1、3.3.2均匀随机数的产生,【自主预习】主题1:均匀随机数的产生1.在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢?我们常用的是0,1上的均匀随机数,如何利用计算器产生01之间的均匀随机数?,提示:能.利用计算器产生01之间的均匀随机数,2.如何利用计算机产生0,1之间的均匀随机数?提示:用计算机的方法如下:用Excel演示.(1)选定A1格,键入“=rand()”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的0,1上的均匀随机数.,(2)选定A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2A100,点击粘贴,则在A2A100的
2、数都是0,1上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个01之间的均匀随机数,相当于做了100次随机试验.,通过以上探究,试着总结出均匀随机数的定义及产生方法:定义:如果试验的结果是区间a,b内的_一个实数, 而且出现任何一个实数是_的,则称这些实 数为均匀随机数.,任何,等可能,产生方法:方法一,利用几何概型产生;方法二,用转盘产生;方法三,用_或_产生.,计算器,计算机,主题2:用随机模拟方法估计概率和不规则图形的面积1.向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖N支.,则如何利用随机模拟的方法统计出分别落在正方形和阴影部分的飞镖数?,提示:先产生两组0,1内的均匀随机数a=RAND, b=RA
3、ND;经过平移和伸缩变换:x=2(a-0.5),y=2(b-0.5);统计出满足的结果数和试验的总次数.即统计出落在正方形和阴影部分的飞镖数.,2.观察如图所示的图形,回答有关问题:,(1)图中阴影部分为一个不规则的图形,你可以采用什么方法求其面积?提示:计算不规则图形的面积可利用几何概型,并通过随机模拟方法可以近似计算不规则图形的面积.,(2)解决不规则图形面积的计算公式是什么?提示:利用公式 P(A) 计算出不规则图形的面积.,总结以上探究过程,试着写出用随机模拟近似计算随机事件概率的方法:试验模拟法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计 试验结果,进行近似计算.,计算机模拟法:用_软件
4、产生0,1上的均匀随机 数进行模拟,注意操作步骤.,Excel,【深度思考】结合教材P139例3你认为用随机模拟方法估计几何概型的概率方法步骤有哪些?第一步:建立概率模型.第二步:进行模拟试验(可用计算器或计算机进行).,第三步:统计试验结果.第四步:利用公式计算概率.,【预习小测】1.下列关于随机数的说法:(1)计算器只能产生0,1之间的随机数.(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数.(3)计算器只能产生均匀随机数.,(4)我们通过命令rand()*(b-a)+a来得到两个整数值之间的随机数.其中正确的是_.,【解析】,答案:(4),2.已知b1是0,1上的均匀随机数,b=3(b1
5、-3),则b是区间_上的均匀随机数.【解析】因为b1-3是-3,-2上的均匀随机数,所以b是区间-9,-6上的均匀随机数.答案:-9,-6,3.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影部分,在中央随机撒1粒豆子,它落在阴影部分的概率是0.3,则阴影部分的面积估计为_.,【解析】设阴影面积为S,则 0.3,所以S1.2.答案:1.2,4.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影部分,在中央随机撒1 000粒豆子,它落在阴影部分有250粒,则阴影部分的面积估计为_.,【解析】设阴影面积为S,则 所以S1.答案:1,5.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6cm,现用直径等于2cm的硬
6、币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.(仿照教材P139例3的解析过程),【解析】记事件A表示硬币与格线有公共点,设硬币中心为B(x,y).步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.(2)经过平移,伸缩变换,则x=(x1-0.5)6,y=(y1-0.5)6,得到两组-3,3内的均匀随机数.,(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|2或|y|2的点(x,y)的个数).(4)计算频率 ,即为硬币落下后与格线有公共点的概率.,【互动探究】1.整数值随机数与均匀随机数有何异同?,提示:均匀随机数与
7、整数值随机数的共同点是都是等可能取值,二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现的机会是均等的.不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数.,2.如果x是0,1上的均匀随机数,怎样才能得到它在a,b上相应的均匀随机数?,提示:如果x是区间0,1上的均匀随机数,则a+(b-a)x就是a,b上的均匀随机数;利用计算机Excel中的随机函数“rand()*(b-a)+a”也可以得到.,3.能否用均匀随机模拟方法估计长度型的概率呢?如果能,那么取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,请用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率.,提示:能,设剪得两
8、段的长都不小于2m为事件A.(1)利用计算器或计算机产生n个0,1之间的均匀随机数,x=RAND.(2)作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为0,5上的均匀随机数.,(3)统计出2,3内均匀随机数的个数m.(4)则概率P(A)的近似值为 .,【探究总结】知识归纳:,方法总结:a,b上均匀随机数的产生方法1.利用计算器或计算机产生0,1内的均匀随机数x1=RAND.2.利用伸缩和平移变换,x=x1(b-a)+a就可以得到a,b内的均匀随机数.,【题型探究】类型一:均匀随机数的产生【典例1】(1)设x是0,1内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x= 对应变换成的均匀随机数是()A.0B.2
9、C.4D.5,(2)在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y= 与x轴,x=1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到两个区间_和上的均匀随机数.,【解题指南】(1)利用伸缩变换公式x=x1(b-a)+a求解.(2)观察区域内点的横、纵坐标的取值范围.,【解析】(1)选C.当x= 时,y=2 +3=4.(2)由图可知需产生的两组均匀随机数所在区间为-1,1与0,2.答案:-1,10,2,【规律总结】1.应用随机数进行几何概型计算时应注意的问题(1)确定所需产生的随机数组,如长度、角度只需产生一组均匀随机数,面积要产生两组均匀随机数,体积要产生三组均匀随机数.,(2)由试验对应的区域,确定对0
10、,1内的均匀随机数进行变换.(3)由事件A发生的条件确定随机数满足的关系.,2.产生均匀随机数的关键用随机模拟方法求概率,其实质是先求频率,用频率近似代替概率.产生均匀随机数关键是设计好“程序”或者说“步骤”,并找到各数据需满足的条件.,【巩固训练】将0,1内的均匀随机数转化为-3,4内的均匀随机数,需要实施的变换为()A.a=a1*7B.a=a1*7+3C.a=a1*7-3D.a=a1*4【解析】选C.根据伸缩、平移变换a=a1*4-(-3)+ (-3)=a1*7-3.,类型二:用随机模拟法估计概率【典例2】解放军某部进行特种兵跳伞演习,如图所示,在长为16m,宽为14m的矩形内有大、中、小
11、三个同心圆,其半径分别为1m,2m,5m.若着陆点在圆环B内,则跳伞成绩为合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;,若跳伞者的着陆点在小圆A内,则跳伞成绩为优秀;否则为不合格.若一位特种兵随意跳下,假设他的着陆点在矩形内,利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.,【解题指南】本题为面积型几何概型,所求的概率为面积之比,若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比.,【解析】设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.(1)利用计算器或计算杌产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到-8,8与-7,
12、7上的均匀随机数.,(3)统计满足-8a8,-7b7的点a,b的个数N.满足1a2+b24的点(a,b)的个数N1.(4)计算频率fn(A)= 即为所求概率的近似值.,【延伸探究】在本例中,如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率.【解析】设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”.(1)利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.,(2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到-8,8与-7,7上的均匀随机数.(3)统计满足-825的点(a,b)的个数N1.(4)计算频率fn(A)= 即为所求概率的近似值.,【规律总结】1.用
13、随机模拟方法估计几何概型的概率的步骤(1)利用计算器或计算机产生一组0,1上的均匀随机数a1=RAND.(2)经过伸缩变换x=2ax-a,y=2by-b,得到一组-a,a, -b,b上的均匀随机数.,(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1.(4)计算频率fn(A)= ,即为所求概率的近似值.,2.用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可,所求事件的概率为表示事件的长度之比,对面积型几何概型问题,一般需要确定点的位置,而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的,故需要利用两组均匀随机数分别,表示点的两个坐标,从而确定点的位置,
14、所求事件的概率为点的个数比.,【巩固训练】取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率.,【解析】设剪得两段的长都不小于1m为事件A.方法一:(1)利用计算器或计算机产生n个0,1内的均匀随机数,x=RAND.(2)作伸缩变换:y=x*(3-0),转化为0,3上的均匀随机数.,(3)统计出1,2内均匀随机数的个数m.(4)则概率P(A)的近似值为 .,方法二:(1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻度0,3,这里3和0重合.(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针,记下指针在1,2内(表示剪断绳子位置在1,2范围内)的次数m及试验总次
15、数n.(3)则概率P(A)的近似值为 .,类型三:利用随机模拟试验估计不规则图形的面积【典例3】利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积,并估计的近似值.,【解析】(1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5)得到两组-1,1上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和点落在圆面的次数N1(满足a2+b21的点(a,b)的个数),(4)计算频率 ,即为点落在圆内的概率近似值.(5)设圆的面积为S,则由几何概型概率公式得P= ,即 ,则S 即为圆面积的近似值,又S圆=r2=,则=S ,
16、即为圆周率的近似值.,【规律总结】利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分,并用阴影表示.(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落在阴影部分的概率P(A)= .,(3)设阴影部分的面积是S,规则图形的面积是S,则有 = ,解得S= S,则已知图形面积的近似值为 S.,【巩固训练】利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的面积.,【解析】利用计算机产生两组0,1内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;经过平移和伸缩变换,a=a14-3,b=b13,得到一组-3,1和一组0,3上的均匀随机数;统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b2-2a-a2的点(a,b)的个数);,计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值;设阴影部分的面积为S,由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为 ,所以 ,故S 即为阴影部分面积的近似值.,
