1、高考、模拟题中对立体几何的考查出现了一些新题型，题目具有探索性、开放性，对这类问题向量法是求解这类问题的很好手段，借助向量使得几何问题代数化，降低了问题的难度，利用空间向量，将空间的位 置关系转化为某个几何量的数量关系，再具体求出这个变量，从而确定满足条件的几何量。解决这类问题的关键有两个：一是建立恰当的空间直角坐标系；二是存在性问题成立策略先假设存在，通过数量积的运算如果能够得出结论说明存在；否则就不存在。下面具体剖析。一平行中的存在性问题例 1.在如图所示的几何体中，底面 为菱形， ， ,且 ，ABCD60BA BECD/11 A1平面 ， 底面 .ED1AC11ADCB11E（）求二面角
2、 的大小；EACD1（）在 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，求 的值，若不存在，说明理由.P1/E1PE解：（I）设 与 交于 ， 如图所示建立空间直角坐标系 ，BOOxyzADCB11Exyzo设 ，则，2AB 1(3,0)(,1)(3,0)(,)(0,2)BC设 则，),10(tE ,3,2,2, 11 tDADECDA1111 ，面E解得 ，1C=0,， 3,(0,)t， 设平面 的法向量为 ，(3)AEEA(,)mxyz则 ， 令 ，0m30xyz13，又 平面 的法向量为(,31)FAC),2(1ED2,cos1EDmF所以所求二面角的大小为 45（）设 得11(),DPEP
3、112(0,),1E1 23,0)3A， ，解得 ，1CAm平 面 132存在点 使 面 此时 。P/,E1:2DPE【点评】：本题通过建立坐标系，表示出相关点的坐标，利用向量知识求出平面的法向量，再利用数量积公式求出二面角，第二问题目具有开放性，注意借助第一问的法向量进行求解。二垂直中的存在性问题例 2【2012 高考真题北京理 16】 如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB上的点，且 DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2.(I)求证： A1C 平面 BCDE；(II)若 M 是 A1D 的
4、中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解：（1） CDE， 1A， DE平面 1AC，又 1A平面 1，又 ， 平面 BC。（2）如图建系 xyz，则 20D， ， ， 023A， ， ， 0B， ， ， 20E， ， ，1032AB， ，, 1AE， ，zyxA1 (0,0,23)D (-2,0,0) E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M设平面 1ABE法向量为 nxyz， ，则 10ABnE 20yzx 32zyx， 23n， ，又 10M， ， ， 103CM， ，
5、42cos|4n，C与平面 1ABE所成角的大小 5。（3）设线段 上存在点 P，设 点坐标为 0a， ， ，则 03，则 1023Pa， ， ， 2Da， ，设平面 1ADP法向量为 11nxyz， ，则 112yzx 1162zyxa 36na， ， 。假设平面 1ADP与平面 1BE垂直，则 10， 1230， 612a， ， 03a， 不存在线段 C上存在点 P，使平面 1ADP与平面 1BE垂直。点评：立体几何 “是否存在” 、 “是否有” 、 “在何位置”等，传统方法解答此类问题的思路是：首先假设点存在或猜测 点的位置，再进行推证，若推出矛盾，即可知该点不存在；利用向量法显得简单的
6、多，存在性问题成立策略先假设存在，通过数量积的运算如果能够得出结论说明存在；否则就不存在。三空间角中的探索性问题例 3 （2011 浙江理科）如图，在三棱锥 中 ， ，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 OPABCA落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4 ，AO=3 ，OD=2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。（I）证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 ， ，由此可得(0,)(,30)(4,2)(,0)(,4)OA
7、BCP(0,34)(8,0)ABC，所以 ，即PBCP.AB（II）解：设 ，,1(,3)M则 MPPA(4,2)(034),，设平面 BMC 的法向量 ，(5)(8,)ACB 11(,)nxyz平面 APC 的法向量 ，由2n2,xyz10,BC得 即1114(23)(4)0,80,xyx111, 23(0,)234,4nzy可 取由 即 得2,0.APnC2340,5yzx2225,(5,3).3,4xnzy可 取由 解得 ，故 AM=3。12,430,n得 5综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。点评： 在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量能够避免繁琐的“找” 、 “作” 、
8、 “证” ，只需通过定量计算，就可以解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用。四达标测试题1 （2018 陕西三模）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD C=90，CDAB， ，点 E 为 AC 中点，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示（）求证：ADBC ；（）在 CD 上找一点 F，使 AD平面 EFB（）取 CD 的中点 F，连接 EF，BF，在ACD 中，E，F 分别为 AC，DC 的中点，ADEF，EF平面 EFB， AD平面 EFB，AD平面 EFB 12 分2（2018 南京三模）如图，在三棱锥
9、 PABC 中，PA= ，其余棱长均为 2，M 是棱 PC 上的一点，D，E 分别为棱 AB，BC 的中点（1）求证：平面 PBC平面 ABC；（2）若 PD平面 AEM，求 PM 的长2【解答】（2）解法一、如图，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OMPD平面 AEM，PD 平面 PDC，平面 AEM平面 PDC=OM，PDOM ，则 = D，E 分别为 AB，BC 的中点，CDAE=O，O 为ABC 重心，则 = ，PM= PC= 3 （2018 如皋市二模）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA平面 ABCD（1）证明：平面 PBD平面 PAC；（2）设 E 为线
10、段 PC 上一点，若 ACBE ，求证：PA 平面 BED证明：（1）PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，PABD 又四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，又 PAAC=A，PA ，AC平面 PAC，BD平面 PAC而 BD平面 PBD，平面 PBD 平面 PAC （6 分）4（2018 聊城模拟）在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面 ABCD，E 为PD 的中点，PA=2AB=2（1）求四棱锥 PABCD 的体积 V；（2）若 F 为 PC 的中点，求证 PC平面 AEF（2）PA=CA，F 为 PC 的中点，AFPCPA平面 ABCD，PAC
11、D ACCD ，PAAC=A，CD平面 PACCDPCE 为 PD 中点，F 为 PC 中点，EFCD 则 EFPC AFEF=F，PC 平面 AEF 5 （2018 青州市三模）在如图所示的多面体 ABCDE 中，AB平面 ACD，DE平面 ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1 （1）请在线段 CE 上找到点 F 的位置，使得恰有直线 BF平面 CDE，并证明；（2）在（1）的条件下，求多面体 ABCDF 的体积AHCD，AHDE，CDDE=D ，AH平面 CDE，BF 平面 CDE6 （2018 铜山区一模）如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 ACD，E，F，G 分别
12、为 AB，AD ，AC 的中点，AC=BC，ACD=90（1）求证：AB平面 EDC；（2）若 P 为 FG 上任一点，证明：EP平面 BCD证明：（1）平面 ABC平面 ACD，ACD=90 ，CDAC ，平面 ABC平面 ACD=AC，CD 平面 ACD，CD平面 ABC，又 AB平面 ABC，CD AB，AC=BC，E 为 AB 的 中点，CE AB，又 CECD=C，CD平面 EDC，CE 平面 EDC，AB平面 EDC7 （2018 海淀区校级模拟）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，侧面 PAD底面ABCD，BCD=60， ，E 是 BC 中点，点 Q 在
13、侧棱 PC 上（）求证：ADPB；（）是否存在 Q，使平面 DEQ平面 PEQ？若存在，求出，若不存在，说明理由（）是否存在 Q，使 PA平面 DEQ？若存在，求出若不存在，说明理由7 证明：（）取 AD 中点 O，连接 OP，OB，BD因为 PA=PD，所以 POAD因为菱形 ABCD 中，BCD=60 ，所以 AB=BD所以 BOAD因为 BOPO=O，且 BO，PO 平面 POB，所以 AD平面 POB所以 ADPB ， =（1， ， 1） ， =（2， ，） ，设平面 DEQ 的法向量 =（ x，y，z ） ，则 ，所以平面 DEQ 的法向量为 ，设平面 PEQ 的法向量为 ，则 ，取 y=1，得 =（0，1， ） ，因为平面 DEQ平面 PEQ，所以 =0（1）+10+ （2 1）=0，解得 = ，故 Q 为 PC 中点时，平面 DEQ平面 PEQ（）设由（）可知 设 Q（x，y，z） ，则 ，
