1、第4讲 导数的热点问题,专题六 函数与导数,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.,热点一 利用导数证明不等式,解答,例1 (2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)0对于xR恒成立. (1)求实数a的值；,解 由f(x)ex(aexax)0
2、对于xR恒成立， 设函数g(x)aexax， 可得g(x)aexax0对于xR恒成立， g(0)0，g(x)g(0)， 从而x0是g(x)的一个极小值点， g(x)aex1，g(0)a10，即a1. 当a1时，g(x)ex1x，g(x)ex1， x(，0)时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增， g(x)g(0)0，故a1.,证明,证明 当a1时，f(x)e2xexxex， f(x)ex(2exx2). 令h(x)2exx2，则h(x)2ex1， 当x(，ln 2)时，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数， h(1)0， 在(2，1)上存在xx0满足h(x0)0， h(x)在(
3、，ln 2)上为减函数， 当x(，x0)时，h(x)0， 即f(x)0，f(x)在(，x0)上为增函数，,当x(x0，ln 2)时，h(x)h(0)0， 即f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数， f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点0， 综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0， 且x0(2，1).,h(x0)0，2 x020，,用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，
4、则对xD，有f(x)M(或f(x)m). (3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.,解答,跟踪演练1 (2018荆州质检)已知函数f(x)axln x. (1)讨论f(x)的单调性；,当a0时，则f(x)0时，,综上当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；,证明,证明 令g(x)f(x)2axxeax1 xeax1axln x，,设r(x)xeax11(x0)， 则r(x)(1ax)eax1(x0)， eax10，,h(t)h(e2)0； g(x)0，故f(x)2axxeax1.,热点二 利用导数讨论方程根的个数,方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交
5、点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.,解答,例2 (2018衡水金卷分科综合卷)设函数f(x)ex2aln(xa)，aR，e为自然对数的底数. (1)若a0，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；,解 函数f(x)在0，)内单调递增，,即aexx在0，)内恒成立. 记g(x)exx， 则g(x)ex10恒成立， g(x)在区间0，)内单调递减， g(x)g(0)1，a1， 即实数a的取值范围为1，).,解答,知f(x)在区间(a，)内单调递增.,f(x)在区间(a，)内存在唯一的零点x0，,
