1、信号理论及应用 （总结）,内容：,信号基本概念 信号理论的数学基础 信号变换 信号空间理论的应用 现代信号分析方法,基本要求：,基本思想 信号分析和处理的基本方法 信号分析方法应用,实信号的复数表示：,正交化方法解析信号方法,带通线性系统的复数表述：,线性系统的频域分析法,脉冲相应,频率特性,随机信号的复数表示：,将对确定信号与线性系统的复数表示方法应用到平稳随机过程。,信号的特征表示：,信号的时域描述,信号波形的时域特征：,平均时间（时间中心）：,持续时间(时宽）：,任意时间函数的平均值：,信号的频域描述,信号波形的频域特征：,平均频率（中心频率）：,带宽：,任意频率函数的平均值：,频率参数
2、的计算方法：,信号的瞬时特征：,怎样定义信号的瞬时频率？,平均频率:,瞬时频率:,瞬时频率定义的讨论：,物理意义？合理性？,瞬时频率的讨论：,瞬时频率的悖论。,瞬时频率可以不是信号频谱之一。 线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续的。 解析信号的瞬时频率可以是负的。 对带限信号，瞬时频率可以在带宽之外。,第五个谬误的地方,局部意义下的瞬时频率，需要知道全部 信号才能计算。,群延迟：,频率信号的一个重要瞬时参数。,平均时间:,群延迟:,Heisenderg不确定原理:,更精确的不确定原理：,第二章 信号空间 -信号理论的数学基础,集合论基础集合:具有某种特定性质的事物的总体。,信号的集合表示：,正弦
3、 信号 周期信号 能量有限信号 带宽有限信号,关系:,元素与集合的关系属于不属于集合与集合之间的关系包含,集合的划分和等价：,划分：S=S1S2 S3 等价：集合元素间的一种关系 记作.满足：自反性：x x对称性：x y y x传递性：x y与 y z x z,集合的运算：,并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集）；记作AB（或BA） 交集：以属于A且属于B的元素构成的集合。 记作AB（或BA），即AB=x|xA,且xB,映射,定义,集合上的运算：,群一个集合X,在这个集合上有一个被称作乘法的内部运算。且满足：,环一个集合X,在这个集合上有两个分别被称作乘法与加法的内部运算
4、。且满足：,环的恒等元,Abel环在乘法运算下，还是一个Abel群的环。,域一个具有恒等元的环，且满足除零（加法的恒等元）以外的所有元素都有逆元。,模在一个Abel群上再加上一个被称为数乘的外部运算。,代数一个在具有恒等元的环R上的模A，再加上一个内部可结合运算（乘法）。,Lebesgue积分学定理Riemann积分与Lebesgue积分,f(x),x,Riemann积分,x,Lebesgue积分,f(x),实变函数介绍：,几乎处处收敛：,控制收敛定理,Fubili定理,距离空间（度量空间）,距离的定义,A，d称为距离空间,赋范线性空间,设X是一个线性空间，若存在X上的一个泛函，满足：,非负性
5、: 齐次性： 三角不等式：则称X是赋范线性空间。,内积空间,设X是一个复线性空间，若存在一个二元 映射，满足：,线性性:=a+b 对称性： = 非负性：则称X是一个内积空间。,赋范线性空间中的收敛概念：,完备性：,完备的赋范线性空间称为Banach空间。,信号空间的不等式和正交概念：,勾股定理,合理性？,第三章 信号的矢量表示,线性独立、基和维数:,线性独立（线性空间的概念）,线性独立保证表示的唯一性。,基空间的最大线性独立组,线性空间的基不是唯一的。,维数最大线性独立组中矢量的个数。,分析：,解线性方程组,矩阵表示：,正交基：,双正交性,双正交基（逆转基）：,L2空间信号的最佳逼近和投影定理
6、：,问题有限维空间M以外的信号如何表示：,思路有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。,投影定理：,最小均方下的最佳逼近,多维空间中的最佳逼近：,问题的描述：,？,证明：,正交投影的计算：,解线性方程组,基的正交化：,Gram-Schmidt正交化过程,问题： 找一组两两正交的单位矢量e1 e2 en 使e1 e2 en与a1 a2 an等价。 称为把a1 a2 an规范正交化问题。,随机信号的正交展开：,希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。,用一组随机变量表示随机信号。,第四章 信号空间的线性算子,信号处理系统由完成各种基本运算的部件组成。（放大、滤波、调制、检测）,信号离散表示推
7、广到连续函数。,1.信号的积分变换与表示:,积分变换核函数,可逆性分析：,可逆条件,自对偶,2. 线性变换（线性算子）,定义,线性算子的运算（加、数乘） 线性算子的范数 （赋范线性空间） 线性算子空间构成一个代数。（算子乘法）,线性变换（线性算子）空间,线性算子空间,线性算子的范数,线性算子的全体构成赋范线性空间。,线性算子范数的其他表述,3. 有限维内积空间的线性算子,空间的基,基的变换响应,4. L2空间的线性算子,输入信号,输出信号,t:自变量,s:参变量,L2空间的线性算子的三种表示：,信号变换,基变换,分量密度函数变换,线性算子的第三种表示：,变换核函数,5.线性算子的实例,非时变算
8、子 恒等算子 乘法器 微分算子 时间平均算子 理想滤波算子 匹配滤波（相关）算子,6. L2空间线性算子的有限维近似,如何解决无限维空间上算子实现的困难？,思路1：将线性算子的定义域限制在有限维空间上；,7. 算子的谱表示,什么是算子的最佳表示方式？,算子的表示和实现将非常简单！,伴随算子,算子特征值和特征矢量的计算,怎样确定特征值和特征矢量？,算子特征值和特征矢量的计算,矩阵的特征值和特征矢量求解,第五章 信号空间理论的应用,信号、系统的最优设计,泛函极值问题,怎么得到？,1.线性泛函,具有运算线性性的泛函,定义：,内积空间中线性泛函的表示方式 ？,由内积导出的泛函,有界性,连续性,定理：H
9、ilbert空间中任意连续线性泛函均可表示为内积形式。,唯一； 变换核,在信号处理中，意味作什么？,2.双线性泛函与二次泛函,具有双线性性的二元泛函,定义：,内积是双线性泛函,定理：Hilbert空间中任意连续双线性泛函均可表示为：, 在信号系统中，滤波器是其中重要部件之一。滤波器的作用：,增强信号 抑制噪声,3.最佳滤波器设计问题,信号检测性能取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比。（信噪比）信噪比越大，错误判决的概率就越小；信噪比越小，错误判决概率就越大。,目标：,设计滤波器，使输出信号的信噪比最大。,4.信号分辨理论（模糊函数）,信号可分辨程度的度量距离：,差异由什么造成？ 影响
10、信号分辨能力的因素有哪些？,物理意义？,信号质量,检测方法,信号形式,模糊函数,两个目标回波复包络的时间-频率复合自相关函数。,第六章 信号的时频分布,时频分布的基本思想：,建立一个函数，使其能够同时用时间和频率来描述信号的能量密度分布。 这个函数还能提供计算能量密度分布的方法。,能量密度分布的条件：,边缘条件：,时间和频率位移不变性,时域位移不变性,频域位移不变性,线性尺度变换：,瞬时频域与群延迟：,短时傅立叶变换,对Fourier变换的修补,频谱图,Wigner_Ville分布的定义,Wigner_Ville分布的问题：,非负性问题Wigner_Ville分布丢掉了作为能量密度分布的一个基本性质。非负性不成立。,Wigner_Ville分布的问题：,交叉项干扰问题,交叉项抑制方法：,加窗,称为伪Wiger_Ville分布（PWD）,非负性的解决方法：,平滑,Cohen类时频分布：,Cohen指出：信号的时频分布可以表示为：,小波变换,连续小波变换的定义：,二进小波变换的定义：,对连续小波的离散化处理：,多尺度（分辨）分析的定义：,Mallat算法（塔式算法）其在小波变换中的地位等同于FFT在Fourier变换中的地位。,小波变换的主要应用领域：,信号分析 图像处理,
