1、20182019 学年度第一学期第一次月考试题高三（数学） （理）一选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数 的共轭复数为 ，满足 ，则复数 （ ）izaRz1zA B C D2i2iii2已知集合 ， ，则 的真子集的个数340xZln2BxAB为（ ）A3 B4 C7 D83在( x2-1)(x+1)4的展开式中， x3的系数是（ ）A0 B10 C10 D204一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图A B C D21+2+125设函数 f(x)=logax（ a0 且 a1）的定义域为（
2、41，+） ，则在整个定义域上， f(x)2 恒成立的充要条件充是（ ）A0 a 1 B0 a 2 C a 2且 a1 D a 2且 a16设 x，则 a= x，b=1+ x，c= 1中最大的一个是（ ）A a Bb Cc D不确定7如图的程序框图，当输出 后，程序结束，则判断框内应该填（ ）5yA B C D1x 2x 3x 4x8 “不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A m B00 D m1149已知 O 为坐标原点，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OB的值是（ ）A 34 B- 34 C3 D-310若函数 是 上的减函数，则
3、实数 的取值范围是（ ）1,)32(,)xaxf RaA B C D1,32(,4 43,2(),32(11函数 y=e|lnx| x1|的图象大致是（ ）A B C D12偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x0,1时, f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= 10,在 x0,4上解的个数是（ ）A1 B2 C3 D420182019 学年度第一学期第一次月考答题卡高三（数学） （理）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上.）13已知 ， ，若向量 ， 不共线，则实数
4、的取值范围为,ma,2babm_.14设函数 f(x)满足 f( )1 x，则 f(x)的表达式为_1 x1 x15设平面上的动点 P（1， y）的纵坐标 y 等可能地取 2,30,2,用 表示点P 到坐标原点的距离，则随机变量 的数学期望 E = . 16设 x、 y 满足约束条件1,2,xy则目标函数 z=6x+3y 的最大值是 .三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知ABC Cabc，sin3sinAB（1）若 ，求 的值，222cocosinsinAB（2）若
5、 ，求 面积的最大值18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，CDPD，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB=3，点 E 在棱 PA 上，且 PE=2EA（）证明 PC平面 EBD；（）求二面角 ABED 的余弦值19. （本小题满分 12 分）据悉，2017 年教育机器人全球市场规模已达到 8.19 亿美元，中国占据全球市场份额10.8%通过简单随机抽样得到 40 家中国机器人制造企业，下图是 40 家企业机器人的产值频率分布直方图（1）求 的值；m（2）在上述抽取的 40 个企业中任取 3 个，抽到产值小于 500 万元的
6、企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取的 40 个企业中任取 2 个，设 为产值不超过 500 万元的企业个数与超过Y500 万元的企业个数的差值，求 的分布列及期望20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C：214xy，斜率为 32的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B（）设 M 为弦 AB 的中点，求动点 M 的轨迹方程；（）设 F1， F2为椭圆 C 在左、右焦点， P 是椭圆在第一象限内一点，满足 1254PF，求 PAB 面积的最大值 21. （本小题满分 12 分）已知函数 ()lnhx， 2()(0)ax.（）求 ()()xagtd；（）设函数 ()1fhgx
7、，试确定 ()fx的单调区间及最大最小值；（）求证：对于任意的正整数 n，均有 123!nee 成立.请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （本小题满分 10） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 C 的极坐标方程是 2，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为13xty(t 为参数).（）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（）设曲线 C 经过伸缩变换 12y得到曲线 ，设 M(x,y)为 C上任意一点，求 223xy的最小值，并求相应的点 M 的坐标. 23. （本小题
8、满分 10） （选修 4-5：不等式选讲）设函数 ()|fxa（）当 a=2 时，解不等式 f（ x）7| x1|；（）若 f（ x）2 的解集为1，3， 1(0,)2amn，求证：423mn），（），（），（ 250()1fx高三数学（理）答案一选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C A A B C C C B C D D二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13.14 15 5；16 5.三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 1
9、2 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知ABC Cabc，sin3sinAB（1）若 ，求 的值，222cocosinsinAB（2）若 ，求 面积的最大值A【答案】 （1） ；（2） 3【解析】 （1） ，22cosincosinsBCAB ，1 分22sini1iA ，2 分ss ，3 分22abca ，4 分21osC又 ， ，5 分036 分23sinsinsiABC（2）当 时， ，7 分c32abc ，8 分222 4os 1abcC ，9 分22248in1cs1ab ，10 分281i 6SabCab ，23 ，即 ，当且仅当 时等号成立，11 分ab 3 3
10、ab ，116868222Sa 面积的最大值为 12 分ABC18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，CDPD，底面 ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB=3，点 E 在棱 PA 上，且PE=2EA（）证明 PC平面 EBD；（）求二面角 ABED 的余弦值（）证明：连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG， 12GCB，又 12EP， ， PCEG，又 EG平面 EBD，PC 平面 EBD， PC平面 EBD. 6 分（）解法一： PB平面 ABCD， ADPB.又 ADAB， AD平面 EAB.作 AHBE 于 H，连接 DH，
11、则 DHBE， AHD 是二面角 ABED 的平面角.在ABE 中，AE= 23P，由余弦定理可得 BE= 5，由ABE 的面积得：AH= sin43BE， tanAHD= ADH= 5，故 二面角 ABED 的余弦值为 6. 12 分解法二：建立如图所示的直角坐标系 BXYZ，设 BC=a，则 A（0，3，0） ，P（0，0，3） ，D（3，3，0） ，C（ a，0，0） ，=（3- a，3，0） ， PD=（3，3，-3） ， CDPD， DP=0，即 3(3-a)+9=0， a =6， =（-3，3，0） ， A=（0，3，-3） ，BE=（0，2，1） ， B=（3，3，0） ，设平面
12、 EBD 的法向量为 n1=(x， y，1)， 由 1,0nD得 2,30 ,21,xy于是 n1=( 2，- ，1)，而为平面 ABE 的法向量为 n2=(1，0，0)， cos= 6，故 二面角 ABED 的余弦值为 6. 12 分19. （本小题满分 12 分）据悉，2017 年教育机器人全球市场规模已达到 8.19 亿美元，中国占据全球市场份额 10.8%通过简单随机抽样得到 40 家中国机器人制造企业，下图是 40 家企业机器人的产值频率分布直方图（1）求 的值；m（2）在上述抽取的 40 个企业中任取 3 个，抽到产值小于 500 万元的企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取
13、的 40 个企业中任取 2 个，设 为产值不超过 500 万元的企业个数与超过Y500 万元的企业个数的差值，求 的分布列及期望【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析0.419【解析】 （1）根据频率分布直方图可知，2 分5.37.50.4m（2）产值小于 500 万元的企业个数为： ，3 分30541 所以抽到产值小于 500 万元的企业不超过两个的概率为 632640C9P分（3） 的所有可能取值为 ， ， 7 分Y20，8 分2640C51P，9 分26407Y10 分2140CP 的分布列为：Y202P51715760期望为： 12 分573202165EY20. （本小题满分 1
14、2 分）已知椭圆 C：214xy，斜率为 32的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B（）设 M 为弦 AB 的中点，求动点 M 的轨迹方程； （）设 F1， F2为椭圆 C 在左、右焦点， P 是椭圆在第一象限内一点，满足1254P，求 PAB 面积的最大值解：（）设 M（ x， y） ， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由 2， 14 ； 得： 1212yyxx，即 34yx； 30 4 分由于弦 AB 的中点在椭圆内部，得 3x， M 点的轨迹方程为 20xy（ ） ； 5 分（）依题意： F1（ 3，0） ， F2（ ，0） ，设 P（ x， y） （ x0
15、， y0） ，则 (,)Pxy， (3,)，由 1254得： 225(, 34xyxyy ，即 27xy，与椭圆的方程联立，解得：1,;2y P 点坐标为 3(1,)2； 6 分设直线 l 的方程为 yxm，联立 2314yxm，整理得： 22310xm，由0 得2 m2， 12， 2x， 于是 7|4AB，点 P 到直线 l 的距离 |74d， 8 分22114| 12PABmS；当且仅当 m2=4 m2，即 (3,)时，取等号，故， PAB 面积的最大值 1 12 分21. （本小题满分 12 分）已知函数 ()lnhx， 2()(0)ax.（）求 ()()xagtd；（）设函数 ()1f
16、hgx，试确定 ()fx的单调区间及最大最小值；（）求证：对于任意的正整数 n，均有 123!nee 成立.解：（） 2()()|()xxxaaa xagtdt ； 3 分（） ll1(0)h， ()nln()xxfx，22()1()a， a0， 函数 fx在区间 0,上单调递减，在区间 (,)a上单调递增，函数 ()fx的最小值为 ()lna，函数 ()fx无最大值； 7 分（）取 a =1，由（）知， 10fx， 1lnx，即 lex，亦即 1xe， 10 分分别取 ,2n 得1e， 1， 13e， 1ne，将以上各式相乘，得： 123!nee 12 分请考生在第 22、23 题中任选一题
17、做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （本小题满分 10） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 C 的极坐标方程是 2，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为13xty(t 为参数).（）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（）设曲线 C 经过伸缩变换 12xy得到曲线 ，设 M(x,y)为 C上任意一点，求 223xy的最小值，并求相应的点 M 的坐标.解：（）圆 C 的方程为 24xy 1 分直线 L 方程为 30 3 分（）由12xy和 24y得 C21xy 5 分设 M 为 xcosin，则 223
18、cos()3x 8 分所以当 M 为 3(1,)2或 (,)时原式取得最小值 1 10 分23. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数 ()|fxa（）当 a=2 时，解不等式 f（ x）7| x1|；（）若 f（ x）2 的解集为1，3， 1(0,)2amn，求证：423mn解：（）当 a=2 时，不等式 f（ x）7| x1|，即| x2|+| x1|7， 1,27;x，或 12,7;，或 2,17; 3 分解得 x2，解得 x，解得 x5，不等式的解集为（25，+） 5 分（） f（ x）2，即| x a|2，解得 a2 x a+2，而 f（ x）2 解集是1，3， 21,3;a，解得 a=1， 12mn （ m0， n0） 7 分 44=()323mn，当且仅当 2，即 21， n时，取等号 10 分
