1、2017 年下学期高三第 2 次月考试题理科数学卷命题： 审题：考试范围：集合至平面向量线性运算占 60%，其他占 40%.满分 150 分 时量 120 分钟一、选择题（本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,满分 60 分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）1.已知集合 是整数集,则2|0AxZAZ.1B.1C.1,0D.0,12.若复数 为纯虚数,则 的值为()izaRz2.3.23.在 中,已知 则角 为ABC(1,)(,1)BCB.30.45.60D.904.执行如图所示的程序框图,当输入的 为 6 时,输出的 的值为xy.1.215.已知命题 则有关命题 的真假及 的:(0
2、,)cos2pxp论述正确的是假命题, A.000:(,)s.x真命题, B.000:,co.22p假命题, C.000:(,)s.xx真命题,D.000:,co.22p6.函数 的图像与函数 的图像的交点个数为()lnfx()45gxA.0B.1C.D.37.函数 的最小正周期为sisin()cocofxx.4.2.2y=x2+1入入y入x0?x=-3入x8.已知命题 函数 在区间:sin(2);36pyxx曲 线 的 一 条 对 称 轴 为 :qsin(2)3yx上单调递增.给出下列命题： ; ; ;0,2pq ()p .pq其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.49.已知函数 若直线
3、过点 ,且与曲线 相切,则直线 的方程为()ln,fxl(01)()yfxl.10y.xCD10.已知实数 满足条件 ,则 的最小值为,xy20xyxA.1B.C.3.411.用 表示 两数中的较小值.若函数 的图像关于直线min,ab, ()min,fxxt对称,则 的值为xt.2.2.1D.112.若定义在 上的函数 满足 则不等式 的解R()fx(),(0)4,fxf3()1xfe集为A.(0,)B.(,0)(3,)C.(3,).(,0)(,)二、填空题：本小题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分.13.若函数 为奇函数,则实数 的值为_.()(1xfeaa14.设向量 满足
4、则,ab24b=_.15.若 则 _.4cos(),5sin16.记抛物线 与圆 所围成的封闭图形为区域 则从圆 中随机选2:Cyx2:Oy,MO取一点 恰好 的概率为_.,PM三、解答题:本大题满分 70 分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等.17.（满分 12 分）.在钝角三角形 中,内角 所对的边长为 已知角 为最大内角,且ABC,.abcC32sin.ac（1）求角 ;（2）若 且 的面积为 求 的值.,cAB3,2ab18.（满分 12 分）某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为 且各轮次通过与否相互独立.记该歌
5、手参赛的轮次为321,4 .（1）求 的分布列和数学期望.（2）记“函数 是偶函数”为事件 ,求 发生的概率；()3sin()2xf RA19.（满分 12 分）如图,在四棱锥 中,平面 平面PABCDPAB,90,CDBCAPA为 的中点.3,1,23BO（1）证明: ；（2）求二面角 的余弦值. 20.（满分 12 分）OBCA DP已知椭圆 的右焦点为 左顶点为2:1(0)xyEab(1,0)F(2,0).A（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 交于（不同于点 的） 两点.试判断AE,MN直线 与 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.M
6、Nx21.（满分 12 分）已知函数 2()(ln),.fxaxR（1）当 时,求 的单调区间；f（2）若 求实数 的取值范围.1(),2fe请考生在第 22 题与 23 题中任选一题作答,如果多做,则按第 22 题计分.22.（满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程已知极坐标方程 12:0,:sin()6.3C（1）求 的直角坐标方程,并分别判断 的形状；2 12,C（2）求 交点间的距离.123.（满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲设函数 ()1.fxxa（1）若 解不等式3,a()5;f（2）如果 求 的取值范围.002,R使 得 成 立 a2017 年下学期隆回一中高三第
7、 2 次月考试题卷理科数学卷参考答案命题： 审题： 满分 150 分 时量 120 分钟一、选择题（本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,满分 60 分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）1.已知集合 是整数集,则2|0AxZAZ.1B.1C.1,0D.0,1【答案】 【解析】C|()|2xx,0.Z2.若复数 为纯虚数,其中则 的值为()izaRzA.1.2.3.【答案】 【解析】设 其中 则 解得 所以1,iba,0.Rb1,ibai1.b,zi.3.在 中,已知 则角 为ABC(1,3)(,1)BCB.30.45.60D.90【答案】 【解析】因为 所以角 为3cos,2A34
8、.执行如图所示的程序框图,当输入的 为 6 时,输出的 的值为xyA.1B.2C.5D.10【答案】 【解析】略.D5.已知命题 则有关命题 的真假及 的:(0,)cos.2pxxp论述正确的是假命题, A.000:(,)s.真命题, B.000:,co.22pxx假命题, C.000:(,)s.真命题,D.000:,co.22pxx y=x2+1入入y入x0?x=-3入x【答案】 【解析】设 则 在 上单调递增.所D.()cos,fx()1sin0,fx()fx,2以对 命题 为真命题,选(0,)2xcos.2fpD.6.函数 的图像与函数 的图像的交点个数为()2lnfx2()45gxA.
9、0B.1C.D.3【答案】 【解析】由 知, 的图像是顶点坐标为22()()1()gx开口向下的抛物线.且 作图可知函数 与函数(2,1) ln4f()fx的图像有两个交点.gx7.函数 的最小正周期为sinsi()coconxxfA.4B.2C.D.2【答案】 【解析】通分可得 所以 的最小正. 22sicosin() ta.xxf()fx周期 .2T8.已知命题 函数 在区间:sin(2);36pyxx曲 线 的 一 条 对 称 轴 为 :qsin(2)3yx上单调递增.给出下列命题： ; ; ;0,2pq ()p .pq其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】 【解析】当 时,
10、 故命题 为假命题.函数 在6x0,pysin(2)3x上单调递增,在 上单调递减.故命题 为假命题.从而为真命题,选50125,12qA.9.已知函数 若直线 过点 ,且与曲线 相切,则直线 的方程为()ln,fxl(01)()yfxlA.0yB.xC1D【答案】 【解析】 设切点为 则斜率.()ln1,fx 00(,ln),x0ln1kx解得 所以 的方程为 即00ln1l,xx01,.xkl1,yx10.y10.已知实数 满足条件 ,则 的最小值为,y20yxxA.1B.C.3D.4【答案】 【解析】略.11.用 表示 两数中的较小值.若函数 的图像关于直线min,ab, ()min,f
11、xxt对称,则 的值为1xtA.2B.2C.1D.1【答案】 【解析】作图可知,当 时,函数 的图像关于直线 对称.所以0t()fx2tx解得12t.t12.若定义在 上的函数 满足 则不等式 的解R()fx()1,(0)4,fxf3()1xfe集为A.(0,)B.(,0)(3,)C.(3,)D.(,0)(,)【答案】 【解析】令 由已知可得,1,xgef1.xgefx在 上恒成立,所以 在 上单调递增. 又 所以不等式()gxR()R()3即 解得 所以选3113,xxfef(0).x,xA.二、填空题：本小题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分.13.若函数 为奇函数,则实数 的
12、值为_.()(xfaa【答案】 【解析】易证 为奇函数,又因为函数 为奇函数,所以0.axye()fx为偶函数.故1yx0.14.设向量 满足 则,b25,4,ab=_.【答案】 【解析】因为 所以2. 2()()0164,+a2.ab15.若 则 _.4cos(),5sin【答案】 【解析】7.2 2 7i2co()cos()12.4516.记抛物线 与圆 所围成的封闭图形为区域 则从圆 中随机选:Cyx2:Oy,MO取一点 恰好 的概率为_.,PM【答案】 【解析】略.146三、解答题:本大题满分 70 分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等.17.（满分 12 分）.在钝角三角形 中,内
13、角 所对的边长为 已知角 为最大内角,且ABC,.abcC32sin.ac（1）求角 ;（2）若 且 的面积为 求 的值.,cAB3,2ab解：（1）因为 由正弦定理可得 因为32sin,acsin2isn.ACsi0,A所以 （3 分）sin.C因为 为钝角三角形,且角 为最大内角,所以 故 （5 分）ABC.22.3（2）因为 的面积为 所以 （7 分）13sin,24Sabab6.ab由余弦定理得 所以2 22co(),ca2()c即 （10 分）1864,ab6.所以 是方程 的两解,解得 （12 分）,20x6.ab18.（满分 12 分）某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛
14、,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为 且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为321,4 .（1）求 的分布列和数学期望.（2）记“函数 是偶函数”为事件 ,求 发生的概率；()3sin()2xf RA解：（1） 的可能取值为1,.1,4P31(2),4（3 分）32().4P的分布列为1 2 3P4（7 分）19123.4E【评分建议】分布列和数学期望各计 2 分.（2）因为 是偶函数,所以 或 （9 分）()sin()xf R13.（12 分）13()1).4PAP19.（满分 12 分）如图,在四棱锥 中,平面 平面BCDAB,90,CDABCPA为 的
15、中点.3,1,23BO（1）证明: P；（2）求二面角 的余弦值. 解：（1）联结 因为 为 的中点,3,APBA所以 又平面 平面 交线为.OBCDB平面 所以 又P, .平 面 平 面所以 （5 分）,ACD.（2）取线段 的中点 因为 所以,E2O， ,A90,由（1）知, 故可以 为原点, 射线,.B .PBC平 面 O分别为 的正半轴建立空间直角坐标系 则OEPxyz轴 轴 轴 .xyz（6 分）(0,)(,)(0,2),(13,0).CD于是 1(,2).O设平面 的一个法向量为 由 得D1(,)xyzm0,CPDm令 得 （8 分）1120,xyz1,.设平面 的法向量为 由 得
16、OP2(,),xyzn0,On令 得 （10 分）20,3zxy23,10.OBCA DP所以 易知二面角 的平面角为锐角,所以二42cos, .510mnCPDO面角 的余弦值为 （12 分）CPDO.20.（满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 左顶点为2:1(0)xyEab(1,0)F(2,0).A（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 交于（不同于点 的） 两点.试判断AE,MN直线 与 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.MNx解：（1）由已知得 （3 分）1,2ca2.bc所以椭圆 E的方程为 （4 分）.43y（2）当直线 与 轴
17、垂直时,直线 的方程为NxAM2,yx联立 得 解得2341yx27640,().7或 舍 去此时直线 的方程为 直线 与 轴的交点为 （6 分）M.xNx2,0.当直线 不垂直于 轴时,设直线 的方程为Nykxm联立 得2341ykmx22(3)8410.kxkm设 则12(,)(,)My 2121212 3,4kxyk且 即 （8 分）843()0k43.而 由题意知,12(,)AxyANxy ,AMN即22211716() 0,43mk 解得 或 （10 分）7mk.舍 去当 时,满足 直线 的方程为 此时与 轴的交点为2243.kMN2(),7ykxx故直线 与 轴的交点是定点,坐标为
18、 （12 分）(,0).7Nx,0.21.（满分 12 分）已知函数 2()(ln),.fxaxR（1）当 时,求 的单调区间；f（2）若 求实数 的取值范围.1(),2fe解：（1）当 时, （1 分）a2(ln,fxx1(2)() .xf 令 得 当 时, 单调递减;()0,fx1.0)0时, 单调递增. （3 分）(),f(f所以 的增区间为 减区间为 （4 分）()f(,1).（2）212(),0.xaxax当 时, 显然符合条件. （5 分）0a)f当 时,存在 使得20(,),xa220000()lnfxaxa.而 不合题意. （7 分）1()2e当 时,对于 ,因为 设 的两根为
19、a2x28,2x又因为 所以12()x120a12.x当 时, 当 时, 0(,()ff递 减 ； ()()0,()ffx递 增 .所以 （9 分）2min 2()ln.fx又 所以2,xami 21()(l1).fax因为 所以 即 解得1(),fein,fe22ln.xe20.xe因为 所以20,xa20(,).1xa综上所述,实数 的取值范围为 （12 分）2(,.e请考生在第 22 题与 23 题中任选一题作答,如果多做,则按第 22 题计分.22.（满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程已知极坐标方程 12:0,:sin()6.3C（1）求 的直角坐标方程,并分别判断 的形状
20、；12C12,C（2）求 交点间的距离.解：（1） 的直角坐标方程为120.xy是以原点为圆心,半径 的圆. （2 分）1r因为 将 代入得3sin()sincos6,32cos,inxy表示一条直线. （5 分）10xyC（2）记 的交点为 圆 的圆心到直线 的距离 （7 分）2,AB1AB126,3d所以 交点间的距离为 （10 分）1, 22106.rd23.（满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲设函数 ().fxxa（1）若 解不等式3,a()5;f（2）如果 求 的取值范围.002,R使 得 成 立 a解：（1）当 时, （3 分）3a2,1()134.,3xfxx作出图像（略）,可得不等式 的解集为 （5 分）()5f7,.2（2）因为 所以 （7 分）00,2,xRx使 得 成 立 min()fx即 解得 （10 分）1a31.a
