1、第2章 电阻电路的分析,2.1 电路的简化和等效变换 2.2 网络分析和网络定理 2.3 线性网络的基本性质 习题2,2.1 电路的简化和等效变换,2.1.1 电阻的串、并联等效变换1. 串联电路的等效变换及分压关系 如果电路中有若干电阻顺序连接，通过同一电流，则这样的连接法称为电阻的串联。如图2.1（a）所示，电压为U，电流为I，有n个电阻串联。图2.1(b)中，如果电压也为U，电流也为I，电阻为R，则两电路等效。其等效电阻为R=R1+R2+Rn= （2.1) ,图 2.1 电阻的串联,各电阻上分压关系为U 1U 2 U n=R 1R 2 R n (2.2) 且 (2.3) 当串联的电阻只有
2、两个时，则有(2.4) (2.5),2. 并联电路的等效变换及分流关系若干电阻并排连接，在电源作用下，各电阻两端具有同一电压，则这些电阻的连接称为并联, 如图2.2(a)所示。其等效电路如图2.2(b)所示，等效电阻R为或用电导表示为G=G 1+G 2+Gn= (2.7),(2.6),图 2.2 并联电路的等效,并联电路中各支路电流的分配关系为I 1I 2 :I n=G 1G 2G n (2.8)且当电路中只有两个电阻并联时，有或 G=G1+G2 (2.10) ,(2.9),其电流分配关系为(2.11),(2.12),3 混联电路的等效变换 例2.1 如图2.3(a)所示，电源US通过一个T型
3、电阻传输网络向负载RL供电，试求: 负载电压、电流、功率及传输效率。设US=12 V，RL=3 ，R1=R2=1 ，R0=10 。,图 2.3 例2.1电路图,解 这一电路可用串、并联化简的办法求解。(1) 先将R2与RL相串联，得到图2.3(b)：R2L=R2+R L=1+3=4 再与R0相并联，得等效电阻R02L，如图2.3(c)所示：最后求出总电阻R，如图2.3（d）所示：R=R 1+R02L=1+2.86=3.86 ,(2) 求总电流I： (3) 用分流法求出负载的电流与电压：UL=ILRL=2.223=6.66 V,(4) 计算功率与效率： ;负载功率 PL=ULIL=6.662.2
4、2=14.79 W电源功率 PS=USI=123.11=37.32 W传输效率 ,2.1.2 星形与三角形网络的等效变换不能用串联和并联等效变换加以简化的网络称为复杂网络。复杂网络中最为常见的是星形(Y)和三角形()连接的三端网络，如图2.4所示。,图 2.4 星形与三角形网络(a) 星形; (b) 三角形,含有星形或三角形的网络，经常需要在它们之间进行等效变换，才可能使整个网络得以简化。这两种电路彼此相互等效的条件是：对任意两节点而言的伏安特性相同，或者说对应于两节点间的电阻相等，则这两种电路等效。这两种电路等效变换的条件是：(1) 将三角形等效变换为星形(Y)：(2.13) ,由式(2.1
5、3)可看出：(2) 将星形变换成三角形(Y)： ,(2.14),(2.15),由式(2.15)可看出：(2.16)特别的, 当Y形网络的全部电阻都相等时,与此等效的形电阻也必定相等,且等于Y形电阻的三倍,如图2.5所示。这时,图 2.5 对称时Y的变换关系图,例2.2 电路如图2.6(a)所示，求Idb。,图 2.6 例2.2图,解 先把图2.6(a)中的abc网络等效变换成图2.6(b)中的Yabc网络，求出Y形连接对应的等效电阻如下：Ra= =2 Rb= =1 Rc= =2 将图2.6(b)进一步化简为图2.6(c)，其中Rdao=4+2=6 Rdbo=2+1=3 ,故2.1.3 电压源与
6、电流源的简化和等效变换1. 理想电源的简化电阻串联、并联和混联时都可用一个等效电阻代替，那么电源串联、并联时，也可用一个等效电源代替，其方法是：(1) 凡有多个恒压源串联或多个恒流源并联，其等效电源为多个电源的代数和，如图2.7所示。其中：US=US1+US2-US3, IS=IS1+IS2-IS3。,图 2.7 等效电源的概念 (a) 恒压源串联;(b) 恒流源并联,(2) 凡是与恒压源并联的元件或与恒流源串联的元件均可除去，即可将与恒压源并联的支路开路，将与恒流源串联的支路短路，如图2.8所示。,图 2.8 恒压源与恒流源串 , 并联简化(a) 并联; (b) 串联,2. 电压源与电流源的
7、等效变换一个实际的电源对其外部电路来说，既可以看成是一个电压源，也可以看成是一个电流源，因而在一定条件下它们可以等效变换。下面求其等效的条件。 为了便于比较，把两种电源的模型用图2.9表示。,图 2.9 电压源与电流源等效变换,由于若这两个电源等效，必有U=U，I=I，则等效条件为,(2.17),(2.18),在处理电源等效时要注意：(1) 恒压源与恒流源之间不能等效变换。(2) 凡与电压源串联的电阻，或与电流源并联的电阻，无论是否是电源内阻，均可当作内阻处理。(3) 电源等效是对外电路而言的，电源内部并不等效。例如电压源开路时，内部不发出功率； 而电流源开路时，内部仍有电流流过，故有功率消耗
8、。(4) 等效时要注意两种电源的正方向，电压源的正极为等效电流源流出电流的端子，不能颠倒。,例2.3 将图2.10(a)转换为电压源，图2.10(b)转换为电流源。 解 根据电源等效的原则，将图2.10(a)转换为图2.11(a)所示的电压源：US=IS RS =43=12 V RS=RS=3 将图2.10(b)转换为图2.11(b)所示的电流源:,图 2.10 例2.3电路图,图2.11 例2.3等效电路图,例2.4 简化图2.12所示的电路。解 (1) 除去与恒流源串联的元件及与恒压源并联的元件，如图2.13(a)所示。(2) 将电压源化为电流源，如图2.13(b)所示。(3) 将两个电流
9、源简化等效，如图2.13(c)所示。 ,图 2.12 例2.4电路图,图2.13 例2.4的简化电路,2.2 网络分析和网络定理,2.2.1支路电流法例2.5 如图2.14所示电路，已知US1、US2及R1、R2和R3，求各支路的电流。,图2.14 例2.5电路图,解 假定各支路电流的正方向如图中所示。由KCL和KVL列出电路方程。对c和d点都可列出KCL方程，但独立方程只有一个，如c点：I1+I2=I3对回路acdba和cefdc可列出KVL方程：I1 R1+ I3 R 3=US1- I2 R 2- I3 R 3 =-US2对回路acefdba也可列出KVL方程，但由于它可由以上两个方程相加
10、得到，故它不独立，因而无需列出。由以上三个方程联立，可解出I1 、 I2和I3 。,一般来讲，对有n个节点、b条支路的网络，只能列出(n-1) 个独立的KCL方程，另需l=b-(n-1) 个独立的KVL方程，才能求出b个支路电流。保证这l个回路彼此独立的方法是按网孔选取回路。网孔是电路中最简单的单孔回路，即没有其它支路穿过的回路，如图2.15所示(为了简明起见，只画出了网络结构，且用线段表示)。,图2.15 网孔电路法实例,2.2.2网孔电流法网孔电流是假设的环绕网孔的电流。以网孔电流为未知量列出KVL方程的分析方法，称为网孔电流法或网孔分析法。现在仍以讲解支路电流法的电路(例2.5的电路)讲
11、解网孔电流法，如图2.16所示。设网孔的环绕电流为I，网孔的环绕电流为I，由图2.16可知，I=I1，I=-I2，I3=II= I1+ I2 。由此可见，支路电流和网孔电流有着惟一确定的关系，只需求出网孔电流，各支路电流就可确定。,图2.16 网孔电流法实例,由KVL，列网孔电压方程：网孔： I(R1+R3) - IR3 = US1 网孔：- IR3 + I(R2+R3) = -US2求解以上方程，可得I、I。,利用网孔电流法应注意以下几点：(1) 网孔电流法以假想的网孔电流为未知量。由于网络的网孔数恒少于支路数，因此用网孔电流为未知量列方程，计算起来相对于支路电流法较为简便。(2) 因为每一
12、个网孔电流都与其它网孔电流无关，所以用网孔电流列出的每个电压方程均是独立的，且方程数等于网孔数。,在回路绕行方向与网孔电流方向一致，且网孔电流的正方向都规定为顺时针(或逆时针)的情况下，任意网络的网孔电压方程为R11I+ R12I+R1iIi+R1nIn= U R21I+ R22I+R2iIi+R2nIn= U Ri1I+Ri2I+RiiIi+RinIn= UiRn1I+ Rn2I+RniIi+RnnIn= Un,(2.19),例2.6 电路如图2.17所示，R1 = R2 = R3 = R4= R5 = 1 ，试用网孔电流法求Uo。,图 2.17 例2.6电路图,解 首先选定网孔，并假定网孔
13、电流都按顺时针方向，如图中所示。因为、网孔含电流源，故可选I = 10 A， I = -5 A对、两个网孔列电压方程，得到- IR1 + I(R1+R2+R3) - IR3 = -5- IR3 + I(R3 +R4+R5) - IR5 = 0代入数据并整理，得3I - I = 5-I + 3I = -5,方程联立，解出 I = -1.25 A故 Uo = IR5 = -1.251=-1.25 V,2.2.3 节点电位法下面以图2.18为例来说明。它有两个节点，各支路都跨接于这两节点之间，因此只要把这两点之间的电压求出来，各支路的电流就可由列出的电压平衡方程式求得。所以以节点电位为未知量是可解的
14、。选定参考电位d，并设c点电位为c且大于0，则cdc。由节点c列出一个独立方程:I1+I2=I3此处节点电位c是未知数。上式经过整理后得,图2.18 节点电位法示意图,各支路电流可由列出的假想回路方程中求出:US1-Ucd=I1R1 或US2-Ucd=I2R2 或将以上三式代入I1+I2=I3，得,此处节点电位c是未知数。上式经过整理后得解 出c后，各支路电流就可随之求得。式中分子各项是各有源支路中含有电压源的各项变换成电流源的值。,（2.20）,如果把各支路用电导表示，则式（2.20）整理后可以改写成如下形式：对上述方法作进一步推广可知：如果网络只有两个节点，而在两节点之间跨接有m个支路，各
15、支路电阻分别为R1, R2, , Rm，则不难得出其一般表达式为 ,（2.21）,（2.22）,用电导表示时表达式为例2.7 试用节点电位法求解图2.18各支路电流, 其中US1=130 V，US2=120 V，R1=1 ，R2=0.6，R3=24 。解 将已知数据代入式(2.20)得 ,（2.23）,2.2.4 等效电源定理 1. 戴维南定理 1) 定理 任意线性有源二端网络，就其二端点而言，可用一个恒压源及一个与之相串联的电阻等效代替。其恒压源的电压等于该网络二端点的开路电压，相串联的内阻等于从二端点看入的等效电阻，如图2.19所示。,图 2.19 戴维南定理的示意图,2) 计算利用戴维南
16、定理计算支路电流的关键在于求开路电压和除源网络的等效内阻。求开路电压有两种方法：(1) 断开R支路，使网络减少一条支路，电路得到某种程度的简化，利用电路分析的各种方法，可求出开路电压。(2) 对于非常复杂的电路，可通过实验，把R支路断开，直接用电压表测量开路电压。,求除源网络的等效电阻有三种方法：(1) 等效变换法：让电压源短路，电流源开路，对网络进行各种等效变换，求出Rab。(2) 短路电流法：求出开路电压Uo和端口短路电流 ISC，计算Ro，即,(3) 外加电源法：从网络中的a、b两端对除源网络外加电压源US（或电流源IS），计算端口电流I（或端口电压U），于是有例2.8 图2.20所示电
17、路中的R1=2，R2=4，R3=6 ，US1=10 V，US2=15 V，试用戴维南定理求I3。 ,图2.20 例2.8电路图,解 (1) 求开路电压Uo。将R3支路断开，如图2.21(a) 所示。因为所以 Uo=IR2+US2=-0.834+15=11.68 V(2) 将电压源短路，求等效电阻Ro，如图2.21(b)所示。,(3) 利用等效电路图2.21(c)，求出I3。,图 2.21 例2.8等效电路,2. 诺顿定理 诺顿定理指出：任意线性电阻元件构成的有源二端网络，就其二端点而言，可以用一恒流源及并联电阻支路等效代替，恒流源的电流大小为输出端的短路电流，方向与短路电流方向相同，等效电阻为
18、除源网络从两端点看入的等效电阻。其示意图如图2.22所示。,图 2.22 诺顿定理示意图,例2.9 用诺顿定理计算图2.20所示电路中的I3。 解 (1) 求短路电流，如图2.23(a)所示：(2) 求等效内阻Ro:(3) 求I3, 等效电路图如图2.23(b)所示： ,图 2.23 例2.9等效电路,2.3 线性网络的基本性质,1. 比例性 对线性网络而言，如果输入量是x(t)，输出量是y(t)，则当输入量增大k倍时，输出量也增大k倍。即x(t)y(t)时，kx(t)ky(t)。响应随着激励的增减而按同样比例增减的性质就是线性网络的比例性。2.叠加性对含有两个或两个以上电源同时作用的线性网络
19、，网络中任一支路所产生的响应，等于各个电源单独作用时在该支路中所产生响应的代数和。这个关于激励作用的独立性原理又称为叠加定理。,设y1(t)是网络对输入量x1(t)的响应，y2(t)是网络对输入量x2(t)的响应，当输入量x1(t) 和x2(t)同时作用时，网络的响应应是y1(t)+ y2(t), 即若 x1(t) y1(t)， x2(t) y2 (t)则 x1(t)+ x2(t) y1(t)+ y2(t)如图2.24所示。,图 2.24 叠加定理示意图,在应用叠加定理分析计算网络问题时应注意：(1) 当某个独立源单独作用时，其他独立源应除去，即电压源短路、电流源开路，但要保留内阻。(2) 在
20、叠加时，分响应与总响应正方向一致时取正号，相反时取负号。(3) 叠加定理不能用于计算功率，也不适用于非线性网络。,例2.10 利用叠加定理求图2.25电路中的Uo。,图2.25 例2.10电路图,解 本题有三个电源，利用叠加定理可分别求出三个电源单独作用时在Ro支路产生的压降，如图2.26所示。由图2.26(a)，有,由图2.26(b)，有,图2.26 每个电源单独作用,由图2.26(c)，有故 3. 对偶性 在电路元件、结构、状态及定律等方面，经常具有成对出现的相似性，这种成对的相似性就称为对偶性，具体的相似关系就称为对偶关系，如表2.1所示。,表2.1 对偶关系,习题2,1求题图2.1所示
21、各电路的等效电阻Rab, 其中R1=R2=1 ，R3=R4=2，R5=4，G1=G2=1 S。,题图 2.1,2简化题图2.2所示各电路。,题图 2.2,3电路如题图2.3所示，求I。,题图 2.3,4用支路电流法求题图2.4中各支路电流。,题图2.4,5电路如题图2.5所示，用网孔分析法求I1。,题图 2.5,6 电路如题图2.6所示，试求I1、I2、I3。,题图2.6,7电路如题图2.7所示，用节点电压分析法求4 A电流源提供的功率。,题图 2.7,8用叠加定理求题图2.8中的Io和90 V电源的功率。,题图 2.8,9电路如题图2.9所示，求US, IS共同作用时的IX。（1）US =20 V，IS =0 A，IX =12 A;(2) US=0 V，IS=2 A，IX=8 A;（3） US=20 V，IS=2 A，IX=10 A。 ,题图 2.9,10. 求题图2.10所示电路的戴维南等效电路。,题图2.10,11分别用戴维南定理和诺顿定理求题图2.11中的电流I。,题图 2.11,12电路如题图2.12所示，求Uo。,题图 2.12,
