 (geometric quantity)若 0，0， f 为运动学量 (kinemetic quantity)若 0，f 为动力学量 (dynamic quantity)例：面积 A， A = d2 = L2 体积 V， V = L3， 都是几何学量速度梯度 du/dy, du/dy = v / y = LT-1/L= T-1， 是运动学量密度 =m/V， = m/V = ML-3切应力、压强 p , = p = F/A = F L-2= MLT-2/L-2 = M L-1T-2 都是动力学量已知 ， 则 dyuyu粘度的量纲 1/ 单位：Pas 或 kg/(ms) 运动粘度 ， = M
4、L-1T-1/(ML-3) = L2T-1是运动学量，故名。二 无量纲量 (Dimensionless quantity) 没有单位的量 f = L0T0M0=11.可以用若干有量纲量的乘积构成一个无量纲量 ( Dimensionless group )例 1： 水力坡度 J = hf /l， J = L/L= 1The ratio of two variables with same dimension is dimensionless .例 2：Reynolds number vdRe1)/(Re21TLv例 3：弗劳德数 ( Froude number ) glFr1)/(/Fr 2/1
5、LTglv2. 力学公式中的系数最好是无量纲数例： 沿程水头损失系数，局部水头损失系数3.力学公式、方程中的对数、指数、三角函数中的变量应该写成无量纲量的形式，其函数值应该是无量纲数。如：z=z 0+z sin t 或 (z-z0)/z =sin t t =T-1T=1， 单位：弧度lnr1lnr 2 = ln(r1/r2)第二节 量纲和谐原理及量纲分析法一、量纲和谐原理Principle of dimension homogeneity (PDH)正确反映客观规律的物理方程或关系式中，求和式中的各项或方程的两边量纲应相同。如： 伯努利方程 CHgupz2各项均具长度的量纲。 LTMLgp)/
6、()( 231推导关系式时检查量纲是否和谐可以减少错误。部分沿用至今的水力学经验公式可能不满足量纲和谐原理（如：曼宁公式） ，使用时注意其中各变量和常数的单位。二、 量纲分析法定理量纲分析法利用量纲的规律确定物理关系式的形式定理 ( The pi theorem): 如果一个物理过程涉及 n 个物理量(x 1， ， xn)，且基本量纲数为 m，则该物理过程可以用由这 n 个物理量组成的 nm 个无量纲量( ， nm )的关系式来描述。即： 原来的关系式为 f(x1，x n) = 0新的关系式为 F(， nm ) = 0可以减少变量数目水力学中，m = 3, F(， n3 ) = 0例：已知圆管
7、壁面平均切应力 与 、R、v、和有关，欲通过试验确定其关系式。分析： 与 5 个参数有关，试验工作量很大（若每个参数只取 10 个值，就总共至少有 105 个试验组合） 。可以设法用定理减少 3 个独立变量。解：总共六个物理量，基本量纲 3 个，可以构造 3 个无量纲量，得到关系式 F(, , 3) = 0步骤：（1）从（ , , , R, v, ）中选 3 个作为基本物理量要求几何学量、运动学量和动力学量各一本例选 R、v、（2） 用余下的 3 个量与 R、v、一起构造 3 个无量纲量,101cbavR,22cbav33cbavR（3）确定各指数。 以 为例：=1 所以分子、分母量纲相同 1
8、31311210 )()( bcacccTLMTLc1=1 解得 a1=0，b 1=2，c 1=1a1+b1 3c1 1 b 1= 2 20v同理：a 2=1， b2=1，c 2=1 Re1v可取 2a3=1，b 3=0，c 2=0 /3得 或 0Re,20vF Rfve,120令 f = 2 f1则 Fanning 公式2/e,0fFanning 阻力系数，做实验确定，两个参数的函数 。沿程水头损失系数 无量纲，实验确Rfe,4定第三节 流动相似原理水力学实验（模型试验，原型观测）理论的基础；理论和计算的验证许多理论分析和数值计算不能解决的问题还要靠实验问题：1. 模型试验能否正确反映原型的
9、规律？即：两流动是否相似？Model Prototype2. 两者的参数如何换算？即：相似的比例（比尺）？Similitude scale ratios一 流动相似的定义模型中的所有流动参数与原型中相应点上的对应流动参数保持各自一定的比例关系，则模型和原型中的流动是相似的。二 相似的特征，三个方面的相似流动相似必须满足三个方面的相似1 几何相似(Geometric similarity)：原型、模型的几何形状相似，所有相应长度成同一比例关系长度比尺如：矩形的边长 a、b 满足 lmpb长度比尺 (Length scale ratio)下标 p原型; 下标 m模型面积满足 面积比尺AlpbaA2
10、Area scale ratio体积比尺 (Volume scale ratio) 3lmpV几何相似所有对应角度相等2.运动相似( Kinematic similarity)：原型、模型各相应点上的相应流速大小成同一比例，方向相同。流速比尺 ( Velocity scale ratio )且 vmpxpmu tlu时间比尺 ( Time scale ratio ) ulmptt/加速度比尺 lutltumpa /22流量比尺 213lutltVmpQ 各比尺之间的关系可以由量纲关系导出3动力相似 ( Dynamic similarity )：原型、模型各相应点上相应的各种作用力方向相同，大小
11、成同一比例。微团上作用力：重力 G，压力 P，粘性阻力 F，惯性力 FI = ma ，有 0GpPpFpFI pFmGmFI mPm动力相似要求流体微团上作用力的力多边形相似Force scale ratio mpImppmF aFPG 2223 pul tlaValGpPp FpFI p Fm GmFI mPm有 22mpulFl其中 代表流体的惯性力（流体抵抗改变运动状态的能力）2ul两个动力相似的流动要求满足牛顿相似准则( Newton criterion of dynamic similarity )：Fl2u2或 mpNe牛顿数 (Newton number) 2l代表其他作用力与惯
12、性力的比值 具体到各个单项作用力，得到各自的相似准则。第四节 模型相似准则一 重力（弗劳德）相似准则 (Froude criterion of gravitational similarity )Scale ratio of gravitational force 2ulFmpG重力 gV所以 23ullgG重力相似对比尺的要求： 2l即 或 2mpulgpmll2令 弗劳德数（Froude Number） gluFr代表了流体惯性力与重力之比。重力相似准则（弗劳德相似准则）: Frp = Frm 或 2ulg弗劳德数中的 u、l 可以取有代表性的特征流速、特征长度，如：断面平均流速、水深等。
13、一般情况下，重力加速度比尺 g，则 lu2 即： ul1/2tlu l1/2, QAu =l5/2Fl3 , pF/A l ( or Fl3 , plwhen 二 粘滞力（雷诺）相似准则 (Reynolds criterion of similarity)Scale ratio of viscous force 2ulFmpFdtuA 21ullulF 粘滞力作用相似的比尺关系为： l即 或 mplump令 雷诺数 (Reynolds number)ulRe代表惯性力与粘滞力的比值。粘滞力相似准则（雷诺相似准则）: Rep = Rem或 lu u、l 可以选择有代表性的特征流速、特征长度根据比
14、尺关系有：ultl2/ , Q=lF2 = 2/, p2/l 2= 2/l 2等要使重力相似和粘滞力相似同时满足，要求ull1/2, 即 l3/2模型实验中寻找这样的流体十分困难。如果原型、模型是同样的流体， ，则必须 ull1/2所以， l1 时，重力相似和粘滞力相似不可能同时满足。两种相似准则必须择一：判断哪种作用力居主导地位。（1） 涉及阻力的问题一般必须考虑粘滞力相似。（2） 大雷诺数的情况，阻力系数不再随雷诺数变化，故不必要求原型、模型雷诺数相等。（3） 涉及自由水面的问题一般必须考虑重力相似。（4） 管道内部的均质流体流动中，重力作用可以和压强中的静压部分抵消，故可以不考虑。 时，
15、 ultl2, Q=lF, p/l 2等三 弹性力相似准则（柯西相似准则）：水击(water hammer)等问题中要求考虑液体的可压缩性。体积变化产生的弹性力 PK=pA=AK(22ulFlAPK 即： Ku2或 Cap = Cam 柯西数 (Cauchy number) vCa2代表流体惯性力与弹性力的比值四 表面张力（韦伯）相似准则 lu2或 Wep = Wem 韦伯数 (Weber number) 2lvWe代表液体惯性力与表面张力的比值。流速、水深不是很小时不必考虑表面张力的影响（u 0.23 m/s， h1.5 3. cm）五 流动非恒定性的相似准则 ult-1或St p = St
16、m实际上在运动相似的条件下自动满足一般在恒定流中不必考虑斯特鲁哈数 (Struhal number) tvlS代表当地加速度的惯性力与迁移加速度的惯性力的比值 六 压力（欧拉）相似准则压力（压差） pAP压力比尺 2ulF压力相似准则（欧拉相似准则）： Eup = Eum或 2欧拉数 (Euler number) 2Eu代表流体压力与惯性力的比值。 压力作用相似是其他作用力相似的结果，Eu = f(Fr, Re, Ca, We, St, )所以在设计试验模型时不必专门要求满足压力相似。七 阻力相似壁面平均切应力 2Re,0vf切应力比尺 22 ulullFuf 所以阻力系数 f 的比尺 ，1f即原型、模型的阻力系数相等f p = fm 而 Rfe,4所以 p = m 即要求 Rep =Rem，( /R)p = (/R)m雷诺数很大时流动处于阻力平方区，阻力系数不再随 Re 变
